Защита от ионизирующих излучений

1.

Белорусский государственный университет
Физический факультет
ЗАЩИТА ОТ
ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Аналитические методы
расчета зашиты

2.

Важнейшие аналитические
методы расчета доз

3.

Смысл аналитических расчетов
• Рассчитываются т.н. механистические, или
детерминистские величины, в отличие от
того, что измеряются стохастические
величины
• Устанавливается поведение
средних или
―
ожидаемых значений дозовых характеристик
излучения, которые могут рассматриваться
как результат достаточно большого числа
измерений
• В любом случае необходимо понимать, что
между рассчитанной дозой и измеренной
дозой существует принципиальная разница

4.

Смысл аналитических расчетов
• На первом этапе говорят о дозе, создаваемой в
небольшой области живой ткани, которую можно
принять за точку в условиях данной задачи.
• Далее при необходимости осуществляется пересчет на
весь орган (ткань), либо на весь объем (массу) рабочего
тела измерительного прибора.
• При этом рассматриваются в качестве модельных три
основные конфигурации облучения:
▫ между источником и облучаемой областью материя
отсутствует (вакуум),
▫ источник и облучаемая область находятся в безграничной
ослабляющей среде;
▫ между источником и облучаемой областью находится
слой защитного материала (экран)

5.

Смысл аналитических расчетов
• Для определения измеряемой величины
необходимо знать распределение мощности
флюэнса ИИ по энергиям и направлениям
( E , r , t )
• Тогда, зная
функцию радиационного отклика
п (r , E , ) , можно установить значение
мощности измеряемой величины в точке
R(r , t ) d E d (r , E , ) ( E , r , t )
0
4
(*)

6.

Смысл аналитических расчетов
• Функция радиационного отклика относится к
среде, в которой ИИ регистрируется
(осуществляет воздействие), поэтому
зависимость характеристик среды от
направления движения
частиц ИИ на практике
отсутствует: (r , E , ) (r , E )
• В связи с этим нужно говорить о связи между
энергетическим распределением
характеристики поля излучения и результатом
его действия:
R(r , t ) d E (r , E ) ( E r , t )
0

7.

Смысл аналитических расчетов
• Однако, следует иметь в виду, что в (*) ведется
интегрирование по направлениям движения
частиц в точке действия (регистрации)
излучения.
• Как будет показано ниже, мощность флюэнса
поля излучения анизотропных источников
зависит от направления излучения частиц
источником, и этот факт будет выражаться
обозначением ( E s , r , t ) , где s – единичный
вектор, указывающий направление движения
частиц из источника.

8.

Смысл аналитических расчетов
• Непосредственному аналитическому расчету
поддаются только характеристики поля
нерассеянного (бесстолкновительного)
излучения.
• Энергетическое и угловое распределение
мощности флюэнса в материале мишени
можно представить в виде
( E, r , t )

9.

Смысл аналитических расчетов
• Характеристики «рассеянного» поля излучения,
вообще говоря, аналитически найти не удается.
• Их устанавливают с помощью решения
уравнений переноса численными методами,
либо путем моделирования Монте-Карло.
• Однако существуют концепции и
полуэмпирические модели, которые во многих
случаях позволяют проводить приближенные
расчеты, не прибегая к решению уравнений
переноса или к методам моделирования Монте
Карло.

10.

Программа действий
• Сначала будут рассмотрены расчеты
характеристик нерассеянного ИИ в трех
модельных случаях, отмеченных на слайде 4.
• При этом для простоты в третьем случае будет
рассматриваться только вариант, когда между
источником и мишенью располагается
бесконечная однородная плоская плита
заданной толщины d.
• Затем будут рассмотрены различные приемы и
методы расчета параметров рассеянного в
материале защиты излучения

11.

Важнейшие аналитические
методы расчета доз
Нерассеянное излучение от
точечного источника и общий
алгоритм вычисления дозы
нерассеянного излучения для
источников любой геометрии

12.

Моноэнергетический точечный
источник
в
вакууме
• Пусть q ( s t ) – угловое распределение
мощности изотропного моноэнергетического
точечного источника.
• Так как частицы движутся без
d
столкновений по радиальным
q
r
траекториям, то мощность
флюэнса поля излучения такого источника
(r , s , t )
o
q ( s t ) d s
da
q ( s t )
r2
• Это называется «закон обратных квадратов»
или «геометрическое ослабление»
da

13.

