Понятие множества. Логические символы

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1

Лектор:
Бутырин Владимир
Иванович
К.т.н., доцент.
Телефон кафедры 346-07-33.
Корпус 1, ком. 317.

2. 1. МНОЖЕСТВА

1.1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА.
ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ.

3. Логические символы.

( a A)
- знак принадлежности
( x M )
- квантор всеобщности
( x M :)
- квантор существования
- знак логического следования ( a b )
- символ эквивалентности
( DABC : AC = BC ÐA = ÐB )

4. Множества. Способы задания.

def
A = { a, b, c, d } ;
{
}
A = x P( x) ;
{a} - одноэлементное множество;
- пустое множество
2
Действительные корни уравнения x + 1 = 0
множества конечные и бесконечные.
Если A - конечное множество, то число его
элементов A - мощность множества.

5. Отношения между множествами.

Определение 1.1. Множества A и B
называются равными, если каждый
элемент множества A является
элементом множества B и, наоборот,
каждый элемент множества B
является элементом множества A.
Обозначают
A=B.

6. Пример:

{
A= x
( x - 1) × ( x - 2) × ( x - 3) = 0 } ,
B = { x N x < 4 } .
A=B

7. Свойства равенства:

A=A
A=B, B=C A=C
A=B B=A
(рефлексивность);
(транзитивность);
(симметричность).
Неравенство множеств обозначают
A B.

8. Определение 1.2.

Множество A (A ) называется
подмножеством множества B (B ), если
каждый элемент множества A является
элементом множества B.
Обозначение: A B a A a B.
Если A B и A B A B.
Пример: N Z Q R.

9. 1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

V – основное или универсальное множество.
2
1) В планиметрии V = R
2) Для функций действительной переменной V = R.
Определение 1.3. Объединением множеств A и B
называется множество A B, содержащее те и только
те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из
множеств A или B (или обоим одновременно).
def
{
A U B = x x A Ú x B Ú ( x A Ù x B )
• Пример: A = {2,3,4,6}, B = {1,2,3,4,5,6} A B =
{1,2,3,4,5,6}.
}

10. Диаграмма Эйлера-Венна.

A B
V
A
B

11. Свойства объединения множеств.

1) A B = B A
(коммутативность),
2) A ( B C ) = ( A B ) C
(ассоциативность).
Очевидно
A A = A,
A =A,
A V = V.

12. Определение 1.4.

Пересечением множеств A и B
называется множество A B,
состоящее из всех тех и только тех
элементов, каждый из которых
принадлежит обоим множествам
одновременно.
A B = { x x A Ù x B }.

13. Диаграмма Эйлера-Венна.

V
A
A B
B

14. Свойства пересечения множеств.

1) A B = B A (коммутативность),
2) A ( B C ) = ( A B ) C
(ассоциативность).
Очевидно, что
A A = A,
A = ,
A V = A.
Операции объединения и пересечения
подчиняются дистрибутивным законам:
A ( B C ) = ( A B ) ( A C ),
A ( B C ) = ( A B ) ( A C ).

15. Определение 1.5.

Разностью двух множеств B и A
называется множество B \ A,
состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат B,
но не принадлежат A.
B \ A = { x x B Ù x A }.

16. Диаграмма Эйлера-Венна.

V
A
B
B\A

17. Определение 1.6.

Разность V \ A называется
дополнением множества A до
универсального множества V и
обозначается A
def
A = V \ A = { x | x A } .
Примеры:
A U A =V ; A I A = ;
=V ;
V = .
A = A;

18. Диаграмма Эйлера-Венна:

V
A
A

19.

• Пара элементов ( x ; y ), x A, y B
называется упорядоченной, если указан
порядок записи элементов x и y.
• Считается, что
( x ; y ) =( x ; y ) x = x , y = y .
1
1
2
2
1
2
1
2

20. Определение 1.7.

Декартовым произведением двух
множеств A и B называется
множество, обозначаемое A B,
состоящее из всевозможных
упорядоченных пар ( x ; y ).
A B = { ( x ; y ) | x A , y B }.

21.

y
2
B
1
1
A
3
x

22. 1.3. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ.

Пусть A и B - произвольные множества.
Пусть f - закон (правило) по которому
a A b B.
Говорят, что задано отображение f A в B
или оператор f A в B.
f
Обозначение: f : A B или A B.
b – образ элемента a (обозначают f(a) );
a – прообраз элемента b = f(a).

23. Определение отображения:

f : A B a A b B : b = f ( a ).
Множество образов всех элементов a A
при отображении f называют образом
множества A при этом отображении и
обозначают:
f(a)={ f(a) | a A } B.
Задание отображения – это задание тройки
( A, f, B ).

24. Определение 1.8.

