Решение неравенств с одной переменной. 8 класс

1. Решение неравенств с одной переменной

Алгебра
8 класс
МБОУ СОШ № 80

2. Цели урока:

• ввести понятия «решение неравенства»,
«равносильные неравенства»;
• познакомиться со свойствами равносильности
неравенств;
• рассмотреть решение линейных неравенств вида
ах > b, ax < b;
• научиться решать неравенства с одной
переменной, опираясь на свойства
равносильности.

3. Устные упражнения

• Зная, что a < b, поставьте соответствующий знак < или >,
чтобы неравенство было верным:
1) -5а □ - 5b
2) 5а □ 5b
3) a – 4 □ b – 4
4) b + 3 □ a +3

4. Устные упражнения

• Принадлежит ли отрезку [- 7; - 4]
число:
• - 10
• - 6,5
• -4
• - 3,1

5. Устные упражнения

• Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:
4
[-1; 4]
• (- ∞; 3)
• (2; + ∞)
2
не существует

6. Устные упражнения

• Найди ошибку!
• x≥7
Ответ: (- ∞; 7)
7
• y < 2,5
Ответ: (- ∞; 2,5)
2,5

7.

В учении нельзя
останавливаться
Сюньцзы

8. Историческая справка

• Понятиями неравенства пользовались уже
древние греки.
• Например, Архимед (III в. до н. э.),
занимаясь вычислением длины
окружности, указал границы числа «пи».
• Ряд неравенств приводит в своём
трактате «Начала» Евклид. Он,
например, доказывает, что среднее
геометрическое двух чисел не больше их
среднего арифметического и не меньше
их среднего гармонического.

9. Историческая справка

• Современные знаки неравенств
появились лишь в XVII— XVIII вв.
• В 1631 году английский математик
Томас Гарриот ввел для отношений
«больше» и «меньше» знаки
неравенства < и >, употребляемые и
поныне.
Символы и ≥ были введены в 1734
году французским математиком
Пьером Буге́ром.

10. Неравенства

Скажите мне, какая математика без них?
О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.
Неравенства такая штука – без правил не решить!
Я тайну всех неравенств попробую открыть.

11. Рассмотрим неравенство 5х – 11 > 3

Рассмотрим неравенство 5х – 11 > 3
• при х = 4
• при х = 2
5 • 4 – 11 > 3; 9 > 3 – верно;
5 • 2 – 11 > 3, - 1 > 3 – неверно;
Решением неравенства с одной переменной
называется значение переменной, которое
обращает его в верное числовое неравенство.

12. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

• Являются ли числа 2; 0,2 решением неравенства:
а) 2х – 1 < 4;
б) - 4х + 5 > 3?
Решить неравенство – значит найти все
его решения или доказать, что их нет.

13. Равносильные неравенства

Неравенства, имеющие одни и те же
решения, называют равносильными.
Неравенства, не имеющие решений,
тоже считают равносильными
2х – 6 > 0 и
7
0
3х 9
х2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 < 0
3х – 6 ≥ 0 и 2х > 8
х≥2
х>4
равносильны
х>3
равносильны нет решений
неравносильны

14. При решении неравенств используются следующие свойства:

• Если из одной части неравенства перенести в другую
слагаемое с противоположным знаком, то получится
равносильное ему неравенство.
• Если обе части неравенства умножить или разделить
на одно и то же положительное число, то получится
равносильное ему неравенство;
• если обе части неравенства умножить или разделить
на одно и то же отрицательное число, изменив при
этом знак неравенства на противоположный, то
получится равносильное ему неравенство.

15.

На примерах учимся
Федр

16. Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.

Пример 1. Решим неравенство
3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.
• Раскроем скобки
приведём подобные слагаемые:
• Сгруппируем в левой части
слагаемые с переменной, а
в правой - без переменной:
• Приведём подобные слагаемые:
• Разделим обе части неравенства
на положительное число 3,
сохраняя при этом знак
неравенства:
6х – 3 > 2х + 4 + х + 5
6х – 3 > 3х + 9
6х – 3х > 9 + 3
3х > 12
х>4
4
Ответ: (4; + ∞)
х

17. Пример 2. Решим неравенство > 2.

Пример 2. Решим неравенство
• Умножим обе части
неравенства на наименьший
общий знаменатель дробей,
входящих в неравенство, т. е.
на положительное число 6:
• Приведём подобные слагаемые:
• Разделим обе части на
отрицательное число – 1,
изменив знак неравенства на
противоположный:
х х > 2.
3 2
х х> 2 • 6
6
6
• 2х
3 – 3х > 212
• - х > 12
• х < - 12
- 12
х
Ответ:(- ∞; -12)

18. Неравенства вида ах > b или ах < b, где а и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Неравенства вида ах > b или ах < b, где а и b –
некоторые числа, называют линейными неравенствами
с одной переменной.
5х ≤ 15,
3х > 12,
- х > 12
• Решения неравенств ах > b или ах < b при а = 0.
Пример 1. 0 • х < 48 Ответ: х – любое число.
Пример 2. 0 • х < - 7 Ответ: нет решений.
• Линейное неравенство вида 0 • х < b или 0 • х > b, а
значит и соответствующее ему исходное
неравенство, либо не имеет решений, либо его
решением является любое число.

19. Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной.

• Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
• Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части
неравенства, а без переменной – в правой части, при
переносе меняя знаки.
• Привести подобные слагаемые.
• Разделить обе части неравенства на коэффициент
при переменной, если он не равен нулю.
• Изобразить множество решений неравенства на
координатной прямой.
• Записать ответ в виде числового промежутка.

20. Устные упражнения

Решите неравенство:
1) – 2х < 4
2) – 2х > 6
3) – 2х ≤ 6
х>-2
х<-3
4) – х < 12 х > - 12
5) – х ≤ 0
х≥0
х≥-3
6) – х ≥ 4
х≤-4
Знак изменится, когда неравенств обе части
Делить на с минусом число

21. Устные упражнения

• Найдите решение неравенств:
1) 0 • х < 7
2) 0 • x < -7
не имеет решений
3) 0 • х ≥ 6
4) 0 • х > - 5
5) 0 • х ≤ 0
6) 0 • x > 0
х - любое число

22. Письменные упражнения

Выполните:
• № 836(а, б, в)
• № 840(д, е, ж, з)
• № 844(а, д)

23.

Как приятно,
что ты что – то
узнал.
Мольер

24. Домашнее задание

• Изучить п.34(выучить
определения, свойства и
алгоритм решения).
• Выполнить
№ 835;
№836(д – м);
№ 841.