Уравнения n-ой степени

1. УРАВНЕНИЯ n-ой степени

2.

Большинство жизненных
задач решаются как
алгебраические уравнения:
приведением их к самому
простому виду.
Толстой Л.Н.
08.11.16
2

3.

Задачи:
рассмотреть основные виды
уравнений
познакомиться с различными
методами решения уравнений
08.11.16
3

4.

Метод решения хорош, если с самого
начала мы можем предвидеть – и
впоследствии подтвердить это, - что
следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц
08.11.16
4

5. Методы решения уравнений

разложение многочлена на
множители
метод введения новой
неизвестной
комбинирование различных
методов
метод неопределенных
коэффициентов

6.

Разложение многочлена
на множители
Любой многочлен может быть
представлен в виде произведения. Самые
известные методы разложения
многочленов это: вынесение общего
множителя, применение формул
сокращенного умножения, выделение
полного квадрата, группировка,
разложение квадратного трехчлена на
множители по формуле

7.

2x5 -10x4 +14x3-10x2+12х =0
2х (х4 – 5х3 + 7х2 + 6) = 0
4
3
2
х
–
5х
+
7х
+6=0
х = 0 или
(х-2)( х3 - 3х2 + х – 3)=0
(х-2)(х2·(х-3)+(х-3))=0
(х-2)(х-3)(х2 +1)= 0
х – 2 =0 или х – 3 =0 или х2 + 1 =
х =2
х =3
корней нет
Ответ:
0, 2, 3

8.

Метод введения новой
неизвестной
В некоторых случаях путем
замены выражения f(x), входящего
в многочлен Рп(х), через у можно
получить многочлен
относительно у, который уже
легко разложить на множители.
Затем после замены у на f(x)
получаем разложение на
множители многочлена Рп(х)

9.

х 2х 1 х 2х 2 7
2
2
х 2х 2 х 2х 3 6
2
2
пусть х2 +2х +2 = t
t 1
t
7
t
t 1 6
умножим обе части уравнения на
6t(t +1), где t≠0, t≠-1
t2=-0,6
6t2 – t61=2
+ 6t2 –
7t2 – 7t = 0
5t2 – 7t – 6 = 0

10.

х 2х 1 х 2х 2 7
2
2
х 2х 2 х 2х 3 6
2
2
1) х2 + 2х +2 =2
х2 + 2х = 0
х(х+2)=0
х = 0 или х = - 2
Ответ:
2) х2 +2х + 2 = -0,6
5х2 + 10х + 13 = 0
D = - 169 < 0
корней нет
-2; 0

11.

Метод неопределенных
коэффициентов
Суть метода неопределённых
коэффициентов состоит в том, что
вид сомножителей, на которые
разлагается данный многочлен,
угадывается, а коэффициенты этих
сомножителей (также многочленов)
определятся путём перемножения
сомножителей и приравнивания
коэффициентов при одинаковых
степенях переменной.

12. х4+4х3 - 20х2+21х - 16=0

х +4х - 20х +21х - 16=0
4
3
2
х4+4х3 - 20х2+21х-16=(x2+px+g)(x2+bx+c)
(x2+px+g)(x2+bx+c)=
2
х4+х3(p+b)+x
(х2 - х+1)(х
+ 5х2(c+g+pb)+x(pc+gb)+gc
- 16)=0
2
2
1)
х
х+1=
0
или
2)
х
+ 5х - 16=0
p b 4
p=-1,Db=5,
c=-16, g=1.
-3
<
0
=
89
c gD=
pb 20
5 89
Корней нет
х
pc gb 21
gc 16
5 89
Ответ:
2
1
2
5 89
х2
2

13. Виды уравнений

квадратные уравнения
биквадратные уравнения
возвратные уравнения
уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=А
уравнения вида:
(ax2 + bx + c)(ax2 + b1x + c1)=Ax2
уравнения, однородные
относительно многочленов

14.

Возвратные уравнения
общий вид :
Алгебраическое уравнение f(x)=0
называется
возвратным,
n
n-1
n-2если у
многочлена в левой его части,
представленного в каноническом
виде, равны коэффициенты
членов, равноудаленных
от его
2
концов: первого и последнего,
второго и предпоследнего и т.д.
ax + bx
+ cx +…
+ cx + bx + a=0

15.

Рассмотрим
алгоритм
n
n-1
aх
+bx
+...+bx
+a=0
решения возвратных
4
3
2
ax
+bx
+cx
+bx+a=0
уравнений четной
степени
1
1
2
a ( x 2 ) b( x ) c 0
x
x
1
2
2
1
t 2 x 2
t x
x
x
at2+bt+c-2a=0

16.

2x5+5x4-13x3-13x2 +5x+2=0
2
5
-13
-13
5
2
4
3
2
x-1=0
или
2x
+3x
-16x
+3x+2=0
-1
2
3
-16
3
2
0
1
1
2( х 3 2 )2 3( х ) 16 0
4
(x-1)(2x +3x -16x
х +3x+2)=0
х
2
1
1
2
х t, x 2 t 2 2
х
x
2t +3t-20=0
2
5
t1 , t 2 4
2

17.

2x5+5x4-13x3-13x2 +5x+2=0
х+1=0 или 2x4+3x3-16x2+3x+2=0
2
1)2x
+5x+2=0
x=-1
x1=2, x2=0,5
2) x2+4x+1=0
х3 2 3
х4 2 3
Ответ: 0,5; 2; 2 3

18.

(х2-х+1)4- 6х2(х2-х+1)2= -5х2
(х2-х+1)2 = а; х2 = b
22
2
2
х = х0 1 5 х
a – 6ab +а)5b
2
2
– 5b(a-b)=0
х2-х+1=a(a-b)
х
б) х х 1 5х
(a-b)(a-5b)=0
a=b или a=5b
2
2 1
2
52) (х22-х+1)
2 25= 5х2
1) (х
-х+1)
=
х
Ответ : 1;
2
Пусть

19.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!
Федотов
а
Тамара
Валенти
новна