Моноэнергетический точечный
источник в вакууме
• Т.о. мощность флюэнса (r , s , t )
нерассеянного излучения от точечного
источника зависит от направления движения
частиц.
• Она определяется распределением
мощности
источника по направлениям q ( s t ) .
• В вакууме
o
s

14.

Моноэнергетический точечный
источник в вакууме
• Поэтому распределение мощности флюэнса в
вакууме
o ( r , t )
моноэнергетического точечного источника
по направлениям в точке на расстоянии r от
источника в сферических координатах
задается выражением
2
2
dq
(
t
)
q
(
,
t
)
q( , t )
1
1
1
o
( r , t ) 2
2
2
d
r
r sin
r

15.

Моноэнергетический осесимметричный
точечный источник в вакууме
• Если излучение источника осесимметрично,
т.е.
q ( t )
q ( t )
2
• то
q ( t )
(r , , t )
2 r 2
o
•а
( r , t )
o
q ( t )
1
1 q ( t )
2
2 r sin
2 r 2

16.

Изотропный моноэнергетический
точечный источник в вакууме
• В случае изотропного источника
q (t )
q ( t )
4
•и
q (t )
o
o
(r , , t ) (r , t )
2
4 r
•а
q (t )
( r , t )
(4 r ) 2
o

17.

Безстолкновительная доза, создаваемая
моноэнергетическим изотропным точечным
источником в вакууме
• Доза, образованная нерассеянного
излучением в точке r, будет определяться
произведением флюэнса на функцию
отклика детектора :
D
o
S p
4 r
2

18.

Безстолкновительная доза, создаваемая
моноэнергетическим изотропным точечным
источником в вакууме
• Доза, образованная в точке r органа,
ткани, или детектора нерассеянным
излучением точечного анизотропного
источника, находящемся в точке rS , будет
определяться произведением
флюэнса
на функцию отклика ( , r ) в точке r ,
которая, вообще говоря, может зависеть
от направления движения частиц
( , r ) S p ( )
o
D (r ; , rS )
2
(r rS )

19.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник в однородной ослабляющей среде
• Рассмотрим точечный изотропный источник в
бесконечной однородной ослабляющей среде с
линейным коэффициентом ослабления .
• Частицы источника, движущиеся без
столкновений с частицами среды,
распространяются в пространстве по радиальным
траекториям.
• Число частиц, достигающих точки r без
столкновений, равно Spe– r. (e– r – материальное
ослабление). Поэтому бесстолкновительная доза
D (r )
o
S p
4 r
2
e
r

20.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник за защитной стенкой
• Рассмотрим точечный
источник, отделенный от
детектора однородной
прямоугольной
бесконечной защитной
стенкой толщины d (см.
рис.).
• Бесстолкновительная
доза в этом случае
D (r )
o
S p
4 r
d sec
e
2
Sp
n
r P
d

21.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник с многослойной защитой
• Тот же самый результат справедлив для
бесстолкновительной дозы независимо от формы
защиты, если вместо dsec ввести толщину
ослабляющего материала вдоль прямой,
соединяющей точки источника и регистрации
излучения.
• В случае многослойной защиты
S p
D (r )
exp i di sec
2
4 r
i
o
• где i – коэффициент ослабления слоя толщиной di.

22.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник с многослойной защитой
• Смысл суммы
i di sec
i
• состоит в том, что она представляет
собой длину свободного пробега
частицы до встречи с детектором в
единицах средних длин свободного
пробега.

23.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник с неоднородной защитой
• Если защита неоднородна, то линейный
коэффициент взаимодействия излучения с
веществом является функцией точки
(r )
• Вероятность того, что хотя бы одна
частица источника попадает в детектор на
расстоянии r от источника, равна e– , где
– длина свободного пробега частицы от
источника до детектора в единицах
средних длин свободного пробега (т.н.
оптическая длина)

24.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник с неоднородной защитой
• Формально
rt
dl ( r )
rs
• где rt – радиус-вектор точки нахождения
облучаемой мишени (target) или
детектора, r s – радиус-вектор точки
источника
• Интегрирование ведется по
прямой,
соединяющей точки rs и rt , dl – длина
элемента этой прямой.

25.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник с неоднородной защитой
• Уравнение этой прямой можно записать в
виде:
r r (u ) rs u (rt rs )
• где u – безразмерный параметр,0 < u < 1.
Поэтому
1
rt rs 0 du (r (u ))

26.

