Тема 3. Арифметические основы ЭВМ

1.

Тема 3. Арифметические основы ЭВМ
1. Понятие о системах счисления
2. Системы счисления, используемые в ЭВМ
3. Переводы чисел в смешанных системах
счисления
4. Арифметика в позиционных системах
счисления

2.

3.

1. Понятие о системах счисления
Непозиционная система счисления -римская
система. В качестве цифр используются латинские
буквы:
I V
X
L
C
D
M
1 5
10
50
100 500 1000
Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух
сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.
Пример 2. MCMXCVIII = 10000 + (-100 + 1000) + (10 + 100) + 5 + 1+1+1 = 1998.

4.

Система счисления
Древнего Египта
Старинная Русская система, с
помощью которой сборщики податей
заполняли квитанции об уплате подати
(Звезда – 1000 р, колесо – 100р,
квадрат – 10р, Х – 1р,
I – копейка)

5.

Славянская нумерация (или
алфавитная) – числовые значения
букв устанавливались в порядке
славянского алфавита.
Над буквой, обозначающей
число, ставился специальный знак
~ («титло»).
Славянская система счисления
сохранилась в церковных книгах.

6.

В позиционной СС количественное значение каждой цифры
зависит от ее места (позиции) в числе.
Древнее написание цифр (количество углов = значению
символа)
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно
иметь алфавит из n цифр.
При n<10 используют n первых арабских цифр.
При n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

7.

Основание
СС
Название
Алфавит
N=2
Двоичная
0, 1
N=8
Восьмеричная
0,1,2,3,4,5,6,7
N=16
Шестнадцатеричная
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
A,B,C,D,E,F
Основание любой СС обозначается как 10

8.

Развернутая форма записи числа:
Aq=an-1qn-1+ an-2qn-2... +a1q+a0+a-1q-1+a-2q-2+...+ a-m q-m
здесь ai – коэффициенты (цифры числа),
q – снование системы счисления (q>1),
n – число разрядов целой части числа, m – число
разрядов дробной части числа.

9.

Пример 3. Получить развернутую запись чисел:
26, 38710=2 101 + 6 100 + 3 10-1+ 8 10-2+ 7 10-3
1011012 = 1 10101 + 0 10100 + 1 1011 + 1 1010+ 0 101 + 1 100
15FC16 = 1 103 + 5 102 + F 101 + C 100
Пример 4. Перевести в десятичную систему.
1011012 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22+ 0 21 + 1 20 = 4510
15FC16 = 1 163 + 5 162 + 15 161 + 12 160 = 562810

10.

2. Системы счисления, используемые в ЭВМ
Системы счисления по основанию 2:
•двоичная (используются цифры 0, 1);
•восьмеричная (используются цифры 0, 1, 2, …, 7);
•шестнадцатеричная (0, 1, …, 9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в
качестве цифр используются символы A< B, C, D, E, F).
Достоинства двоичной системы:
1. для реализации нужны технические устройства с двумя
устойчивыми состояниями;
2. представление информации посредством двух состояний надежно
и помехоустойчиво;
3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения
логических преобразований информации;
4. двоичная арифметика намного проще десятичной.

11. Пример. Перевести десятичное число в двоичную систему счисления

19 | 2
1| 9 | 2
1|4|2
0|2|2
0|1
получим 1910 = 100112

12. Пример. Перевести десятичное число 567 в шестнадцатеричную СС

13. Пример. Перевести десятичное число 567 в двоичную СС

14. Пример. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

0 1875
*2
0 3750
*2
0 7500
*2
1 5000
*2
1 0000
0 1875
*8
1 5000
*8
4 0000
0 1875
*16
1 1250
1 875
3 0000
0,187510 = 0,00112 = 0.148 = 0,3 16

15.

3. Переводы чисел в смешанных системах счисления

16. Двоично-шестнадцатеричная таблица

16 СС
0
1
2
3
4
5
6
7
2 СС
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
16 СС
8
9
A
B
C
D
E
F
2 СС
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

17. Двоично-восьмеричная таблица

8 СС 2 СС
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111

18. Пример. Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему.

Разделим число на группы по четыре цифры в каждой,
начиная справа. Если в крайней левой группе окажется
меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.
0011 0111 1010 1110 1111.
Теперь заменим каждую двоичную группу на
соответствующую шестнадцатеричную цифру.
0011 0111 1010 1110 11112 = 37AEF16.

19. Пример. Перевести число 15FC16 в двоичную систему.

Каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим
на четверку двоичных знаков.
Получим:
0001 0101 1111 1100.
Отбросим нули слева и получим результат в двоичной
системе счисления.
15FC16 = 10101111111002

20. Пример. Перевести смешанное число 1011101,101112 в восьмеричную систему.

Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как
влево так и вправо. Затем производится перекодировка:
1011101,101112 = 001 011 101, 101 110 = 135,568.

21. Арифметика в позиционных системах счисления

1.Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по
правилам
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 = 102 (единица идет в
старший разряд).
2. Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид
0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у
старшего разряда).
3. Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид
0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.
4. Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид
0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0,
1 : 1 = 1.

22.

Пример. Сложить числа
100000001002 + 1110000102 = 101110001102
223,28 + 427,548 = 652,748
3B3,616 + 38B,416 = 73E,A16
10000000100
223,2
3B3,6
+ 111000010
+457,54
+38B,4
10111000110
652,74
73E,A
Пример. Выполнить вычитание
1100000011,0112 – 101010111,12 = 110101011,1112
1510,28 - 1230,548 = 257,448
27D,D816 – 191,216 = EC,B816