Подобные треугольники

1. ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

2. ТЕМА «ПОДОБИЕ»

Теоретический материал.
Задачи.

3. ПЛАН

Пропорциональные отрезки.
Свойство биссектрисы
треугольника.
Определение подобных
треугольников.
Отношение периметров подобных
фигур.
Отношение площадей подобных
фигур.
Признаки подобия треугольников.

4. ЗАДАЧИ

Разминка.
Решение задач.
Задачи на признаки подобия.
Тест

5. Пропорциональные отрезки

Отношением
отрезков называется
отношение их длин.
Отрезки AB и CD
пропорциональны
отрезкам A1B1 и
C1D1,, если
AB A1 B1
CD C1 D1
B
A
D
C
AB
CD
A
A1
B
С
D
B1 С1
ПРИМЕР
D1

6. ПРИМЕР

Даны два прямоугольных треугольника
Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK,
так как
B
5
BC
3
MN 15
3
C
A
4
N
т.е.
?
15
M
K
20
и
AC
4
MK 20
BC AC 1
MN MK 5
НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО
ТРЕУГОЛЬНИКА.

7. Пропорциональность отрезков

Понятие пропорциональности вводится
для любого числа отрезков.
B
например
5
3
C
A
BC AC AB
MN MK NK
4
N
25
15
M
K
20

8. Подобные фигуры

Предметы
одинаковой формы,
но разных размеров
Фотографии, отпечатанные
с одного негатива, но с
разными увеличениями;
Здание и его макет
Планы,
географические
карты одного и того
же района,
выполненные в
разных масштабах.

9. Подобные фигуры

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными
фигурами
Подобными
являются любые
два квадрата
Подобными
являются любые
два круга
два куба
два шара

10. Подобные треугольники

Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1,
у которых <A = <A1, <Β = <Β1, <C = <C1.
Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1,
лежащие против равных углов, называют
сходственными
Β1
Β
A
C
A1
C1

11.

12. Коэффициент подобия

Β
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
A
Β1
C
A1
k – коэффициент подобия.
Число k , равное отношению сходственных
сторон, называется коэффициентом
подобия.
C1

13. Дополнительные свойства

Отношение высот подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам,
равно коэффициенту подобия.
Отношение медиан подобных треугольников,
проведенных к сходственным сторонам,
равно коэффициенту подобия.
Отношение биссектрис подобных
треугольников, проведенных к сходственным
сторонам, равно коэффициенту подобия.

14. Отношение периметров

Β
Β1
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
A
C
A1
PABC
k
PA1B1C1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Отношение периметров
подобных треугольников равно
коэффициенту подобия.
C1

15. Отношение периметров

ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
Β
Β1
A
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
AB kA1B1
C
A1
C1
BC kB1C1
AC kA1C1
PABC
AB BC AC
kA1B1 kB1C1 kA1C1
PA1B1C1 A1B1 B1C1 A1C1
A1B1 B1C1 A1C1
Выносим общий множитель за скобку и
сокращаем дробь.
PABC
k
PA1B1C1

16. Отношение площадей

Β
Β1
ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
A
Отношение площадей
подобных треугольников
равно квадрату
коэффициента подобия.
C
A1
SABC
2
k
SA1B1C1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
C1

17. Отношение площадей

Пусть ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1,
коэффициент подобия k
AB
BC
AC
k
A1B1 B1C1 A1C1
Β
Β1
A
A = A1, по теореме об отношении
площадей треугольников, имеющих по
равному углу, имеем
C
A1
SABC
AB AC
AB AC
k k k2
SA1B1C1 A1B1 A1C1 A1B1 A1C1
C1

18. Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника
делит противоположную
сторону на отрезки,
пропорциональные
прилежащим сторонам
треугольника.
BD DC
AB AC
или
A
ПРИМЕР
B
BD AB
DC AC
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
D
C

19. Свойство биссектрисы треугольника

A
2
1
H
B
ИМЕЕМ
D
BD AB
DC AC
C
ΔABD и ΔACD имеют
общую высоту AH
S ABD DB
S ACD DC
ΔABD и ΔACD имеют
равные углы 1 = 2
SABD AB AD AB
SACD AD AC AC

20. Свойство биссектрисы треугольника

Дано: ΔABC
AD – биссектриса
A
AB = 14 см
BC = 20 см
1
2
AC = 21 см
Найти: BD,CD.
Решение:
B
D
20см
C

21. Свойство биссектрисы треугольника

A
1
B
D
20см
2
Решение:
Пусть BD = x см,
тогда CD = (20 – x) см.
По свойству биссектрисы
треугольника BD DC
AB AC
имеем
x
20 x
C
14
21
Решая уравнение, получим х = 8
BD = 8 см, CD = 12 см.

22. Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников.
(по двум углам)
Второй признак подобия треугольников.
(по углу и двум пропорциональным
сторонам)
Третий признак подобия треугольников.
(по трем пропорциональным сторонам)

23. Первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
C1
C
A
B
A1
B1

24. Первый признак подобия треугольников.

Дано:
C
ΔABC и ΔA1B1C1, <A =<A1, <B = <B.
Доказать:
ΔABC ~ ΔA1B1C1
A
A1
B
C1
Доказательство:
B1

25. Первый признак подобия треугольников.

Доказательство:
C
<A = <A1, <B = <B1.
<C = 180º – <A – <B,
<C1 = 180º – <A1 – <B1.
A
A1
<C = <C1
C1B
Таким образом углы треугольников
соответственно равны.
B1

26. Первый признак подобия треугольников.