Точечный моноэнергетический изотропный
источник с неоднородной защитой
• Бесстолкновительная доза
S
rt
p
o
D (rt )
exp
dl ( r )
rs
2
4 rt rs

27.

Случай полиэнергетических
источников
• В случае полиэнергетических источников
полная бесстолкновительная доза является
суммой соответствующих доз, даваемых
каждой из моноэнергетических частей:
(
r
,
E
)
f
S
r
t
i i p
o
t
D (rt )
2 exp r s dl (r , Ei )
i
4 rt rs
• где fi – доля частиц, испускаемых
источником, с энергией Ei.

28.

Случай непрерывного распределения
частиц по энергиям
• Источники, имеющих непрерывный
спектр испускания, можно
охарактеризовать величиной p(E),
являющейся плотностью вероятности
испускания частицы с энергией E, а p(E)dE
– вероятностью испускания частицы с
энергией в интервале от E до E + dE.
• Тогда полная бесстолкновительная доза
p
(
E
)
(
r
,
E
)
S
(
E
)
r
t
p
o
t
D (rt ) dE
exp r dl (r , E )
2
s
4 rt rs
0

29.

Точечное ядро для
бесстолкновительной дозы
• Для перехода к распределенным в
пространстве источником вводится
понятие точечного ядра.
• Точечным ядром для
бесстолкновительной дозы называется
величина, являющаяся
бесстолкновительной дозой, отнесенной к
единице характеристики изотропного
источника.

30.

Точечное ядро для
бесстолкновительной дозы
• В однородной изотропной среде с
коэффициентом ослабления
(rt , E )
o
G (rs , rt , E )
exp
(
E
)
r
r
t
s
2
4 rt rs
• В неоднородной среде
(rt , E )
rt
o
G (rs , rt , E )
2 exp r s dl (r , E )
4 rt rs

31.

Распределенные источники
• Если источник непрерывно распределен
в пространстве, то бесстолкновительная
доза рассчитывается по формулам:
o
D (rt S ) 0 dE V dVsG (rs , rt , E ) SV (rs , E )
0
s
• для объемно распределенных
источников с объемным распределением
характеристики источника SV (rs , E )

32.

Распределенные источники
o
D (rt S ) 0 dE A dasG (rs , rt , E ) S A ( E rs )
0
s
• для источников распределенных по
поверхности As с поверхностной плотностью
характеристики источника S A ( E rs ) .
o
D (rt S ) 0 dE L dlsG (rs , rt , E ) S L (rs , E )
0
s
• для источников, распределенных вдоль
некоторой линии Ls c линейной плотностью
SL(rs,E)

33.

Органная бесстолкновительная доза
• Эти выражения могут быть обобщены на случай,
когда определяется средняя доза на орган, ткань,
или весь объем Vt мишени или детектора
1
D (T S ) 0 dE V dVt V dVsG o (rs , rt , E ) SV (rs , E )
t
s
Vt
0
• При этом в G ( rs , rt , E ) будет, вообще говоря,
входить ( r , E ) как для материала источника,
o
ослабляющей среды между мишенью и
источником, так и для материала мишени в
зависимости от положения точки r.

34.

Важнейшие аналитические
методы расчета доз
Концепция точечного ядра для
полной дозы

35.

Основные составляющие полной
дозы
• Доза, создаваемая в некоторой точке
излучением от источника, независимо
от его природы состоит из двух частей:
▫ доза, создаваемая частью частиц, дошедших
прямо от источника (бесстолкновительная
доза) D0(r)
▫ доза Ds(r), создаваемая рассеянными частицами,
испускаемыми источником, либо частицами,
созданными излучением в веществе,
разделяющем точку наблюдения и источник

36.

Как найти флюэнс?
• В общем случае невозможно определить
аналитически или из первых принципов
флюэнс различных составляющих
излучения.
• Обычно необходимо использовать теорию
переноса излучения, если имеются строгие
модели возникновения вторичного
излучения
• Однако, в некоторых случаях можно
использовать концепцию точечного ядра
для вычисления полной дозы по
распределению источников.

37.

