Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

1. МОУ Теньгушевская средняя общеобразовательная школа Алгебра 11 класс. Тема: Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.

Цель: Углубить ЗУН учащихся по теме:
Исследование функций с помощью
производной. Показать практическое
приложение производной.
Учитель – методист: Анна Павловна Родина

2. С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а

Самостоятельная
работа
1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
2
2
а)
а)
f ( x) x 3 x 6
б)
f ( x) x 4 x 3
б)
f ( x) x 3 2 x 1
f ( x) x 3 4 x 7
2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум.
а)
f ( x) x 4 8 x 2
а)
f ( x) 2 x 4 4 x 2 1
б)
x 2
f ( x)
2 x
б)
x 3
f ( x)
3 x
3.Найти все значения а, при которых
f ( x) 0
f ( x) 0
для всех действительных значений х, если
f ( x) х 3х ах
3
2
f ( x) ах3 6 х 2 х

3. Признаки возрастания и убывания функции.

Теорема 1. Если функция, имеющая производную для всех
значений аргумента из интервала (а;в), возрастает в этом
интервале, то производная в точках интервала (а;в)
принимает либо положительное значения, либо в отдельных
точках равна нулю.
Доказательство:
Пусть на (а;в) функция y=f(x) возрастает. Возьмем х (а;в), так
чтобы ( x x) (а; в )
а
х
х х
в
т.к. f(x) возрастает, то х 0, y f ( x x) f ( x) 0
при х 0, y f ( x x) f ( x) 0
Тогда
lim
x 0
]
y
0
x
y
f ( x) 0
x
а
x
x
x
в
x

4.

Теорема 2.
Если функция, имеющая производную для всех
значений аргумента из интервала (а;в), убывает в
этом интервале, то производная в точках этого
интервала принимает либо отрицательные
значения либо в отдельных точках равна нулю.
у
у
у f (x)
у f (x)
х
0
2
0
, f ( x ) tg 0
х
0
2
х
, f ( x ) tg 0
х

5. Теорема Лагранжа

Если функция y f (x) непрерывна на сегменте [а;в] и внутри
него имеет производную, то найдется такое значение х=с (а<с<в),
при котором f (в ) f (a) f (c)(в а)
1. Например, вычислите значение с в формуле Лагранжа для
функции у х 2 на сегменте [0;2]
Решение:
, тогда 22 02 2с(2 0)
, с=1.
f ( x) ( x 2 ) 2 x
2. Если формулу Лагранжа переписать в виде
f (в ) f ( a )
f (c)
в а
то она может быть выражена словами: отношение приращения
f (в ) f (a) к приращению аргумента (в-a) равно
функции
производной от заданной функции, вычисленной при некотором
значении аргумента, заключенном между а и в.

6. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

f (в ) f ( a )
f (c)
в а
имеет интересный геометрический
Формула
смысл: если в каждой точке дуги кривой существует
касательная, то на дуге всегда найдется такая точка, в
которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту
дугу.
у
М
В
А
а
с
в
х

7.

Теорема 4. Если функция y f (x) дифференцируема
на интервале (а;в) и f ( x ) 0 для всех х (а; в ) ,
то функция возрастает на интервале (а;в).
Доказательство:
1) Пусть х1 и х2 (а; в); х1 х2
2) f ( x2 ) f ( x1 ) f (c)( x2 x1 ), где c ( x1; x2 ) .
т.к.
f (c) 0; х2 х1 0, тоf ( x2 ) f ( x1 ) 0;
т.е. f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x)
на (а;в)

8. Интервалы монотонности

1 3
y x 2 x 2 3x 1
3
Решение:
1
y ( x 3 2 x 2 3 x 1) x 2 4 x 3
3
y ( x) 0,
x2 4x 3 0
у (х)
у (х)
-
+
1
+
3
х
х
(-∞;1)
(1;3)
у
+
-
у
возрастает
убывает
(3;+∞)
+
возрастает

9. Необходимое условие существования экстремума функции.

Теорема Если функция имеет производную в каждой
точке интервала (а;в), то в точке экстремума
производная равна нулю.
Доказательство:
Пусть с (а; в ) , с – точка экстремума. Доказать, что f (c) 0 .
Пусть с – точка максимума. Тогда при х 0 выполняется
f (c x) f (c)
f (c) .
x 0
x
f (c x) f (c)
f (c x) f (c)
0 lim
x 0
x
x
f (c x) f (c)
f (c x) f (c)
0 lim
x
0
x
x
f (c) f (c x), f (c x) f (c) 0
1)если х 0 , то
2)если х 0
Итак:
{
, то
f (c) 0
f (c) 0
f (c) 0
lim
f (c) 0
f (c) 0

10.

