Элементы алгебры логики. Математические основы информатики

1.

ЭЛЕМЕНТЫ
АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИНФОРМАТИКИ

2.

Ключевые слова
• алгебра логики
• высказывание
• логическая операция
• конъюнкция
• дизъюнкция
• отрицание
• логическое выражение
• таблица истинности
• законы логики

3.

Логика
Аристотель (384-322 до н.э.).
Основоположник формальной логики (понятие,
суждение, умозаключение).
Джордж Буль (1815-1864). Создал новую
область науки - Математическую логику
(Булеву алгебру или Алгебру высказываний).
Клод Шеннон (1916-2001). Его
исследования позволили применить алгебру
логики в вычислительной технике

4.

Алгебра
Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных
сложению и умножению, которые могут выполняться
над разнообразными математическими объектами –
числами, многочленами, векторами и др.

5.

Высказывание
Высказывание - это предложение на любом языке,
содержание которого можно однозначно определить как
истинное или ложное.
В
русском
языке
высказывания
выражаются
повествовательными предложениями:
Земля вращается вокруг Солнца.
Москва - столица.
Но не всякое повествовательное предложение является
высказыванием:
Это высказывание ложное.
Побудительные
и
вопросительные
предложения
высказываниями не являются.
Без стука не входить!
Откройте учебники.
Ты выучил стихотворение?

6.

Высказывание или нет?
Зимой идет дождь.
Снегири живут в Крыму.
Кто к нам пришел?
У треугольника 5 сторон.
Как пройти в библиотеку?
Переведите число в десятичную систему.
Запишите домашнее задание

7.

Алгебра логики
Алгебра
логики
определяет
вычисления значений, упрощения
высказываний.
правила
записи,
и преобразования
В алгебре логики высказывания обозначают буквами и
называют логическими переменными.
Если
высказывание
истинно,
то
значение
соответствующей ему логической переменной обозначают
единицей (А = 1), а если ложно - нулём (В = 0).
0 и 1 называются логическими значениями.

8.

Простые и сложные
высказывания
Высказывания бывают простые и сложные.
Высказывание называется простым, если никакая его
часть сама не является высказыванием.
Сложные (составные) высказывания строятся из простых с
помощью логических операций.
Название логической операции
Логическая связка
Конъюнкция
«и»; «а»; «но»; «хотя»
Дизъюнкция
«или»
Инверсия
«не»; «неверно, что»

9.

Логические операции
Конъюнкция - логическая операция, ставящая в
соответствие
каждым
двум
высказываниям
новое
высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда,
когда оба исходных высказывания истинны.
Другое название: логическое умножение.
Обозначения:
, , &, И.
Таблица истинности:
А
В
А&В
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Графическое представление
A
А&В
B

10.

Логические операции
Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум
высказываниям ставит в соответствие новое высказывание,
являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба
исходных высказывания ложны.
Другое название: логическое сложение.
Обозначения:
V, |, ИЛИ, +.
Таблица истинности:
А
В
АVВ
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Графическое представление
A
B
АVВ

11.

Логические операции
Инверсия - логическая операция, которая каждому
высказыванию ставит в соответствие новое высказывание,
значение которого противоположно исходному.
Другое название: логическое отрицание.
Обозначения: НЕ,
¬,¯
Таблица истинности:
А
Ā
0
1
1
0
.
Графическое представление
Ā
A
Логические операции имеют следующий приоритет:
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

12.

Решаем задачу
Пусть А = «На Web-странице встречается слово
"крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово
"линкор"».
В некотором сегменте сети Интернет 5000000 Webстраниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц,
высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание АVВ для 7000 страниц.
Для какого количества Web-страниц в этом случае будут
истинны следующие выражения и высказывание?
а) НЕ (А ИЛИ В);
б) А & B;
в) На Web-странице встречается слово "крейсер" И НЕ
встречается слово "линкор".

13.