Как найти флюэнс?
• В строгой теории переноса излучения
отыскивается энергетическая
и угловая
плотность флюэнса i ( E , r , t ) i-го вида
излучения с энергией E,
распространяющемся в направлении в
точке r в момент времени t.
• Для нахождения i ( E, r , t ) обычно
используются численные методы решения
уравнений переноса или методы
моделирования Монте-Карло

38.

Уравнения переноса излучения –
общая идея
• Сначала рассматривается задача о балансе в заданном объеме V,
ограниченном замкнутой поверхностью A, частиц, испускаемых
источником (первичных частиц), и частиц, создаваемых
излучением в веществе (вторичных частиц) в интервале
энергий от E до
E+dE и в малом телесном угле d около
направления
(c)скорость про
(b)скорость изводства вто (a )мощность
взаимодей - ричных частиц
потока частиц
ствия
с энергией E ,
из V через A
движущихся
частиц
в
V
в направлении
(d )скорость
производст
ва
частиц источ -
никами
в
объеме V
Вид (b), (c) и (d) зависит от вида излучения, вид (a) одинаков во всех
случаях. При нестационарном процессе слева должна еще фигурировать
скорость изменения мощности флюэнса

39.

Функция Грина для флюэнса
• Для точечного источника при условии отсутствия
излучения на бесконечности в неограниченной
изотропной среде решение уравнения переноса
можно выразить через т.н. функцию Грина
Gi (rs , Es , s r , E , )
• Эта функция есть угловой флюэнс излучения
вида i, распространяющегося с энергией E в
направлении , произведенного излучением
источника единичной мощности, испускающем
только один вид частиц с энергией Es в
направлении s.

40.

Функция Грина для флюэнса
• Тогда для любого источника, описываемого
произвольным распределением S ( Es , s rs , t ) , в
той же геометрии и при тех же граничных условиях
i ( E , r , t ) dVs dEs d s Gi (rs , Es , s r , E , ) S ( Es , s rs , t )
• Тогда полная доза в точке r, созданная источниками,
ограниченными поверхностью Ss, охватывающей
объем Vs,
D(r S s ) dE d i (r, E , ) i (r, E , )
i

41.

Доза в области
• Чаще всего представляет интерес не доза в
точке, а доза в каком-то объеме Vt, занимаемом
мишенью, органом или тканью организма,
отнесенная на единицу массы mt вещества в
этой области, распределенным с плотностью
(rt) (т.н. область назначения, или target
region). В этом случае
1
D(T S s )
mt
dV dE d (r ) (r , E , ) (r , E , )
t
i
t
t
t
i
t
t
t
i
t
t
t

42.

Изотропные источники
• Если источник состоит из изотропных
излучателей, мощность которых распределена в
пространстве по закону S(rs), а спектр излучения
определяется энергетической плотностью
распределения N(E), то S(rs,Es, s) = S(rs)N(E)/4 , и
средняя доза в области может быть задана
выражением
1
D(T S s )
dVt dVs (rt ) S (rs )G(rs , rt )
mt
• где

43.

Точечное ядро для полной дозы
G(rs , rt ) dEs dEt d t N ( Es )
i
i (rt , Et , t )Gi (rs , Es , s rt , Et , t )
• Физический смысл: точечное ядро
для полной дозы есть полная доза,
созданная в rt в среднем одной
частицей, испущенной в точке rs в
единице объема источника.

44.

Точечное ядро для полной дозы
• В бесконечной однородной среде
(например, воздух) G(rs, rt) = G( rs rt ), т.е.
зависит только от расстояния между
точкой источника и точкой мишени. Так
как плотность вещества постоянна, то
1
D(T S s ) dVt dVs S (rs )G( rs rt )
Vt

45.

Объемные источники в однородной
среде
• Если объемный источник
находится в однородной
среде, то
G(rs, rt) = G( rt rs )
• Тогда, построив сферическую систему координат
в точке rs, с радиальной
координатой r = rt rs и
полярной осью rt rs ,
можно преобразовать
интеграл по Vt в формуле
для D(T Ss)
Область источника
rs
At
z
rt
Область мишени
x
y

46.

Объемные источники в однородной
среде
1
D(T S s ) dVt dVs S (rs )G( rs rt )
Vt
1
dVs S (rs ) drr 2G(r ) t (r , rs )
Vt
0
где t(r,rs) – телесный угол, под которым
из точки rs видна область мишени.
Если источник распределен однородно в
области Vs, то S(rs) = Stot/Vs, где Stot – полная
мощность источника. Тогда

47.

