Нейронные сети

1. Лекция 1

Домашова Д.В.

2. Нейронные сети

Нервная система человека, построенная из
элементов, называемых нейронами, имеет
ошеломляющую сложность.
Около 1011 нейронов участвуют в примерно 1015
передающих связях, имеющих длину метр и более.
Уникальной способностью нейрона является
прием, обработка и передача электрохимических
сигналов по нервным путям, которые образуют
коммуникационную систему мозга.

3. Нейронные сети

Дендриты идут от тела нервной клетки к другим
нейронам, где они принимают сигналы в точках
соединения, называемых синапсами.
Принятые синапсом входные сигналы
подводятся к телу нейрона. Здесь они
суммируются, причем одни входы стремятся
возбудить нейрон, другие – воспрепятствовать
его возбуждению.
Когда суммарное возбуждение в теле нейрона
превышает некоторый порог, нейрон
возбуждается, посылая по аксону сигнал другим
нейронам.

4. Искусственный нейрон

Нейрон состоит из элементов трех типов:
умножителей (синапсов), сумматора и нелинейного
преобразователя.

5. Искусственный нейрон

Синапсы осуществляют связь между нейронами,
умножают входной сигнал на число, характеризующее
силу связи (вес синапса).
Сумматор выполняет сложение сигналов,
поступающих по синаптическим связям от других
нейронов, и внешних входных сигналов.
Нелинейный преобразователь реализует
нелинейную функцию одного аргумента- выхода
сумматора.
Эта функция называется функцией активации или
передаточной функцией нейрона.

6. Искусственный нейрон

Алгоритм работы:
нейрон получает набор (вектор) входных сигналов.
в теле нейрона оценивается суммарное значение входных
сигналов.
каждый вход характеризуется некоторым весовым
коэффициентом, определяющим важность поступающей по нему
информации (нейрон не просто суммирует значения входных
сигналов, а вычисляет скалярное произведение вектора входных
сигналов и вектора весовых коэффициентов).
нейрон формирует выходной сигнал, интенсивность которого
зависит от значения вычисленного скалярного произведения.
Если оно не превышает некоторого заданного порога, то
выходной сигнал не формируется вовсе - нейрон «не
срабатывает».
6

7. Математическая модель нейрона

n
s wi * xi b
i 1
y f (s)
В общем случае входной сигнал, весовые
коэффициенты и смещение могут принимать
действительные значения, а во многих практических
задачах- некоторые фиксированные значения.
Выход (у) определяется видом функции активации и
может быть как действительным, так и целым.
На входной сигнал (s) нелинейный преобразователь
отвечает выходным сигналом f(s), который
представляет собой выход нейрона.

8. Функции активации нейрона F(s)

1
F (s)
as
1 e
Одной из наиболее распространенных является
нелинейная функция активации с насыщением, так
называемая логистическая функция или сигмоид

9. Функции активации нейрона F(s)

1
F (s)
1 e as
При уменьшении а сигмоид становится более пологим, в
пределе а=0 вырождаясь в горизонтальную линию на
уровне 0,5;
при увеличении а сигмоид приближается к виду
функции единичного скачка с некоторым порогом.
Из выражения для сигмоида очевидно, что выходное
значение нейрона лежит в диапазоне (0,1).
Для производной сигмоидной функции верно
следующее соотношение:
f '( x) f ( x) (1 f ( x))

10. Функции активации нейрона F(s)

Другой широко используемой активационной функцией
является гиперболический тангенс.

11. Функции активации нейрона F(s)

Подобно логистической функции гиперболический
тангенс является s-образной функцией, но он
симметричен относительно начала координат, и в точке
0 значение выходного сигнала равно нулю.
В отличие от логистической функции гиперболический
тангенс принимает значения различных знаков, что
оказывается выгодным для ряда сетей.

12. Функции активации нейрона F(s)

передаточная функция сети Хопфилда. Тип входного и
выходного сигналов: биполярные (+1 и -1).

13. Модель нейронной сети. Персептрон.

Персептро́н, или перцептрон (англ. perceptron от лат.
perceptio — восприятие; нем. perzeptron) — математическая и
компьютерная модель восприятия информации мозгом
(кибернетическая модель мозга), предложенная Фрэнком
Розенблаттом в 1957 году и реализованная в виде
электронной машины «Марк-1» в 1960 году.
Перцептрон стал одной из первых моделей нейросетей, а
«Марк-1» — первым в мире нейрокомпьютером.
Несмотря на свою простоту, перцептрон способен обучаться
и решать довольно сложные задачи.
Основная математическая задача, с которой он справляется,
— это линейное разделение любых нелинейных множеств, так
называемое обеспечение линейной сепарабельности.

