Потенциалы Лиенара-Вихерта. Поле точечного заряда

1.

6. Потенциалы Лиенара-Вихерта.
Поле точечного заряда.
© Мангазеев Б. В., 2020
© ФГБОУ ВО «ИГУ», 2020

2.

6.1 Потенциалы Лиенара-Вихерта
s (t ) закон движения
(r , t ) e (r s (t ))
j (r , t ) eV (t ) (r s (t ))
V
r s
R
n
|r s| R
| r s (t ') |
(t t ')
t ' tk' (r , t )
c
ds
dt
(r , t )
| r r '|
)
c
(r ' s (t '))d r 'dt '
| r r '|
(t t '
e
A(r , t )
c
| r r '|
)
c
V (t ') (r ' s (t '))d r 'dt '
| r r '|
(t t '
e
V (t ')
| r ' s (t ') |
(t ' (t (
)))dt '
c | r ' s (t ') |
c
( g ( x)) f ( x)dx ( g '( x0 )( x x0 )) f ( x)dx
g ( x0 ) 0
1
1
( x x0 ) f ( x)dx
f ( x0 )
| g '( x0 ) |
| g '( x0 ) |

3.

6.1(+) Потенциалы Лиенара-Вихерта
( g ( x))
1
| r s (t ') |
( x x0 ) g (t ') t ' (t
) 0
| g '( x0 ) |
c
| r s (t ') |
t ' tk' (r , t )
c
dg (t ')
1 | r s (t ') | (r s ) |
1 xj sj
1 r s
nV
1
*
1
( V j ) 1
V 1
dt '
c (r s)
t '
c |r s|
c |r s|
c
(t t ')
A(r , t )
(r , t )
e
c
V (t ')
| r s (t ') | (1
nV
)
c
e
| r s (t ') | (1
nV
)
c
,[t ' tk' (r , t )]
,[t ' tk' ( r , t )]
r s
R
n
|r s| R

4.

6.1(++) Потенциалы Лиенара-Вихерта (равн движ заряд)
| r s (t ') |
t ' tk' (r , t )
c
e
V (t ')
A(r , t )
,[t ' tk' (r , t )]
c
nV
| r s (t ') | (1
)
c
(t t ')
(r , t )
e
| r s (t ') | (1
nV
)
c
,[t ' tk' ( r , t )]

5.

6.2 Поле точечного заряда (H=rotA …)
1
1
R R R 1 R j
x j
R x j
R2 R
e
v(t ')
R
e
vk (t ')
R
H
(t t ' )dt ' ijk
(
t
t
'
)dt '
c
R
c
c
x j R
c
Rj
e
R
1
R
1 Rj
[
(
)
v
(
t
t
'
)
v
'(
t
t
'
)(
) ]dt '
ijk
k
ijk
k
c
R
c
R
c
c R
e (n v)( 1)
e (n v)
H
... 2
...; t ' t 'k
c R 2 (1 nv )
cR (1 nv )
c
c
R '(t t ')
(t t ' )
nv
c
1
c
H
f (a )
( x a ) f '( x)dx
( x a )
f ( x)
dx f ( x) ( x a ) | ( ; )
x
x
R
d (t t ' )
e (n v)
1
e
(n v)
R
c
dt
'
d
(
t
t
'
)
R
nv
c cR
dt '
c
c
d (t t ' )
( 1)(1 ) R
c
c
dt '
e (t ' t 'k ) d (n v)
( 1)( 1)
dt '
c
nv dt '
nv
(1 ) R
(1 )
c
c
dR
dn d R
v
1 R
v n(nv ) n (n v )
nv;
( 2 )( *( v)) R
dt '
dt ' dt ' R
R
R R
R
R
R
2
v
dv
dv
e(1 2 )(n v) e( n n [(v ) n])
c
dt
H
dt
nv
nv
cR 2 (1 )3
c 3 R (1 )3
c
c
аналогично
1 A
c t
H (r , t ) n(t ') E (r , t '); t ' t 'k
E
E (r , t )
v2
v
v dv
)(
n
)
en
[(
n
) ])
c2
c
c dt
nv
nv
R 2 (1 )3
c 2 R (1 )3
c
c
e(1

6.

6.3 Поток энергии. Формула Лармора.
v2
v
v dv
e(1 2 )(n ) en [(n ) ]
c
c
c dt
E (r , t )
nv
nv
R 2 (1 )3
c 2 R (1 )3
c
c
v
1
c
dI
e2
dv 2
dv 2
dv 2 e 2
2
[n (n )] [n *(n*v) ] sin ( ) *
d 4 c 3
dt
dt
dt
4 c 3
Формула Лармора для нерелятивисткого заряда
dv 2
)
dI
dt
P
d 2
d
4 c 3
e2 (
поток энергии в телесный угол d ( H n E )
c
( E (n E )) * nR 2 d
4
c 2 2
(только второе слагаемое, E n)
E R d
4
dI Sp * nR 2 d
v dv
e 2 n [(n ) ]
c dt
dI
nv
d
4 c 3 (1 )6
c
2
1
d cos (1 cos
2
)
1
dv 2
dv
dv
)
e2 ( )2
e2 ( )2
3
2 2
dt ( z z ) | 1;1 |
dt 4 2
dt 2 e v
2c 3
3
2c 3 3 3 c 3
3 c3
e2 (
v
c
1,
dv
dI
dv
e 2v 2 sin 2
|| v
sin 2 ( ) 2 *
v
dt
d
dt
4 c 3 (1 cos ) 6
c