Объемные источники в однородной
среде
D(T S s ) Stot drG(r ) p (r , T S s ),
0
r2
p(r , T S s )
VtVs
Vs
dVs t (r , rs )
• Распределение p(r,T Ss) называется распределение
пар точек по расстоянию между ними (point-pair
distance distribution) и имеет смысл нормированной
на 1 плотности распределения точек источника на
расстоянии r от точек мишени.
• Она не зависит от выбора областей Vt и Vs:
p(r,T Ss) = p(r, Ss T)

48.

Объемные источники в однородной
среде
• Несколько иная формулировка формулы
для полной дозы может быть получена
введением вместо распределения
p(r,T Ss) понятия «геометрический
фактор»
g (r , T S s )
1
Vs
Vs
dVs
t (r , rs )
V
t 2 p(r , T S s )
4
4 r
• Тогда доза в области T
Stot
2
D(T S s ) 4
drr
G(r ) g (r , T S s )
Vt 0

49.

Объемные источники в однородной
среде
• Поскольку p(r,T Ss) = p(r, Ss T), то
• тогда
Vsg(r,T Ss) = Vtg (r, Ss T)
D(T S s ) 4 SV drr 2G(r ) g (r , S s T )
0
• Этот результат имеет место и в том случае,
когда объем мишени стягивается в точку.
Поэтому подход с использованием
геометрического фактора является более
предпочтительным.

50.

Примеры точечных ядер для точечных
источников. Общие случаи
• Вакуум (для любых частиц)
G(r )
4 r 2
• Бесстолкновительная доза в однородной
бесконечной изотропной ослабляющей среде
r
0
G (r )
e
2
4 r
• а в неоднородной изотропной среде
l
0
G (r , l )
e , l ds ( s )
2
r
4 r
• где интегрирование ведется вдоль радиуса

51.

Примеры точечных ядер для точечных
источников. Фотоны
• Точечное ядро для полной дозы
l
G(r , l )
B(l )e
2
4 r
где B(l) – фактор накопления, а l = r в
случае однородной среды.
Что такое фактор накопления?

52.

Примеры точечных ядер для точечных
источников. Бета-частицы
• Для моноэнергетического изотропного
источника
E
G(r , E , d 0 )
F(d / d 0 , E )
2
4 r d 0
• где d = r, d0 = r0, а r0 – т.н. длина пробега
по модели CSDA (continuous slowing down
approximation). Она приравнивается к
максимальному пробегу
( E )
E
0
dE
Ltot ( E )
• где E – максимальная энергия частицы, а
Ltot(E) – полная линейная передача
энергии, состоящая из столкновительной и
радиационной частей.

53.

Примеры точечных ядер для точечных
источников. Бета-частицы
• Функция F называется масштабным или
скейлинговым ядром. Ее вид моделируется с
помощью расчетов по методу Монте-Карло, либо
подбором эмпирических зависимостей.
• Для источников бета-частиц, имеющих
непрерывный спектр, описываемый
распределением N(E) с максимальной энергией
Emax, дозовое точечное ядро имеет вид
1
G(r , E, d 0 )
4 r 2
Emax
0
EN ( E ) d
dE
F
, E
d0 ( E) d0 ( E)

54.

Важнейшие аналитические
методы расчета доз
Нерассеянное излучение.
Примеры расчетов для
протяженных источников

55.

Примеры расчета бесстолкновительной
дозы
• В разбираемых ниже примерах
предполагается, что
▫ источники являются
моноэнергетическими,
▫ каждая точка источника испускает
изотропное излучение,
▫ детектор является точечным и
изотропным.

56.

Линейный изотропный источник
• Рассмотрим источник с
изотропной характеристикой
Sl, равномерно распределенной
по отрезку прямой длины L.
• Детектор расположен на
расстоянии h от отрезка (или от
его продолжения)
• Расположим ось Oz декартовой
системы координат вдоль
отрезка, поместив начало
координат в один из его
концов.
• Элемент dz отрезка создает в
точке P бесстолкновительную
дозу dDo.
z
L
z + dz
z
P
h
0
O

57.

Линейный изотропный источник в
вакууме
• Пусть zP – z-координата точки P, в которой
находится детектор. В вакууме
S l
dz
dD
4 ( z z P ) 2 h 2
o
• Интеграл вдоль отрезка, занимаемого
источником, дает
S l
D
4 h
o
• где угол, под которым виден источник из точки
P,
L zP
zP
arctg
arctg
h
h

58.

