Функции. Их свойства и графики

1.

Функции их свойства
и графики
●Что такое «функция»?
●Способы задания функции.
●Схема исследования функции.

2.

Определение функции.
Функцией называется зависимость между двумя
переменными (У и Х), в которой каждому значению
независимой переменной (Х) соответствует
единственное значение зависимой переменной (У).
Независимую переменную называют - аргумент.
Значения зависимой переменной называют
значениями функции.
Запись У=f (X) читается: У – функция от Х.

3.

12
у
10
8
У=f (X)
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

4.

Способы задания функции.
Графически.
С помощью формулы.
Таблицей.
Словесный.
Рекуррентный.

5.

100
S (в км)
80
60
40
20
t (в сек)
0
2
4
6
8
10
12
14

6.

У=х -3х+5
У=-2х+1
У=|X|-5
2

7.

День недели
Дежурные
Понедельник
Иванова А
Вторник
Петров Д
Среда
Сидорова К
Четверг
Козлов М
Пятница
Никитин Е
Суббота
Макарова Т

8.

Каждому натуральному числу
поставим в соответствие его
квадрат.

9.

а1=3,
аn+1= 2аn-1.

10.

1. Область определения
Все значения независимой переменной
образуют область определения функции
-D (f). Значения независимой переменной
находятся на оси абсцисс (Ох)

11.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-10
D (f).
8
10
12
х

12.

Если функция задана формулой и не указана ее область
определения, то область определения функции состоит из всех
значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Укажите область определения функций:
а)
, б)
, в)

13.

2. Область значений функции.
Все значения, которые принимает
зависимая переменная, образуют область
значений функции – E (f).
Значения зависимой переменной находятся
на оси ординат (Оу)
Единственная область, которая записывается
по оси Оу

14.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
2
4
6
8
10
х
12
-2
-4
-6
-8
-10
E (f).

15.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
2
4
6
8
10
х
12
-2
E (f).
-4
-6
-8
-10
D (f).

16.

3. Промежутки знакопостоянства
у=5х^2-3х-2 график парабола, ветви вверх
Решите неравенство:
5х^2-3х-2>0
Х1=-0,4; х2=1
(- ;-0,4)U(1;+ ) решение выше оси Ох
3.1. Значения функции положительны. У>0
участки графика лежат выше оси Ох

17.

12
у
У>0
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

18.

3. Промежутки знакопостоянства
у=5х^2-3х-2 график парабола, ветви вверх
Решите неравенство:
5х^2-3х-2<0
Х1=-0,4; х2=1
(-0,4;1) решение ниже оси Ох
3.2. Значения функции отрицательны. У<0
участки графика лежат ниже оси Ох

19.

12
у
У<0
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

20.

Промежутки знакопостоянства
3.3. Значения функции равны нулю.
Нули функции - точки
пересечения с осями
т
координат
1) Пересечение с осью Ох: У=0 => (х;0)
2) Пересечение с осью Оу: Х=0 => (0;у)
*
Если функция задана формулой, то промежутки
знакопостоянства можно найти решив
неравенство или уравнение (для нулей
функции)

21.

12
у
У=0
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

22.

4. Монотонность функции
промежутки возрастания и убывания функции
График «идет вверх/вниз» при движении слева направо по оси Ох
4.1. Функция называется возрастающей на
некотором промежутке, если большему
значению аргумента из этого промежутка
соответствует большее значение функции.

23.

Возрастающая функция.
у
у2
у1
х1
х2
0
х
Х2>Х1 , то У2>У1.
-10

24.

4. Монотонность функции
промежутки возрастания и убывания функции
График «идет вверх/вниз» при движении слева направо по оси Ох
4.2. Функция называется убывающей на
некотором промежутке, если большему
значению аргумента из этого промежутка
соответствует меньшее значение функции.

25.

Убывающая функция.
у
у1
х1
0
х2
х
у2
Х2>Х1 , то У2<У1.
-10

26.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

27.

5. Четные и нечетные
функции.
5.1. Функция у = f (x) называется четной, если
для всех х из области определения функции
для противоположных аргументов значения
функции одинаковые.
Выполняется равенство f (-x) = f (x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу

28.

12
у
f (-x) = f (x).
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-х
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
х
6
8
10
12
х

29.

5. Четные и нечетные
функции.
5.2. Функция у = f (x) называется нечетной,
если для всех х из области определения
функции для противоположных аргументов
значения функций противоположные.
Выполняется равенство f (-x) = - f (x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат
*
для того чтобы определить четность или нечетность функции по
формуле, вместо х подставить –х и выяснить знак выражения после
подстановки
№74 (а-г), 75(а-г)

30.

12
у
f (-x) = - f (x).
10
8
6
4
2
-х
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
х
4
6
8
10
12
х

31.

6. Ограниченность функции.
ограниченность функции можно посмотреть по области значений функции
6.1. Функция y=f (x) называется ограниченной
снизу, если для любого х из области
определения функции выполняется условие
f (x)≥a, где а – некоторое число.
График лежит выше прямой у=а

32.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

33.

6. Ограниченность функции.
6.2 Функция y=f (x) называется ограниченной
сверху, если для любого х из области
определения функции выполняется условие
f (x)≤ b, где b – некоторое число.
График лежит ниже прямой у=b

34.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

35.

6. Ограниченность функции.
6.3. Функция называется ограниченной, если
она ограничена и снизу, и сверху.

36.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

37.

12
у
10
8
6
4
2
-12
-10
-8
-6
-4
0
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

38.

7. Наибольшее и наименьшее
значение функции
на промежутке
это самая высокая и
самая низкая точки на
графике (ответ
записывается в виде
координаты у)

39.

8. Точки максимума,
минимума и перегиб.
(х;у)
Мах – самая высокая точка
Min – самая низкая точка
Перегиб – это волна или
резкая смена направления

40.

9. Непрерывность функции.
Функция называется непрерывной, если у нее нет точек разрыва

41.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Прочитайте график функции:
1 вариант
2 вариант
4
4
2
2
1
1
-2
-2
-4
-4

42.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Прочитайте график функции:
1 вариант
2 вариант
1. Область определения функции
D(y) = (- ; + )
2. Область значений функции
E(y) = (-4 ; + )
E(y) = (- ; + )
3. Чётность/нечетность функции
Чётная
Нечётная
4. Нули функции
у=0 при х = 0; ±1,4
у=0 при х = 0; ±1,2
5. Промежутки возрастания/
убывания функции
y при х [–1;0], [1;+ ]
y при (– ;–1], [1;+ ]
y при x (– ;-1], [0;1]
y при х x [–1; 1]
6. Наибольшее/наименьшее
значение функции
унаим = –4; унаиб не сущ.
Унаим , унаиб не сущ.
7. Ограниченность функции
Ограничена снизу
Не ограничена
8. Непрерывность функции
непрерывна