Отображение f : A B называют
взаимно однозначным или
биективным, если каждый элемент
b B является образом только
одного элемента a A.
A
B

25. ЛЕКЦИЯ 2

2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

26.

f – взаимно однозначное отображение
b B a A: b=f(a)
a1 , a2 A a1 a2 f ( a1 ) f ( a2 ) .
Если f - взаимно однозначное
отображение, то можно говорить об
обратном отображении.

27. Пример:

О
R
R

28. Определение 1.10.

Два множества A и B называются эквивалентными
(равномощными), если хотя бы одно взаимно
однозначное отображение одного множества на другое.
Свойства эквивалентности:
1) A A A
(рефлексивность);
2) A B B A A, B
(симметричность);
3) A B, B C A C A, B, C (транзитивность).
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных
чисел является счетным.
Если множество счетно, то его элементы можно
занумеровать.

29. 1.4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА.

Множество натуральных чисел N.
N = {1, 2, 3, …}.
Свойства:
1)
1
2
1
2
1
2
выполняются: коммутативность, ассоциативность,
дистрибутивность;
2) деление и вычитание не определены;
3) 1 N;
4) n N n + 1 N;
5) если M N, 1 M, n M и (n + 1) M, то M = N (аксиома
индукции);
6) N Z
счетно и бесконечно.
n , n N n + n N , n ×n N

30. Множество целых чисел Z.

Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Свойства:
Определены операции сложения,
умножения, вычитания; Не определено
деление;
Z – упорядоченно, т.е. имеет место
p1 < p2 Ú p1 = p2 Ú p1 > p2 ;
Z – счетно и бесконечно;
N Z Q.

31. Множество рациональных чисел Q.

Q = { q = p / n | p Z , n N }.
Свойства:
Определены все арифметические
операции;
Q – упорядоченно;
Q – плотно, т. е.
q1 , q2 Q q Q : q1 < q < q2 .
Q – счетно и бесконечно;
N Z Q R.

32. Множество действительных чисел R.

Свойства:
R – упорядоченно;
R –бесконечно;
N Z Q R.

33. 2.1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.

Пусть D – произвольное подмножество
действительных чисел (D R). Если каждому
числу x D поставлено в соответствие некоторое
единственное вполне определенное
действительное число y=f(x), то говорят, что на
множестве D определена числовая функция f.
Множество D называют областью определения
функции, а множество E={y R| y=f(x), x D}
множество значений функции.

34. Термины функция, отображение, преобразование – синонимы.

f
D E
Обозначения: y=f(x); f: D E;
В данной главе рассматриваются
функции одной переменной D R; E R.
Способы задания функций:
Аналитический, табличный,
графический, программный.

35. Аналитический способ задания функций.

С помощью формул
Частное значение функции:
y = ( cos x + ln x ) / sin x .
f ( xили
y
0 )
| x = x0 .
Область определения либо указывают
D(f)=[1;2], либо определяют.
В последнем случае говорят об
естественной области определения функции.

36. Пример:

y=
1
4- x
2
D ( f ) = ( - 2;2 ) , E ( f ) = ( 0,5; ¥ ) .

37. Составные функции:

-1, x < 0;
ï
sign x = í 0, x = 0;
ï 1, x > 0.

38. Неявно заданные функции:

F(x,y)=0
Если уравнение можно разрешить
относительно y, то приходим к явно
заданной функции.
Пример:
3x-y+2=0,
y=3x+2.

39. Табличный способ задания функций.

x 1 , x 2 ,..., x n
y 1 , y 2 ,..., y n
Примеры: таблицы ln, sin и т. д.
+ Точное значение при x i .
- Необходимость
интерполирования.

40. Графический способ задания функций.

Г ={ M ( x , y ) R | y = f ( x ) } .
2
f(x)
M(x,y)
0
x

41. Не является графиком функции:

f(x)
x0
0
x
+ Наглядность.
- Неудобность для применения
математического аппарата.

42. 2.2 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ. Начальный этап исследования функции.

1) Нули f(x)=0 и знак функции на множестве x D(f).
2) Четность x D(f): (-x D(f)) (f(-x)=f(x));
нечетность x D(f): (-x D(f)) (f(-x)=-f(x)).
Примеры:
2
f ( x ) = xчетная
-
,
3
Существуют функции
f ( x ) общего
= xнечетная
-вида.
.
3) Периодичность: f(x)=f(x-T)=f(x+T). T – период.
f(x) – периодическая T 0: x D(f):
(x T) D(f) f(x T)=f(x).

43.

4) Монотонность: монотонно возрастающая, если
монотонно убывающая, если
5) Ограниченность:
ограниченная сверху M R: x X f(x) M,
ограниченная снизу M R: x X f(x) M,
ограниченная N,M R: x X N f(x) M.
6) Если условия пункта 5 не выполняются, то функция
называется неограниченной.
x1 , x 2 X : x1 < x 2 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ;
x1 , x 2 X : x1 < x 2 f ( x1 ) > f ( x 2 ) .