Линейный изотропный источник в однородной
изотропной ослабляющей среде
• В однородной изотропной ослабляющей среде с
линейным коэффициентом ослабления
Sl exp[ ( z z P ) h ]
dD
dz
2
2
4
( z zP ) h
2
2
o
• Интеграл по z от данного выражения дает
S l
F ( 0 , h) F ( 0 , h)
D
4
o
• где углы считаются положительными, если
отсчитываются в положительном направлении оси
zp
Oz.
0 arctg
h

59.

Интеграл Зиверта
• где
F ( , b) d e
b sec
• т.н. секансный интеграл0 (secant integral) или
интеграл Зиверта (Sievert integral),
• а
zP
0 arctg
h
• Функция F( ,b) нечетна по первому аргументу:
F(– ,b) = – F( ,b)

60.

Интеграл
Зиверта
• Является
специальной
функцией
• Табулируется
обычно не
F( ,b), а F ( , b,)
связанная с
F( ,b)
соотношением
F ( , b) e b F ( , b)

61.

Линейный изотропный источник за
однородной защитной стенкой
• Рассмотрим теперь
линейный источник
длины L, отделенный от
точки детектирования P
плоскопараллельной
защитной стенкой
толщины d с линейным
коэффициентом
ослабления .
• Если ослабление
происходит только в
стенке, то
z
L
z + dz
z
P
h
0
O
d
S l
F ( 0 , d ) F ( 0 , d )
D
4
o

62.

Линейный изотропный источник за
слоистой защитной стенкой
• Если защита сделана из слоев толщины di
с различными коэффициентами
ослабления i, то в этой формуле d нужно
заменить на
i di
i
• При этом sec уже входит в формулу для
F( ,b).

63.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску, в вакууме
• Рассмотрим источник,
характеристика которого
равномерно распределена по
диску радиуса R с
плотностью распределения
SA.
R
• Бесстолкновительная доза
на оси диска
z
h
0
O
2
S A
d
S A R
o
D
d 2
ln 1 2
2
4 0
4
h
0 h
2
R
d

64.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в вакууме
• Вне оси диска интеграл будет
рассчитываться сложнее.
• Для расчета дозы в этом случае
введем следующие обозначения:
• радиус-вектор точки источника
;
rS cos ex sin e y
• радиус-вектор точки
детектирования:
rt P cos P ex P sin P e y z P ez

65.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в вакууме
• Тогда
S A
dA
dD
2
4 (r rP )
o
S A
d d
;
4 a b cos( P )
a
2
zP
2
P
, b 2 P
2

66.

Общее свойство
• Интеграл по берется в пределах от 0 до 2 и
фактически не зависит от P. В общем случае
2 P
0
2 P
P
P
0
duf (cos u ) duf (cos u ) duf (cos u )
0
P
2
P
2
0
duf (cos u ) duf (cos u ) duf (cos u )
0
0
d f (cos ) d f ( cos )

67.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в вакууме
• В рассматриваемом случае
2
d
d
d
0 a b cos 0 a b cos 0 a b cos
d
2a 2
2
2
a b cos
0
/ 2
/ 2
d
d
2
2a 2
2
2
2
2
sin
b
a
cos
b
a
0
0

68.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в вакууме
• Интегралы, стоящие в скобках, легко
вычисляются в элементарных функциях:
/2
d
2a 2
2
2
0 a b cos
/2
d
2a 2
2
2
a 2 b2
0 a b sin
• Здесь
a b ( z ) 4 z
2
2
2
2
P
2 2
P
2
P
2
P

69.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в вакууме
• Поэтому
S A
D
2
o
R
0
d
( 2 z P2 2P ) 2 4 z P2 2P
• Этот интеграл легко вычисляется
S A
1
D
ln 2 R 2 z P2 2P ( R 2 z P2 2P ) 2 4 R 2 2P
4
2zP
o
• Он сводится к полученному ранее значению на
оси диска при P = 0, и имеет особенность при
zP 0. Эта особенность присуща модели, так как в
данном пределе нужно учитывать толщину для
реальных дисков и неточечность детектора.

70.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• В общем случае
S A
d d
dD
4 a b cos( P )
o
exp a b cos( P )
• и здесь расчет значительно усложняется.

