Векторные пространства

1.

Векторные пространства
I. Определение
II. Линейная независимость
III. Базис и размерность
Литература: А.Г.Курош Курс высшей алгебры (9-е изд.). М.: Наука,
1968.

2.

I. Определение векторного пространства
I.1. Определение и примеры
I.2. Пространства и оболочки

3.

Определение
Определение 1.1: Векторное пространство( V, +, ,; F)
Векторное пространство (над R) состоит из множества V с двумя операциями
‘+’ и ‘ ’ , так что
(1) Векторное сложение + :
v, w, u V
a) v + w V
( замкнутость )
b)
v+w=w+v
( коммутативность )
c) ( v + w ) + u = v + ( w + u )
( ассоциативность )
d) 0 V s.t. v + 0 = v
( наличие нулевого элемента)
e) v V s.t. v v = 0
( наличие противоположного элем. )
(2) Скалярное умножение :
v, w V и a, b F,
[ F – поле]
a) a v V
( замкнутость)
b) ( a + b ) v = a v + b v
( дистрибутивность )
c) a ( v + w ) = a v + a w
d) ( a b ) v = a ( b v ) = a b v ( ассоциативность)
e) 1 v = v

4.

Пример 1.2: R2
R2 является векторным
пространством, если
x
y
ax1 by1
1
1
a
x
b
y
a
b
ax by a,b R
x
y
2
2 2 2
и
0
0
0
Доказать самостоятельно.
Пример 1.3: Плоскость в
пространстве R3.
P есть
подпространство R3.
Доказать самостоятельно.
x
есть векторное
P
y
x
y
z
0
z
пространство

5.

Пример 1.4:
Пусть
V
0
0
0
0
Тогда V есть векторное
пространство над F.
Определение 1.5: Пространство с одним элементом называется тривиальным
пространством (нулевым пространством).

6.

Пример 1.5: Пространство многочленов степени не выше n
n
k
P
a
xa
R
n
k
k
k
0
2
3
a
a
x
a
x
a
x
R
Например, P
3
0 1
2
3 a
k
n
a ak xk
Обозначим
Сложение:
k 0
n
n
n
a
b
a
x
b
x
ak bk xk
k
k
k
k
0
Умножение на число:
k
k
0
n
n
k
k
ba b
ax
bak x
k
k 0
k 0
n
Нулевой
элемент:
0 0xk
k 0
n
Противоположный:
k 0
a
ak xk
k 0

7.

Пример 1.6: Пространство функций
Множество { f | f : R → R} действительных функций от
действительных переменных есть векторное пространство
Сложение
векторов:
Умножение на
число:
Нулевой :
Противоположный:
f
n
f
n
f
n
f
1
2
1
2
af n af n
zero(n) 0
f (n) f n
n N
a R

8.

Замечания:
• Определения могут быть другими.
• Данное определение наиболее часто встречается в математических
работах.
Лемма 1.7:
Для всякого векторного пространства V,
1.
0v=0.
2.
( 1 ) v + v = 0 .
3.
a0=0.
v V и a F.
Доказательство:
0vv
10
v 0v v 0v
vv
1.
2
.3
.
1
11
v 0v 0
vv
a0 a 0v a 0 v 0 v 0

9.

Определение 1.8: Линейная комбинация
Пусть S - подмножество векторного пространства V,
v
vm
S и a1,a2,...,am - числа, тогда
1,v
2,...,
a
v
a
v
...
a
v
есть линейная комбинация элементов
1
1
2
2
m
m
v1,v2,...,
vm.
a
v
a
v
...
a
v
Если v
1
1
2
2
m
m, то говорят, что
vm.
выражается через v1,v2,...,
v
линейно

10.

I.2. Подпространства и оболочки
Определение 2.1: Подпространство
Для любого векторного пространства, подпространство есть
подмножество, которое само является пространством относительно
унаследованных операций.
Замечание: Подмножество векторного пространства является
подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно
соответствующих операций.
→ Содержит 0. (ср. Лемма2.4)
Пример 2.2: Плоскость в
Доказательство:
→
так что
→
R3
x
есть подпространство
P
y
x
y
z
0
z
R3.
Пусть
r
x
,,
y
z
x
,
y
,
z
P
,r
1
1
1
1
2
22
2
T
T
xyz
0
,xyz
0
1
1
1
2
2
2
a
r
ba
r
x
b
x
,
a
y
b
y
,
a
z
b
z
1
2
1
2
1
21
2
T
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
a
x
y
z
b
x
y
z
0
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
ar1 br2 P a,b R
QED

11.

Пример 2.3:
• { 0 } есть тривиальное подпространство Rn.
• Rn есть подпространство Rn.

12.

Лемма 2.4:
Пусть S есть непустое подмножество векторного пространства V над
полем F.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1.
S есть подпространство V.
2.
S замкнуто относительно всех линейных комбинаций пар векторов.
3. S замкнуто относительно произвольных линейных комбинаций.
Доказательство: самостоятельно
Замечание: Векторное пространство = множество линейных
комбинаций векторов.

13.

Определение 2.5: Линейная оболочка
Пусть S = { s1 , …, sn | sk V } есть множество из n векторов из
векторного пространства V над полем F.
Линейная оболочка множества S есть множество всех линейных
комбинаций векторов из S, то есть
n
span S ck s k s k S , ck F причем
span 0
k 1
Лемма 2.6: Линейная оболочка любого подмножества
векторного пространства есть подпространство.
Доказательство:
Пусть S = { s1 , …, sn | sk V }
n
и
n
n
k
1
k
1
u
u
sv
,
v
s
s
p
a
n
S
k
k
k
k
n
w
ab
uv
a
ub
v
s
w
s
s
p
a
nS
k
k
k
k
k
k
1
k
1
a,b R
QED
Обратно: Любое векторное подпространство есть линейная оболочка
некоторого подмножества его элементов.
Также: span S есть наименьшее векторное пространство, содержащее все
элементы S.

14.

Пример 2.7:
1
1
2
s
p
a
n
,
R
1
1
Доказательство:
Действительно, для произвольного вектора из соотношения
1 1
x
a
b
y
1
1
получаем
Так что
a b x
a b y
1
a x y
2
эта система имеет единственное
решение
1
b x y
2
x, y R
QED

15.

Определение 2.8. Полнота
Подмножество S векторного пространства V
называется полным если span S = V.

16.

Пример 2.9: Все возможные подпространства R3
Плоскости
через 0
Прямые
через 0