44. 2.3 СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ.

Сложная функция.
На D определена функция u= (x) E(u) –
множество значений.
На E(u) задана y=f(u) (D(f) E(u)).
f
Тогда
x uсуперпозицией
y y = f функций.
x f o .
Называется
x – независимая переменная; u –
промежуточный аргумент.
Пример:
( ( )) (
)
y = ax + bx , u = ax + bx , y = u .
2
2

45. Обратная функция.

Функция y=f(x) отображает D(f)
E(f).
Рассмотрим взаимно однозначное
1
f
x
D
y E : y = f ( x ) :
отображение
x1 , x 2 D , x1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) .
Тогда можно говорить
об
обратной
-1
функции x = f ( y ) .
Пример: y = x 3 , x = 3 y .

46. Теорема 2.1.

Если числовая функция монотонна,
то обратная функция
x= f
-1
( y ).
Это достаточное условие
обратимости.

47. Построение графика обратной функции.

y
y=x3
y=x
y= 3 x
x

48. 2.4. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

1) Линейная: y=ax+b (a,b R), D(f)=R.
E( f
)
a 0,
R
=í
a = 0.
{ b}
y
y = ax + b
b
x

49. 2) Квадратичная функция.

y = ax 2 + bx + c , ( a, b, c R ; a 0 ) , D ( f ) = R .
æ 4ac - b 2
ö
æ b 4ac - b 2 ö
a > 0: E ( f ) = ç
;¥ ÷, M ç - ;
.
÷
4a ø
è 4a
ø
è 2a
4ac - b 2 ö
æ
æ b 4ac - b 2 ö
a < 0: E ( f ) = ç - ¥ ;
, Nç - ;
.
÷
÷
4a ø
4a ø
è
è 2a
y
a>0
y
a<0
N
x
M
x

50. 3) Степенная функция

a = 2n
y=x .
a
a = 2n+1
a = - 2n
a = - 2n+1

51. 4) Показательная функция.

y = a , ( a > 0; a 1 ) .
D ( f ) = R , E ( f ) = ( 0; ¥ ) .
x
0 < a <1
a>1

52. 5) Логарифмическая функция

y = log a x .
a>1
0 < a <1

53.

6) Тригонометрические функции.
7) Обратные тригонометрические функции.
8) Гиперболические функции.
9) Обратные гиперболические функции.
y=arsh x
y = ch x
y = shx
y=arch x

54. ЛЕКЦИЯ 3

2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

55. 2.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

1) Целые рациональные функции:
2) Дробно-рациональные функции:
Pn ( x ) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n .
Pm ( x )
Qn ( x )
=
a 0 x m + a 1 x m-1 + ... + a m
b 0 x + b1 x
n
n -1
+ ... + a n
.
Совокупность 1) и 2) – класс рациональных функций.
3) Иррациональные функции: - получаются с помощью конечного
числа суперпозиций и четырех арифметических действий над
степенными функциями как с целыми, так и с дробными
показателями.
y = 1+ 3 x + 3 x .
Совокупность 1), 2) и 3) – класс алгебраических функций.
4) Трансцендентные функции: sin x, ln x, ch x и т. д.

56. 2.6. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.

x = ( t ) , y =y ( t ) , t T .
t – называется параметром.
-1
x .
Если - монотонна, то t =
-1
Тогда y =y
x .
Всякую явно заданную функцию
можно представить параметрически
x = t , t T
y= f ( x ) í
y= f ( t ).
(
( ))
( )

57. Пример:

1
y = , D ( f ) = ( 0, ¥ ) .
x
а) Введем
Тогда x = t ,
1
y= .
t
t = x.
t ( 0; ¥ ) ,
б) а) Введем x = e .
t
Тогда x = e , t R ,
y = e -t .
t

58. Параметрическое задание линий на плоскости.

2
Множество точек M(x,y) плоскости R ,
координаты которых удовлетворяют
x=x(t), y=y(t), t T, параметрически
2
задают линию L R .
Прямая:
x = t , t R ,
y = ax + b í
y = at + b .

59. Окружность с центром в начале координат.

x = a cos t , 0 t < 2p ,
x + y =a í
y = a sin t .
2
2
M(x,y)
2
t -угол

60.

x = t , t [0; ¥ ),
y = 2 px í 2
y = 2 pt .
Парабола.
Гипербола.
2
x = a ch t , t R ,
x y
=
1
í
2
2
a b
y = b sh t .
2
2

61. Астроида.

x = a cos 3 t , 0 t < 2p ,
x + y = a , ( a = 4r ) í
3
y
=
a
sin
t.
2
3
2
3
2
3
M(x,y)
t - угол

62. Циклоида.

x = a ( t - sin t ) , t R ,
y = a ( 1- cos t ) .
y
2a
2pa
x