Ekonometria. Weryfikacja modelu ekonometrycznego

1. Ekonometria

Wykład 7
dr hab. Małgorzata Radziukiewicz, prof. PSW Biała Podlaska

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Weryfikacja modelu ekonometrycznego

9.

10.

11.

12.

13. Przykład.

• Do modelu wybrano zmienne objaśniające X1 oraz
X2.
• Macierz obserwacji na zmiennych objaśniających
modelu jest postaci:
• Wektor wartości zmiennej objaśnianej Y:

14. Twierdzenie 1 (Gaussa-Markowa)

• Wektor ocen parametrów strukturalnych jest
postaci:

15.

• Macierz odwrotna do macierzy XTX

16.

• Obliczamy wartości ocen parametrów
strukturalnych modelu ekonometrycznego:
• Model ekonometryczny jest postaci:

17.

• Interpretacja:
• a0 = 7,941 to średnia wartość Y w przypadku, gdy
zmienne objaśniające X1 i X2 są równe 0;
• a1 = 1,341 oznacza o ile przeciętnie wzrośnie Y,
jeżeli zmienna objaśniająca X1 wzrośnie o
jednostkę, podczas gdy zmienna objaśniająca X2
pozostanie bez zmian;
• a2 = 1,800 oznacza, o ile przeciętnie wzrośnie Y,
jeżeli zmienna objaśniająca X2 wzrośnie o
jednostkę, podczas gdy zmienna objaśniająca X1
pozostanie bez zmian.

18.

19.

20. Twierdzenie 2 (Gaussa-Markowa)

• Wariancja składnika resztowego (estymator
wariancji składnika losowego) według wzoru:
T
e e
S (e)
n (k 1)
2
• Do obliczenia wariancji potrzebne są reszty:
• gdzie:
- wartości teoretyczne zmiennej obajśnianej (uzyskane
na podstawie modelu) = wartości przewidywane
- wartości zmiennej objaśnianej (empiryczne )

21. Ile wynoszą reszty?

• Do oszacowanego modelu:
• podstawiamy kolejne wartości zmiennych X1 i X2
12,423
11,082
Yˆ 16,023
12,882
18,705

22.

• Wektor reszt
e1 12,423 10 2,423
e2 11,082 12 0,918
e3 16,023 13 3,023
e4 12,882 15 2,118
e5 18,705 20 1,295
równa się:
2,423
0,918
e 3,023
2,118
1,295

23.

• licznik wzoru to:
22,014
22,014
S (e)
11,007
n (k 1)
2
2

24.

• Odchylenie standardowe składnika
resztowego (błąd estymacji):
S (e) S 2 (e) 11,007 3,318
• Interpretacja:
• Poszczególne obserwacje empiryczne Y
odchylają się średnio od teoretycznych o ±
3,318 jednostek.

25. Twierdzenie 3 (Gaussa-Markowa

• Wariancja estymatora parametrów
strukturalnych według wzoru:
wynosi:
Obliczając wartości elementów diagonalnych
macierzy D2(a) otrzymamy oceny wariancji
poszczególnych parametrów modelu

26. Wnioskowanie o dokładności szacunku parametrów αi

• Błędy średnie szacunku parametrów
strukturalnych:
S (a0 ) 11,007 1,267 13,946 3,734 3,7
S (a1 ) 11,007 0,267 2,939 1,714 1,7
S (a2 ) 11,007 0,400 4,403 2,098 2,1
• Interpretacja:
O ile +- odchylają się wartości ocen
parametrów strukturalnych od ich
wartości rzeczywistych

27.

• Do interpretacji lepiej posługiwać się
średnimi względnymi błędami szacunku
parametrów wyznaczonymi ze wzoru:
S (a0 )
3,734
100%
100% 47,02%
a0
7,941
S (a1 )
1,714
100%
100% 127,82%
a1
1,341
S (a 2 )
2,089
100%
100% 116,06%
a2
1,800
Błędy średnie stanowią odpowiednio 47,02%, 127,82% oraz
116,06% wartości kolejnych parametrów.

28. Współczynnik zbieżności dany wzorem:

wynosi:
bowiem:

29.