14. Нейронные сети

Персептрон - один слой
искусственных нейронов,
соединенных с помощью весовых
коэффициентов с множеством
входов.
На входы подаются входные
сигналы, поступающие далее по
синапсам на нейроны, которые
образуют единственный слой этой
сети.
x1,x2…-известные значения, y1, y2определяемые значения
1
f ( x)
1 e x
f '( x) f ( x) (1 f ( x))
На выходах сети формируются
выходные сигналы
14

15. Математическая модель работы нейрона в случае если F имеет вид жесткой ступеньки

Работа всех сетей сводится к классификации (обобщению)
входных сигналов, принадлежащих n-мерному гиперпространству, по некоторому числу классов.
С математической точки зрения это происходит путем
разбиения гиперпространства гиперплоскостями (запись
для случая однослойного перцептрона)
Каждая полученная область является областью
определения отдельного класса. Число таких классов для
одной НС перцептронного типа не превышает 2m, где m –
число выходов сети.
n
xi wik Tk
i 1
k=1...m

16. Математическая модель работы нейрона в случае если F имеет вид жесткой ступеньки

C математической точки зрения это происходит путем
разбиения гиперпространства гиперплоскостями.
Каждая полученная область является областью
определения отдельного класса.
Число таких классов для персептрона не превышает 2m,
где m - число его выходов.
По сути, нейронная сеть или персептрон - это алгоритм,
использующий уравнение линейного неравенства
(линейного фильтра), с помощью которого можно
причислить исследуемый объект к тому или иному
классу или, наоборот, исключить его из этого самого
класса объектов.

17. Математическая модель работы нейрона в случае если F имеет вид жесткой ступеньки

Геометрически плоскость описывается линейным
уравнением. Например, в трехмерном пространстве
уравнение плоскости относительно координат X, Y и Z имеет
вид:
A X B Y C Z D 0
Координаты всех точек, расположенных по одну сторону от
плоскости в этом пространстве, удовлетворяют неравенству:
A X B Y C Z D 0
Соответственно, весовые коэффициенты в неравенстве
нейронной сети - это константы, которые задают уравнение
некой плоскости в многомерном пространстве признаков
объектов. А с помощью самого неравенства можно точно
определить, лежат ли эти объекты по одну или по другую
сторону заданной плоскости.

18. Нейронные сети

В многослойных сетях нейроны
объединяются в слои.
Слой содержит совокупность нейронов
с едиными входными сигналами.
Число нейронов в слое может быть
любым и не зависит от количества
нейронов в других слоях.
Определение числа скрытых слоев
и числа нейронов в каждом слое для
конкретной задачи является неформальной задачей.
Нейроны определенным образом соединены друг с
другом и с внешней средой с помощью связей,
определяемых весовыми коэффициентами.
Внешние входные сигналы подаются на входы нейронов
входного слоя, а выходами сети являются выходные
сигналы последнего слоя.
18

19. Нейронные сети

Обучение НС может вестись с учителем или
без него.
В первом случае сети предъявляются
значения как входных, так и желательных
выходных сигналов, и она по некоторому
внутреннему алгоритму подстраивает веса
своих синаптических связей.
Во втором случае выходы НС формируются
самостоятельно, а веса изменяются по
алгоритму, учитывающему только входные и
производные от них сигналы.

20. Нейронные сети: обучение с учителем

Процесс функционирования нейронной сети зависит от величин
синаптических связей (значения wij).
Обучение с учителем - для заданной структуры сети,
соответствующей какой-либо задаче, необходимо найти
оптимальные значения всех весовых коэффициентов для
некоторого набора известных значений входов и выходов
(обучающие примеры).
Обучение нейронной сети является задачей многомерной
оптимизации, для решения которой используются существующие
оптимизационные методы.
От качества обучения зависит способность сети решать
поставленные перед ней задачи во время функционирования.
20

21. Нейронные сети: обучение с учителем

Алгоритм обучения:
ШАГ 1. Задать исходные значения весовых коэффициентов
(случайные значения).
ШАГ 2. Подать на входы один из входных векторов, которые сеть
должна научиться различать, и вычислить ее выход (поочередно
в случайном порядке предъявляются все возможные входные
вектора).
ШАГ 3. Если выход правильный, перейти на шаг 4. Иначе модифицировать веса по некоторому правилу.
Шаг 4. Цикл с шага 2, пока сеть не перестанет ошибаться.
К сожалению, нельзя заранее определить число итераций, которые
потребуется выполнить, а в некоторых случаях и гарантировать
полный успех.
21