Представим условие задачи графически:
5 000 000
A ИA B
A&B
B
7 000
НЕ (А ИЛИ В)
А ИЛИ В
4800 – 2300 = 2500 Web-страниц
A = 4800, B = 4500.
Сегмент Web-страниц
4800
+встречается
4500
= 9300 слово
На
2500
5000000 Web-страницах
– 7000 = 4 993
000
Web-страниц
НЕ (А "крейсер"
ИЛИ В)
И НЕ встречается слово "линкор".
9300 – 7000 = 2300 Web-страниц A&B

14.

Построение таблиц истинности для
логических выражений
подсчитать n - число переменных в выражении
подсчитать общее число логических операций в выражении
установить последовательность выполнения логических операций
определить число столбцов в таблице
заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции
определить число строк в таблице без шапки: m =2n
выписать наборы входных переменных
провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические
операции в соответствии с установленной последовательностью

15.

Пример построения таблицы истинности
АVA&B
n = 2, m = 22 = 4.
Приоритет операций: &, V
A
B
A&B
AVA&B
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1

16.

Свойства логических операций
Законы алгебры-логики
Закон исключения
Переместительный
третьего
Закон
Сочетательный
повторения
A&
AB
& =Ā B
=&
0A
AV
AB
V=
ĀB
=V
1A
(A & B) &
AC
& =AA= &
A ( B & C)
(A V B) A
VC
VA
=A=VA( B V C)
Законы операций
Распределительный
с0и1
A&(B
A&
VC)=
0=0;(A&B)
A &1V =(A&C)
A
Закон
Законы
двойного
общей
отрицания
инверсии
A&B=ĀVB
Ā=A
AVB =Ā&B
V 0 = =A;(AA
V1=V
1 C)
AVA(B&C)
VB)&(A

17.

Доказательство закона
Распределительный закон для логического сложения:
A v (B & C) = (A v B) & (A v C).
A
B
C
0
B&C
0
A v (B & C)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
AvB
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
A v C (A v B) & (A v C)
0
0
Равенство
столбцов
Умножаем
Складываем
Умножаем
(АvB)
ВА
наи СC
В
(В&С)
навыделенных
ии(AvC
выводим
выводим
и выводим
)и выводим
результат.
результат.
результат.
результат.
распределительный закон.
1
1
доказывает

18.

Решение логических задач
Задача. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки.
Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую
бабушкину вазу.
На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:
Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал.
Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля.
Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.
Бабушка знала, что один из её
внуков (правдивый), оба раза сказал
правду; второй (шутник) оба раза
сказал неправду; третий (хитрец) один
раз сказал правду, а другой раз неправду. Назовите имена правдивого,
шутника и хитреца.
Кто из внуков разбил вазу?

19.

Решение. Пусть К =«Коля разбил вазу»,
В =«Вася разбил вазу»,
С =«Серёжа разбил вазу».
Представим в таблице истинности высказывания каждого
мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, составим не
всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий наборы
входных переменных: 001, 010, 100.
K
B
C
Утверждение
Серёжи
Утверждение
Васи
Утверждение
Коли
С
В
С
K
К
C
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать
в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три
комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10). Это первая строка.
Вазу разбил Серёжа, он - хитрец. Шутником оказался Вася.
Имя правдивого внука - Коля.

20.

Логические элементы
Логический элемент – устройство, которое после
обработки двоичных сигналов выдаёт значение одной из
логических операций.
А
&
В
А
1
В
И (конъюнктор)
ИЛИ (дизъюнктор)
А
НЕ (инвертор)

21. Анализ электронной схемы

Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А
и
В сигнал
внесём
в быть
таблицу
истинности.
Проследим
Какой
должен
на выходе
при каждом возможном
преобразование
пары сигналов при прохождении их
наборе сигналов каждой
на входах?
через логические элементы и запишем полученный
результат в таблицу. Заполненная таблица истинности
полностью описывает рассматриваемую электронную схему.
А
В
&
F
A
B
F
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
В инвертор поступает сигнал от входа В.
В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от
инвертора. Таким образом, F = A & B.

22.