• Współczynnik zbieżności φ2 = 0,380
oznacza, iż 38% zmienności zmiennej
objaśnianej Y nie zostało wyjaśnione przez
model.
• Współczynnik determinacji R2 :
R 1 1 0,380 0,620
2
2
co oznacza, iż 62% zmienności zmiennej
objaśnianej Y zostało wyjaśnione przez
model

30.

• Współczynnik zmienności losowej:
• Interpretacja:
• Odchylenia losowe stanowią 23,7%
wartości średniej zmiennej objaśnianej Y.

31.

• W ekonometrii przyjęta jest konwencja
podawania średnich błędów szacunku
parametrów strukturalnych łącznie z
oszacowaniem modelu.
• Oszacowany model ekonometryczny jest
postaci:

32.

33. Weryfikujemy istotność parametrów strukturalnych oszacowanego modelu

• Stawiamy hipotezę:
• H0: αi = 0 (parametr αi nieistotnie różni się od
zera tzn. że zmienna Xi przy której parametr stoi
wywiera nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą );
• H1: αi ≠ 0 (parametr αi istotnie różni się od zera);
• Test istotności pozwalający na weryfikację
hipotezy H0: αi = 0 oparty jest na rozkładzie
statystyki t-Studenta określonej wzorem:

34.

• Dla każdego parametru obliczamy wartości
empiryczne statystyki t:
7,941
2,127
3,734
1,341
0,782
1,714
1,800
0,862.
2,089
t ( a0 )
t ( a1 )
t ( a2 )
• Z tablic t-Studenta dla przyjętego poziomu
istotności α = 0,01 oraz dla n-(k+1)= 5–(2+1)=2
stopnie swobody odczytujemy wartość krytyczną
t* = 4,303.

35.

• Jeżeli spełniona jest nierówność:
to hipoezę H0 należy odrzucić na
korzyśćalternatywnej hipotezy H1, czyli
dany parametr jest statystycznie istotny.
• W przypadku, gdy:
nie ma odstaw do odrzucenia hipotezy
H0 o nieistotności parametru.

36.

• Z naszych obliczeń wynika m.in., iż:
więc hipotezę H1 odrzucamy, a parametr a0 jest
statystycznie nieistotny.
• Dla parametrów a1 i a2 spełniona jest również
nierówność:
co oznacza, iż w tym przypadku również nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
• Interpretacja:
Parametry a0, a0 i a2 są statystycznie nieistotne. A
zatem zmienne objaśniające X1 i X2 wywierają
nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą Y.

37.

38. Badanie koincydencji

• Model jest koincydentny, jeżeli dla każdej
zmiennej objaśniającej model zachodzi:
gdzie:
• ai – jest oceną parametru strukturalnego αi;
• ri – jest współczynnikiem korelacji między zmienną
Y a zmienną Xi.
Model jest koincydentny.

39. Współliniowość – czy zmienne są katalizatorami?

• Zmienna Xi z pary zmiennych ( Xi, Xj) jest
katalizatorem jeżeli:
ri
rij 0
lub
rij
rj
• Z obliczeń wynika, iż:
Żadna ze zmiennych nie jest katalizatorem.

40.

41. Badanie losowości

• Badanie losowości ma związek z wyborem postaci
analitycznej modelu.
• W standardowym modelu liniowym zmienna
objaśniana jest liniową funkcją zmiennych
objaśniających plus korekta.
• W przypadku, gdy korekty mają przez dłuższy
okres jednakowe znaki można przypuszczać, że
został popełniony błąd specyfikacji:
– nietrafny wybór postaci analitycznej modelu;
– nietrafny wybór zmiennych objaśniających

42.

43. Czy reszty są losowe?

Wektor reszt
2,423
0,918
e 3,023
2
,
118
1,295
Reguły testu (dla prób małych (n≤30)
• Przypisujemy resztom ek symbole a, gdy ek > 0,
oraz b gdy ek <0
• Otrzymujemy ciąg złożony z symboli a i b
• a, b, a, b, b.
• Określamy liczbę serii kemp
kemp = 4
Z tablic liczby serii dla n1 = liczba symboli a i n2 =
liczba symboli b oraz przyjętego α = 0,05
odczytujemy wartośc tα = 2
Wobec kemp > kα nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy, że rozkłsd reszt jest losowy

44. Wartości krytyczne testu serii

45.

