Системы счисления

1. ЛЕКЦИЯ Системы счисления

1. Основные определения
2. Преобразование чисел

2. Системы счисления

Основные определения

3.

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью
специальных условных знаков – цифр.
Числа: 123, 45 678, 1 010 011, CL
Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Основание системы счисления – это количество цифр,
используемых в системе счисления.
Алфавит системы счисления – это набор цифр
(например, алфавит двоичной системы счисления {0, 1})
Чтобы определить число, недостаточно знать тип и алфавит
системы счисления, нужно еще знать правила, позволяющие
по значению цифры установить значение числа.
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места
(позиции) в числе (например, СССХХІ – 321);
позиционные – значение каждой цифры напрямую зависит от
ее местоположения (позиции) в числе
(например, 01 – единица, 10 – десять).
3

4.

Непозиционные системы счисления
Унарная – одна цифра обозначает единицу
Египетская система счисления – цифрами являлись
специальные иероглифические символы
–1
– 10
– 1 000 000
– 100
– 1 000
– 10 000
– 100 000
Римская система счисления – для записи чисел
используются буквы латинского алфавита
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1 000
4

5.

Непозиционные системы счисления
Славянская система счисления
5

6.

Позиционные системы счисления
Общепринятой в современном мире является
десятичная система счисления.
Изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в
Европу.
Другие позиционные системы:
• двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная;
• двенадцатеричная
(1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов);
• двадцатеричная
(1 франк = 20 су);
• шестидесятеричная
(1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут).
6

7.

Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления:
Основание: 10
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная система счисления:
Основание: 2
Алфавит: 0, 1
Восьмеричная система счисления:
Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная система счисления:
Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
10 11 12 13 14 15
7

8. Системы счисления

Преобразование чисел

9.

Перевод из 10ой системы счисления в 2ую
Правило: чтобы перевести число из десятичной системы
счисления в двоичную, необходимо последовательно
делить это число на 2 и в обратном порядке записать
остатки от деления.
10 2
19/2 = 9 – остаток от деления равен 1
(19-(2*9) = 19-18=1)
9/2 = 4 – остаток от деления равен 1
(9-(2*4) = 9-8=1)
4/2 = 2 – остаток от деления равен 0
(4-(2*2) = 4-4=0)
2/2 = 1 – остаток от деления равен 0
(2-(2*1) = 2-2=0)
1/2 = 0 – остаток от деления равен 1
(1-(2*0) = 1-0=1)
Ответ:
1910 = 100112
система
счисления
9

10.

Перевод из 10ой системы счисления в 8ую
Правило: чтобы перевести число из десятичной системы
счисления в восьмеричную, необходимо последовательно
делить это число на 8 и в обратном порядке записать
остатки от деления.
10 8
100/8 = 12 – остаток от деления равен 4 (100-(8*12)=100-96=4)
12/8 = 1
– остаток от деления равен 4 (12-(8*1)=12-8=4)
1/8 = 0
– остаток от деления равен 1 (1-(8*0)=1-0=1)
Ответ:
10010 = 1448
система
счисления
10

11.

Перевод из 10ой системы счисления в 16ую
Правило: чтобы перевести число из десятичной системы
счисления в шестнадцатеричную, необходимо
последовательно делить это число на 16 и в обратном
порядке записать остатки от деления.
10 16
37/16 = 2 – остаток от деления равен 5 (37-(16*2)= 37-32=5)
2/16 = 0 – остаток от деления равен 2 (2-(16*0)= 2-0=2)
Ответ:
3710 = 2516
система
счисления
11

12.

Перевод из 2, 8, 16ой систем счисления в 10ую
Правило: чтобы перевести число в десятичную систему
счисления необходимо воспользоваться формулой.
4 3 2 1 0 разряды
100112 = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 =
2 10
= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 1910
2 1 0 разряды
1448 = 1·82 + 4·81 + 4·80 =
8 10
= 64 + 32 + 4 = 10010
C
92C816 = 9·163 + 2·162 + 12·161 + 8·160 =
= 36864 + 512 + 192 + 8 = 3757610
16 10
3 210
разряды
12

13.

Таблица восьмеричных чисел
Число в восьмеричной Число в десятичной
системе счисления
системе счисления
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
13

14.

Таблица шестнадцатеричных чисел
X16
X2
X16
X2
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Х16 – число в
шестнадцатеричной
системе
счисления,
Х2 – число в
двоичной
системе
счисления
14

15.

Перевод из 2ой системы счисления в 8ую
2 8
8 = 23
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа, при
необходимости дополнить нулями:
{
{
{
{
{
001 001 011 101 1112
Триады – группы
по три двоичные
цифры
Шаг 2. Каждую триаду записать одной
восьмеричной цифрой по таблице:
001 001 011 101 1112
1
Ответ:
1
3
5
Слайд 13
7
10010111011112 = 113578
15

16.

Перевод из 2ой системы счисления в 16ую
2 16
16 = 24
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа, при
необходимости дополнить нулями:
{
{
{
{
0001 0010 1110 11112
Тетрады – группы
по четыре
двоичные цифры
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной
шестнадцатеричной цифрой по таблице:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ:
10010111011112 = 12EF16
Слайд 14
16

17.

Перевод из 8ой системы счисления в 2ую
!
Каждая восьмеричная цифра может быть
записана как три двоичных (триада)
по таблице!
Слайд 13
17258 =
8 2
{
{
{
{
= 001 111 010 1012
Ответ:
17258 = 0011110101012
17

18.

Перевод из 16ой системы счисления в 2ую
!
Каждая шестнадцатеричная цифра может
быть записана как четыре двоичных
(тетрада) по таблице!
Слайд 14
7F1A16 =
16 2
{
{
{
{
= 0111 1111 0001 10102
Ответ:
7F1A16 = 01111111000110102
18

19.

Итог
2
2
8
разбить на
триады справа,
таблица
8 каждая цифра =
трем двоичным,
таблица
делить на 2,
10 остатки от
деления в
обратном порядке
каждая цифра =
16 четырем
двоичным,
таблица
10
по формуле,
разряды и 2 в
степени
по формуле,
разряды и 8 в
степени
делить на 8,
остатки от
деления в
обратном порядке
-
16
разбить на
тетрады справа,
таблица
-
делить на 16,
остатки от
деления в
обратном порядке
по формуле,
разряды и 16 в
степени
19

20.

Индивидуальное домашнее задание (ИДЗ)
Требования к оформлению ИДЗ:
1. Сдавать в набранном и распечатанном виде.
2. По каждому заданию:
- написать правило перевода;
- привести подробные расчеты;
- результаты перевода привести в ответе.
Вот так: Ответ: 100112 = 238 = 1910 = 1316
3. В конце ИДЗ разместить сводную таблицу с результатами:
2
110100
11001111
100011011
11011000001
8
64
317
433
-
10
52
207
283
1729
16
34
11B
6C1
20