Самое главное
Высказывание — это предложение на любом языке,
Таблицы истинности для основных логических операций:
содержание которого можно однозначно определить как
истинное или ложное.
Основные
логические
операции,
А
Ā
A
B определённые
A&B AVB над
высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
0
1
Название
1 логической
0
операции
Инверсия
0
0
Логическая
связка
0
1
0
Обозначение
0
1
1
0
0
1
1
1
«не, «неверно, что»
Конъюнкция
0
¬, ─
1
1
«и», «а», «но»,
&
При вычислении «хотя»
логических выражений сначала
Дизъюнкция
выполняются действия«или»
в скобках. Приоритет выполнения
V
логических операций: ¬, &, V.

23.

Вопросы и задания
В следующих высказываниях выделите простые
Объясните,
почему следующих
следующие
предложения
не
Постройте
отрицания
высказываний.
высказывания,
обозначив
каждое
из
них
буквой.
Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной
являются
высказываниями.
Запишите
с
букв и знаков
логических
операций
схемы
при
каждом
возможном
наборе
сигналов на
входах.
Пусть А =помощью
«Ане нравятся
уроки
математики»,
а В =
Составьте
таблицу
работы
схемы.
Каким
логическим
1)Приведите
Сегодня
в по
театре
идёт
опера
«Евгений
Онегин».
каждое
составное
высказывание.
одному
примеру
истинных
и ложных
«Ане
нравятся
уроки
химии».
Выразите
следующие
1)
Какого
цвета
этот
дом?
выражением
описывается
схема?
2)
Каждый
охотник
желает
где сидит
фазан.
высказываний
из
биологии,
географии,
информатики,
1)
Число
376
чётное
и
трёхзначное.
формулы на обычном языке:знать,
3) Число
1 есть
число.единицы.
2) Число
Х непростое
превосходит
математики,
литературы.
2) Зимой истории,
дети катаются
на коньках
или на лыжах.
4) Натуральные
числа, оканчивающиеся цифрой 0, не
3) 4Х +3.
А
3) Новыйпростыми
год мы встретим
на 1дачеF или на Красной
являются
числами.
4) Посмотрите в окно.
площади.
5) Неверно, что число 3 не является делителем числа
Пейте томатный
сок!
4) 5)
Неверно,
что Солнце
движется вокруг Земли.
198.
6)Земля
Этарешил
тема
скучна.
6)
все задания
контрольной
работы.
5) Коля
имеет
форму шара,
который
из космоса
В
7) Во
всякой
школе -некоторые
ученики интересуются
7) Рикки
Мартин
самый популярный
певец.
кажется
голубым.
спортом.
былиматематики
в театре? старшеклассники отвечали на
6) 8)
НаВы
уроке
8) Некоторые
млекопитающие
не живутсамостоятельную
на суше.
вопросы
учителя,
а также писали
работу.

24.

Вопросы и задания
Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный
Разбирается
дело Джона,
Брауна и находку,
Смита. Известно,
сосуд.
Рассматривая
удивительную
каждый
что один по
издва
нихпредположения:
нашёл и утаил клад. На следствии
высказал
каждый из подозреваемых сделал два заявления:
1)
Алеша:
сосуд
греческий
изготовлен
Смит:
«Я «Это
не делал
этого.
Браунисделал
это». в V
веке».
Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это».
2) Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III
Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого».
веке».
Суд
установил,
что один
из них идважды
солгал,
3)
Гриша:
«Это сосуд
не греческий
изготовлен
в
другой
IV
веке».дважды сказал правду, третий один раз солгал,
один раз сказал правду.
Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них
Ктотолько
из подозреваемых
должен
быть оправдан?
прав
в одном из двух
предположений.
Где и в
каком веке изготовлен сосуд?

25.

Опорный конспект
Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого
можно однозначно определить как истинное или ложное.
Основные логические
операции
Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
А
Ā
A
B
A&B
A
B
AVB
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V.

26.

Электронные образовательные ресурсы
1. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/9e997f40-f285-4369-aa7d-88b892b
eca45/?interface=catalog&class=51&subject=19
– Элементарные логические операции