Методы решения тригонометрических уравнений

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2. I. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ.

3.

Пример:
3 cos 2 x 3sin x 0
3 (1 sin 2 x) 3sin x 0
3 1 sin 2 x 3sin x 0
Пусть sin x a,| a | 1 .
Уравнение примет вид:
a 2 3a 2 0
D 9 8 1
a1
3 1
2 - не удовлетворяет условию | a | 1
2
a2
3 1
1
2
sin x 1
x 2 n, n
2
Ответ: 2 n, n .
2

4. II. ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ.

5.

Уравнение вида
a sin x b cos x 0
называется однородным
уравнением I степени.

6.

Пример:
sin x cos x 0
Множество значений x, удовлетворяющих уравнению
cos x 0 , не является решением данного уравнения.
Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos x 0
.
Получим:
tgx 1 0
tgx 1
x n, n
4
Ответ:
n, n
4
.

7.

Уравнение вида
2
2
a sin x b sin x cos x c cos x 0
называется однородным
уравнением II степени.

8.

Пример:
2sin 2 x 3sin x cos x cos 2 x 0
Решение:
Множество значений x, удовлетворяющих
уравнению cos x 0 , не является решением
данного уравнения.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x 0 .
2
Получим: 2tg x 3tgx 1 0

9.

Пусть a tgx .
Уравнение примет вид:
2
2a 3a 1 0
D 9 8 1
3 1
1
a1
4
2
1
tgx
2
1
x arctg n, n
2
3 1
a2
1
4
tgx 1
x k , k
4
1
Ответ: arctg n, n ; k , k .
2
4

10. III. Если в уравнении содержится произведение функций sin(аx)sin(bx), sin(ax)cos(bx), cos(ax)cos(bx), то такие уравнения

III. ЕСЛИ В УРАВНЕНИИ
СОДЕРЖИТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ФУНКЦИЙ SIN(АX)SIN(BX),
SIN(AX)COS(BX), COS(AX)COS(BX), ТО
ТАКИЕ УРАВНЕНИЯ РЕШАЮТСЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ
(РАЗНОСТЬ) И НАОБОРОТ.

11.

При этом применяют тождества:
cos
2
2
sin sin 2sin
cos
2
2
cos cos 2cos
cos
2
2
cos cos 2sin
sin
2
2
sin sin 2sin
1
sin sin (cos( ) cos( ))
2
1
cos cos (cos( ) cos( ))
2
1
sin cos (sin( ) sin( ))
2

12.

Пример 1.
cos3 x cos x cos5 x cos 7 x
1
1
cos 4 x cos 2 x cos 2 x cos12 x
2
2
cos 4 x cos12 x 0
2sin8 x sin 4 x 0
8 x n, n
sin 4 x 0
4 x k , k
n
x ,n
8
k
x ,k
4
или
sin8 x 0
n
Ответ: x , n
8
.

13.

Пример 2.
sin x sin 3x sin 5 x sin 7 x 0
2sin 2 x cos x 2sin 6 x cos x 0
2cos x(sin 2 x sin 6 x) 0
2
2 2cos x sin 4 x cos x 0
cos x 0
sin 4 x 0
cos 2 x 0
x n, n
2
4 x k , k
2 x m, m
2
m
x
,m
4
2
k
x ,k
4
k
m
n, n ;
, k ;
, m .
Ответ:
2
4
4
2

14. IV. Понижение степени.

IV. ПОНИЖЕНИЕ
СТЕПЕНИ.

15.

Если в уравнении содержатся
чётные степени sinx и cosx, то
понижают степень уравнения с
применением понижающих
формул:

16.

Пример.
sin 2 x sin 2 5 x cos 2 2 x cos 2 4 x
1 cos 2 x 1 cos10 x 1 cos 4 x 1 cos8 x
2
2
2
2
cos 2 x cos 4 x cos8 x cos10 x 0
2cos3 x cos x 2cos9 x cos x 0
2cos(cos3 x cos9 x) 0
4cos x cos 6 x cos3 x 0
cos x 0
cos 6 x 0
x n, n
2
6x k, k
2
k
x
,k
12 6
cos3x 0
3 x m, m
2
m
x
,m
6
2
k
m
Ответ: 2 n, n ; 12 6 , k ; 6 2 , m .

17. V. Разложение на множители.

V. РАЗЛОЖЕНИЕ НА
МНОЖИТЕЛИ.

18. Пример.

ПРИМЕР.
4cos x sin x 2cos x 2sin x 1 0
2cos x(2sin x 1) (2sin x 1) 0
(2sin x 1)(2cos x 1) 0
1
sin
x
2
cos x 1
2

19. VI. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА.

20.

Пример
sin x cos x 1
Решение:
a 2 b 2 12 12 2
Разделим обе части уравнения на
Получаем:
1
1
1
sin x
cos x
2
2
2
1
sin x cos cos x
4
4
2
1
cos( x )
4
2
1
x arccos
2 n, n
4
2
x 2 n, n
4
4
x 2 n , n
4
4
sin
Ответ:
2 n , n
4
4