22. Обучение с учителем однослойного персептрона

1. Проинициализировать элементы весовой матрицы (обычно
небольшими случайными значениями).
2. Подать на входы один из входных векторов, которые сеть должна
научиться различать, и вычислить ее выход.
3. Если выход правильный, перейти на шаг 4.
Иначе вычислить разницу между идеальным и полученным
значениями выхода:
Модифицировать веса в соответствии с формулой:
где t и t+1 – номера соответственно текущей и следующей итераций; –
коэффициент скорости обучения, 0< <1; i – номер входа; j – номер
нейрона в слое.
Очевидно, что если YI > Y весовые коэффициенты будут увеличены и
тем самым уменьшат ошибку. В противном случае они будут
уменьшены, и Y тоже уменьшится, приближаясь к YI.
4. Цикл с шага 2, пока сеть не перестанет ошибаться.
На втором шаге на разных итерациях поочередно в случайном
порядке предъявляются все возможные входные вектора.

23. Алгоритм обратного распространения ошибки

Метод обратного распространения
ошибки предложен несколькими
авторами независимо в 1986 г. для
многослойных сетей с прямой
передачей сигнала (feed-forward).
Многослойная нейронная сеть
способна осуществлять любое
отображение входных векторов в
выходные
23

24. Алгоритм обратного распространения ошибки

25. Алгоритм обратного распространения ошибки

Цель обучения состоит в подборе таких значений весов и для
слоев сети, чтобы при заданном входном векторе х получить на
выходе значения сигналов yl, которые с требуемой точностью
будут совпадать с ожидаемыми значениями dl для l = 1, 2,…, M.
Если рассматривать единичный сигнал как одну из компонент
входного вектора х, то веса смещения можно добавить в
векторы весов соответствующих нейронов обоих слоев. При
таком подходе выходной сигнал i-го нейрона скрытого слоя
описывается функцией
uj
f
N
j 0
(1)
wij
xj
в которой индекс 0 соответствует смещению, причем
u0 1, x0 1.
25

26. Алгоритм обратного распространения ошибки

В выходном слое l-й нейрон вырабатывает выходной
сигнал, определяемый как:
K ( 2) N (1)
m ( 2)
yl f wli ui f wli f wij x j
j 1
i 1
i 1
Из формулы , приведенной выше, следует, что на
значение выходного сигнала влияют веса обоих
слоев, тогда как сигналы, вырабатываемые в
скрытом слое, не зависят от весов выходного слоя.
26

27. Алгоритм обратного распространения ошибки

Алгоритм обратного распространения ошибки - итеративный
градиентный алгоритм обучения, который используется с целью
минимизации среднеквадратичного отклонения текущих от требуемых
выходов многослойных нейронных сетей с последовательными связями.
На каждом шаге алгоритма на вход сети поочередно подаются все
обучающие примеры, реальные выходные значения сети сравниваются с
требуемыми значениями, и вычисляется ошибка.
Значение ошибки, а также градиента поверхности ошибок используется для
корректировки весов, после чего все действия повторяются.
Процесс обучения прекращается либо когда пройдено определенное
количество шагов обучения, либо когда ошибка достигнет некоторого
определенного малого уровня, либо когда ошибка перестанет уменьшаться.
Недостаток - на каждой итерации происходят изменения значений
параметров сети, улучшающие работу лишь с одним примером обучающей
27
выборки. Такой подход существенно уменьшает скорость обучения.

28. Алгоритм обратного распространения ошибки

Согласно
методу
минимизируемой
целевой
наименьших
функцией
квадратов,
ошибки
НС
является величина:
E ( w)
где
1
2 j
)
y (N
jp
( y(jpN ) d jp )2
p
– реальное выходное состояние нейрона j
выходного слоя N нейронной сети при подаче на ее
входы p-го образа;
djp – идеальное (желаемое) выходное состояние
этого нейрона.
Суммирование ведется по всем нейронам выходного
слоя и по всем обрабатываемым сетью образам.

29. Алгоритм обратного распространения ошибки

Минимизация ведется методом градиентного спуска, что
означает подстройку весовых коэффициентов следующим
образом:
wij (t 1) wij (t )
i=1,2,…,n; j=1,2,…,p,
E (k )
wij (t )
Здесь wij – весовой коэффициент синаптической связи,
соединяющей i-ый нейрон слоя n-1 с j-ым нейроном слоя n,
– коэффициент скорости обучения, 0< <1,
E – среднеквадратичная ошибка сети для одного из k
образов, определяемая по формуле:
1 m
E ( yl dl )2
2 l 1

30. Алгоритм обратного распространения ошибки

Алгоритм обратного распространения — способ
ускоренного расчета компонент градиента.
Идея метода в том, чтобы представить E в виде
сложной функции и последовательно рассчитать
частные производные по формуле для сложной
функции:

31. Алгоритм обратного распространения ошибки