Расчет балок по методу начальных параметров. Занятие 8

1.

Задача 8.1
РАСЧЕТ БАЛОК ПО МЕТОДУ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

2.

ЗАДАЧА №8.1
Дано:
q, a, EJ = const
P = 4qa
m = qa 2
v ( z) = ?
j ( z) = ?
M x ( z) = ?
Qy ( z) = ?
Решение:
Сначала строим эпюры Q y , M x . Затем
v ( z) , j ( z) - методом начальных
параметров.
1) Определение опорных реакций
å momB = 0 .
5
q åa å a - AV å2a + P åa - m = 0 ;
2

3.

5 qa 2 4qa 2 qa 2 11
AV =
+
= qa .
2 2a
2a
2a 4
å V = 0.
AV + BV - P - q åa = 0 ;
11
9
AV = 4qa + qa - qa = qa .
4
4
QyI = -qz ;
11
7
Q = -qa + AV = -qa + qa = qa ;
4
4
7
9
III
Qy = -qa + AV - P = qa - 4qa = - qa .
4
4
II
y

4.

z2
M = -q ;
2
9 2 qa
11 2 7
qa 2 11
å aå
II
+ qaz - qa = qaz - qa = ( 7 z - 9a ) ;
M x = -qa åz - å+ AV ( z - a ) = -qaz +
4
4
4
4
4
2
å 2å
5 2
II
M x ( 2a ) = qa ;
4
qa
qa
å aå
M xIII = -qa åz - å+ AV ( z - a ) - P ( z - 2a ) = ( 7 z - 9a ) - 4qaz + 8qa 2 = ( 23a - 9 z ) .
4
4
å 2å
3
4
3
4
å
å
å
å
a
2
z
a
z
a
z
å
å
)
(
)
(
)
11 (
q åz
å
å
qa
4
q
+
qa
+
v ( z) = åååv0 + j0 åz å
å
å
EJ
3!
EJ
4!
EJ
3!
4
EJ
4!
å
å
å
åå
å
åå
( ) - I участок, [ ] - II участок, { } - III участок.
I
x

5.

2 неизвестных константы v0 , j 0 определяем из граничных условий:
å
åv1 ( a ) = 0
å
åv3 ( 3a ) = 0
å
q åa 4
=0
åv1 ( a ) = v0 + j 0 åa 4!EJ
å
å
4
3
4
3å
å
å
å
å
å
q
å
3
a
3
a
a
3
a
a
3
a
2
a
(
)
11
(
)
(
)
(
)
å
åv ( 3a ) = åååv + j å3a å
+
qa
+
q
4
qa
å
åå0
å= 0
0
å3
å
4!EJ å 4
3! EJ
4!EJ å
3!EJ å
å
å
å
å
å
å
å
å
Система 2-х уравнений относительно v0 , j 0 .
å
1 q åa 4
åv0 + j 0 åa = 24 EJ
å
å
4
7
q
å
a
åv + 3j åa = 0
0
å
24 EJ
å
å
5 q åa 4
åv0 = 24 EJ
å
å
3
1
q
å
a
åj = 0
å
6 EJ
å

6.

Окончательное выражение для упругой кривой прогиба, угла поворота, изгибающего
момента и поперечной силы:
3
4
3
4
3
4
å
å
å
å
z
a
z
a
z
2
a
å
å
)
(
)
(
)
q åz
11 (
å 5q åa q åa
å
v ( z ) = ååå
åz +
qa
+
q
4
qa
å
å
å
24
EJ
6
EJ
24
EJ
4
6
EJ
24
EJ
6
EJ
å
å
åå
å
åå
å
2
3
2
3
3
å
å
å
z
a
z
a
z
2
a
å
å
dv å
q
å
a
q
å
z
11
(
)
(
)
(
)
å
å
j ( z ) = = ååå+
qa
+
q
4
qa
å
å
å
dz åå
6
EJ
6
EJ
4
2
EJ
6
EJ
2
EJ
å
å
å
åå
å
2
2
å
å
å
z
a
å
å
d 2v å
q
å
z
11
(
)
å
å
M x ( z ) = EJ 2 = ååå+
qa
z
a
+
q
4
qa
z
2
a
å
(
)
(
)
å
å
dz åå
2
4
2
å
å
å
åå
å
d 3v åå
11
å
å
Qy ( z ) = EJ 3 = åå( -q åz ) + qa + q ( z - a ) å- 4qa å
dz åå
4
å
å
Строим эпюры

7.

5 q åa 4
v ( 0) =
24 EJ
7 q åa 4
v ( 2a ) = 24 EJ
q åa3
q åa 3
j ( 0) = , j (a) = 6 EJ
3EJ
3
q åa
q åa3
j ( 2a ) =
, j ( 3a ) =
24 EJ
6 EJ