Доказательство:
A = A1,
B = B1.
SABC
AB AC
SA1B1C1 A1B1 A1C1
SABC
AB BC
SA1B1C1 A1B1 B1C1
C
A
B
Имеем BC
AC
B1C1 A1C1
Аналогично, рассматривая равенство углов
BC
AB
C= C1, A= A1, получим
B1C1 A1B1
Итак, сходственные стороны пропорциональны.

27. Второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то такие треугольники
подобны.
Β
A
A = A1
AB
AC
A1B1 A1C1
Β1
C
A1
C1

28. Второй признак подобия треугольников.

Дано:
ΔABC и ΔA1B1C1,
Β
<A =<A1,
Доказать:
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Β1
A
Доказательство:
C
A1
AB AC
A1 B1 A1C1
C1

29. Второй признак подобия треугольников.

С
Доказательство:
Достаточно доказать, что B = B1.
A
1
2 B
С2
A1
ΔABC2, 1= A1, 2= B1,
ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам.
C1
AB
AC2
(из подобия).
A1B1 A1C1 AB
AC
По условию
A1B1 A1C1
AC=AC2.
B1
ΔABC=ΔABC2, т.е. B = B1.

30. Третий признак подобия треугольников.

Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Β1
Β
A1
A
C
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
C1

31. Третий признак подобия треугольников.

Дано:
Β1
ΔABC и ΔA1B1C1,
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
A1
C1
Β
A
Доказать:
ΔABC ~ ΔA1B1C1
Доказательство:
C

32. Третий признак подобия треугольников.

С
Доказательство:
Достаточно доказать, что A= A1
ΔABC2, 1= A1, 2= B1,
A
1
2 B ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам.
Отсюда
С2
A1
AB BC2 AC2
Β1
A1B1 B1C1 A1C1
По условию
AB
BC
AC
A1B1 B1C1 A1C1
ΔABC=ΔABC2 по трем
C1
сторонам,
т.е. A = A1

33. 1 задача

Сходственные стороны подобных
треугольников относятся как 1 : 3.
Найдите периметр большего
треугольника, если периметр
меньшего 15 см.

34. 2 задача

ΔABC ~ ΔA1B1C1 ,
AB : A1B1 = k = 4
SΔABC= 48 м2.
Найдите площадь треугольника A1B1C1 .

35. 3 задача

B
M
12
A
18
C
Основание
равнобедренного
треугольника равно 18 мм,
а биссектриса делит
боковую сторону на
отрезки, из которых
прилежащий к основанию
равен 12 мм. Найдите
периметр треугольника

36. 4 задача

Периметры подобных треугольников
12 мм и 108 мм соответственно.
Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм.
Найдите стороны другого и
определите его вид.

37. 5 задача

Площади двух подобных треугольников
равны 16 см2 и 25 см2.
Одна из сторон первого треугольника
равна 2 см.
Найдите сходственную ей сторону
второго треугольника.

38. 6 задача

B
AD = 4
1
BC = 5
2
AB + DC = 12
Найти AB, DC, AC
4
A
D
C

39. ЗАДАЧИ

1.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади
треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований
BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
Решение:

40. Решение

B
C
2
4
3
O
1
A
Рассмотрим ΔAOD и
ΔBOC:
1= 2 (накрест
лежащие при AD ||
BC, и секущей AC;
3= 4 (вертикальные)
ΔAOD ~ ΔBOC (по двум
углам)
D
AO OD AD = k
OC OB BC

41. Решение

B
C
2
4
3
S AOD
9
2
k
S BOC
1
.
k=3
O
AD + BC =
= 3BC + BC = 4BC
AD + BC = 4,8см
(по условию)
1
D
A
BC = 1,2 см
AD = 3,6 см
Ответ:
BC = 1,2 см AD = 3,6 см

42. ЗАДАЧИ

B
2,5
4
20
A
2.
5
C
D
E
16
10
F
Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и
выясните взаимное положение прямых CB и DF.
Решение:

43. Решение

B
2,5
4
20
A
5
C
D
E
16
10
Отсюда
BС AC AB
DF DE EF
F
ΔABC~ΔDEF
по трем
пропорциональным
сторонам
Найдем
отношение
сходственных
сторон данных
треугольников
AB 2,5
0,25
EF 10
AC 5
0,25
ED 20
BС 4
0,25
DF 16

44. Решение

B
.
E
1
A
C
D
2
ΔABC~ΔDEF
Соответственно
<A = <E
<B = <F
<ACB = <EDF
F
Рассмотрим
прямые BC и DF,
секущую AE
<1 = <2
(внешние накрест
лежащие)
BC || DF.

45. ТЕСТ

1. По данным рисунка х равен
А) 7
7
Б) 14
В) 3,5
х
Г) 14/3

46. ТЕСТ

2) По данным рисунка периметр
ΔABC равен
В
А) 9
Б) 27
3
В) 36
2
А
4
Г) 18
С

47. ТЕСТ

3) По данным рисунка отрезок BC
равен
В
А) 3,75
3
Б) 7,5
3
В) 5
2,5
Г) 4,5
А
4
0,5
С

48. ТЕСТ

B
E
12
9
3
A
18
C
D
4
6
4) По данным рисунка площади данных
треугольников относятся
А) 3 : 1
Б) 9 : 1
В) 6 : 1
Г) 9 : 4
F

49. ТЕСТ

B
E
12
9
3
A
18
C
D
4
6
F
5) По данным рисунка прямые AB и DE
А) нельзя ответить
Б) пересекаются
В) параллельны

50. ТЕСТ

ОТВЕТЫ:
А
1
2
3
4
5
Б
В
Г