Пример 1.
f ( x) x 2
x ( 1;1) Найти экстремумы функции.
у
Решение:
1) f ( x) ( x 2 ) 2 x
2) f ( x) 0,
2x 0
1
x 0
f (0) 0
1
Пример2.
. Найти экстремумы функции.
1 3
f ( x) x 8 x 1
Решение:
3 1
1)
2)
f ( x) ( x 3 2 x 2 3 x 1) x 2 8
3
f ( x) 0
x 8 0
2
- Не имеет корней
0
1
х

11. Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1. Пусть функция y f (x)
имеет производную в
с
каждой точке некоторого интервала (а; в ) и пусть точка х этого
интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в
некоторой окрестности точки слева от точки с производная
положительна, а справа – отрицательна, то в точке с функция
имеет максимум.
Доказательство:
f (x ) , то функция непрерывна.
Т.к. на (а;в) существует
f ( x) 0
а
y
с
с
с
f ( х ) f (c )
f ( х ) f (c )
0
f ( x) 0
с
x
в
х

12.

Теорема 2. Пусть функция y f (x) имеет производную в
точке интервала (а; в ) и пусть точка х с этого интервала есть
стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой
окрестности точки слева от точки с производная
отрицательна, а справа – положительна, то в точке с функция
имеет минимум.
Теорема 3.
y
y
нет
экстремума
0
с
x
0
с
с
с
x

13.

Теорема 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых
производная не существует.
Пример
f ( x) х
f ( x )
f ( x)
2
3,
1
2 3
2
f ( x) х 3
3
3 х
при
х 0
х=0 – точка
х минимума. f ( x ) 0
0
y
y х
0
2
3
x

14. Приложения производной 1. Работа.

y
F
0
x
x x
x
Рассмотрим работу ,которую
совершает заданная сила F
при перемещении по отрезку оси Ох.
Если сила постоянна, то работа
A F S , где А - работа, F – сила,
S - длина пути .
Если сила меняется, то F=F (x).
Aна [ x; х х] нельзя точно
вычислить как произведение F ( x) x
но при x 0, A F ( x) dx
т.е.силу можно считать производной
работы по перемещению F A (x )

15.

2. Заряд
Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через
поперечное сечение проводника за время t.
Если сила тока I постоянна, то за время dt ток переносит
заряд, равный Idt .
При силе тока ,изменяющейся со временем по некоторому закону
I I (t ) ,то произведение I (t ) dt дает главную часть
приращения заряда на маленьком отрезке времени [t ; t t ],т.е.
dq I (t )dt . Значит сила тока является производной заряда
по времени I (t ) q (t )

16.

3. Температура
Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону
0 0,001t 0,0001t 2
Найти коэффициент линейного расширения при t 50 C
Найти промежутки расширения и сжатия стержня.
Решение:
2
k
(
t
)
(
t
)
(
0
,
001
t
0
,
0001
t
) 0,001 0,0002t
0
1)
2)
k (t 0 ) k (50 ) 0,001 0,0002 5 0,002
(t ) 0, 0,001 0,0002t 0
0,0002t 0,001
t 50 C
(t )
(t )
t
5
сжимается
расширяется

17.

4 .Успехи ученика
Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так
отозвался о нем: «Он очень мало знает, но у него положительная
производная». Что хотел сказать учитель?
Да. Скорость приращения знаний у ученика положительна, а это
есть залог того, что его знания возрастут.
Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три разные кривые
роста знаний.
знания
t

18. Домашние задание: Тренажер: найти точки экстремума функции.

1) у х 4 х
2
2) у х 3 3 х 2
3) у 2 х 3 3 х 2 12 х 5
4) у ( х 2) 2 (3 х 1)
5) у х 4 4 х 3 4 х 2
х2 1
6) у
х
х3 4
7) у
х2
1
2
8) у х 2
х
2
9) у х
х
2х
10) у 2
х 9
х2 2х 2
11) у
х 1
12) у ( х 1) х
13) у 2 х 2 х
14) у 3 х 2 1
15) у х 1 2 х
2