46. Czy rozkład reszt modelu jest symetryczny?

W celu zweryfikowania
hipotezy
Z tablic testu t Studenta
• przyjęto poziom istotności
• dla przyjętego poziomu
testu a = 0,05:
istotności α oraz dla n-1
• m = 2 - liczba reszt dodatnich
stopni swobody
• n = 5 – całkowita liczba reszt
odczytuje się wartość
• następnie obliczono wartość
krytyczną t*
statystyki testowej temp = 1,67
• Dla n-1=5-1=4 stopni swobody • . Jeżeli |temp|≤t*, nie ma
podstaw do odrzucenia
wartość t*= 2,776.
hipotezy H0 i rozkład
reszt modelu jest
• Odp. Rozkład reszt jest
losowy, bowiem 1,67<2,776
symetryczny.

47. Czy występuje autokorelacja skladnika losowego?

• Jednym z założeń dotyczących modelu regresji
jest niezależność błędów obserwacji, czyli fakt,
czy występujące reszty w predykcji zmiennej
zależnej są ze sobą skorelowane.
• Dobrze dopasowane modele regresji zakładają, że
otrzymywane reszty (e) - błędy przewidywania
rzeczywistej wartości zmiennej zależnej na
podstawie utworzonego przez nas modelu regresji
- są niezależne od siebie,
• Oznacza to, że rozkład reszt jest losowy,
przypadkowy, bez stale występującego wzorca.

48.

• Sposobem określenia niezależności
błędów obserwacji jest wyznaczenie
autokorelacji składnika resztowego,
czyli korelacji r-Pearsona pomiędzy
kolejnymi resztami, powstałymi z
nieidealnego dopasowania modelu.
cov( t , t i )
i
D( t ) D( t i )
zależność korelacyjna składników losowych εt oraz
ich pierwszych opóźnień εt-i

49. Współczynnik korelacji Pearsona

• rxy jest miernikiem związku
liniowego między dwiema
cechami (zmiennymi)
mierzalnymi
• jest wyznaczany poprzez
standaryzację kowariancji
• kowariancja (wariancja
wspólna cech x i y) jest średnią
arytmetyczną iloczynu odchyleń
wartości liczbowych tych cech
(zmiennych) x i y od ich
średnich arytmetycznych
n
rxy
( x x)( y y )
i 1
i
i
n S ( x) S ( y )
cov( x, y )
rxy
S ( x) S ( y )
1 n
cov( x, y ) cov( y, x) ( xi x )( yi y ) x y x y
n i 1

50. Proces autokorelacji rzędu I

• Załóżmy, że składniki losowe εt związane są
zależnością:
t t 1 t
1
gdzie:
(t=1...,n-1)
zmienne losowe η są niezależne i mają jednakowy rozkład

51. Test Durbina-Watsona

• Test Durbina-Watsona (statystyka) służy do
oceny występowania korelacji pomiędzy
resztami (błędami, składnikami resztowymi).
• Sprawdzamy, czy składniki losowe modelu
pochodzą z procesu autokorelacji rzędu I.
• Przyczyną występowania zjawiska autokorelacji
składnika losowego w modelu są:
– natura procesów ekonomicznych (skutki pewnych
zdarzeń albo decyzji rozciągaja sie na wiele
okresów;
– niepoprawna postać analityczna modelu;
– niepełny zestaw zmiennych objasniających.

52.

53. Tablice testu Durbina-Watsona prezentują wartości krytyczne dL  oraz dU  dla odpowiedniej liczby obserwacji n oraz liczby

Tablice testu Durbina-Watsona prezentują wartości krytyczne dL oraz dU dla
odpowiedniej liczby obserwacji n oraz liczby zmiennych objaśniających k

54. Czy występuje autokorelacja reszt?

Statystyka d
• Dla modelu wartość:
n
d
2
(
e
e
)
t t 1
t 2
n
2
(
e
)
t
t 1
• d= 53,501/22,015=2,430
Obliczenia:

55.

• Zasadą jest, że wartości statystyk
testowych w zakresie od 1,5 do 2,5 są
stosunkowo normalne.
• Każda wartość spoza tego zakresu może
być powodem do obaw.
• Statystyka Durbina – Watsona, chociaż
wyświetlana przez wiele programów analizy
regresji, nie ma zastosowania w niektórych
sytuacjach.
• Np. gdy opóźnione zmienne zależne są
zawarte w zmiennych objaśniających,
niewłaściwe jest użycie tego testu.