71.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Во-первых, как и предыдущем случае
2
exp[ a b cos( P ) ]
d
a b cos( P )
0
2
exp( a b cos )
d
a b cos
0
exp( a b cos ) exp( a b cos )
d
d
a b cos
a b cos
0
0
• Но теперь объединять интегралы нет
смысла.

72.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Введем обозначения
r2 = a bcos
• Тогда
r
r
S A
e
e
o
D
d d 2 2
4 0 0
r
r
R

73.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• В каждом из слагаемых имеет смысл
сделать отдельную замену переменных
P cos r z sin ;
2
2
P
2
P
2
P cos
r dr
d 1
2
2
2
2
r
z
sin
P
P

74.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Пределы интегрирования по переменным r
r нижн r0 2P z P2 rP ;
r верх r 0 R r 2 P R cos
2
2
P
( R P cos ) 2 z P2 2P sin 2
• Здесь r+0 есть расстояние до точки
детектирования от наиболее удаленной точки
диска, лежащей в плоскости, повернутой на
угол к плоскости, проходящей через точку
детектирования и ось диска, r–0 –
соответствующее наименьшее расстояние

75.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• После некоторых преобразований
r 0
r 0
x
x
S A
e
e
o
D
d dx
dx
4 0 r0
x
x
r0
P cos dx
2
2
x
x
c
r 0
r 0
e x
• где c2 = z2P + 2Psin2 .
• Интеграл по можно свести к интервалу
интегрирования от 0 до /2:

76.

Сумма первых двух интегралов
r 0 (cos ) e x r 0 (cos ) e x
d dx x dx x
0
rP
rP
r 0 ( )
r 0 ( )
x
d
e
e x
dx
dx
2
x
x
1 1 rP
rP
1
d r 0 ( ) e x r 0 ( ) e x
2
dx
dx
2
x
x
0 1 rP
rP
1
r 0 (cos ) e x r 0 (cos ) e x
2 d dx
dx
r
x
x
0
r
P
P
/2

77.

Последний интеграл
r 0 ( )
e x
r 0 ( )
x x c ( )
d cos dx
0
/2
d cos
0
/2
d cos
0
r 0 (cos )
dx
r 0 (cos )
e x
x x
2
r 0 (cos )
r 0 (cos )
dx
z P2
x x
/2
z P2
2P sin 2
0
d cos
/2
/2
2P sin 2
2 d cos
2
e x
2
2
d sin
0
r 0 (cos )
r 0 (cos )
dx
r 0 (cos )
dx
r 0 (cos )
e x
x x
2
r 0 (sin )
r 0 (sin )
dx
z P2
2P sin 2
e x
x x
e x
x x 2 z P2 2P sin 2
2
z P2
2P cos 2

78.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Тогда
r 0 ( )
r 0 ( )
x
x
S A
e
e
o
D
d dx
dx
r
2 0
x
x
r
P
P
/2
P cos dx
2
2
x
x
c
(
)
r 0 ( )
r 0 ( )
e x

79.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Вводя интегральную экспоненту
e zt
En ( z ) dt n
t
1
• выражение для дозы можно свести к виду
Do
S A
E1 ( rP )
2
r 0 ( )
S A / 2
e x
d E1 ( r 0 ( )) E1 ( r 0 ( )) 2 P cos dx
2
2
2 0
x x c ( )
r 0 ( )

80.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Если точка детектирования находится на
оси диска, то P = 0 и
rP z P h; r 0 R z h sec 0
2
• Тогда
D
o
axis
2
P
S A
E1( h) E1( h sec 0 )
2
• Из соображений симметрии ясно, что
среди всех значений Do ее значение на оси
диска будет максимальным для всех
одинаковых zP = h.

81.

Изотропный источник, равномерно
распределенный по диску в однородной
изотропной среде
• Это видно и из
графика функции
E1(z)
• Поэтому в при
консервативных
оценках
достаточно
использовать
выражение для
дозы на оси диска.

82.

Предельный случай – плоскость
• Если R , то r+ r– , а E1(z) 0.
Поэтому для изотропного источника,
равномерно распределенного по
плоскости
S A
D
E1 ( h)
2
o

83.

Изотропный дисковый источник за
плоской защитой толщины d
• Если s – линейный коэффициент ослабления
материала плоской защиты толщины d, то,
обозначая толщину защиты в направлении луча t
= dsec , получим,
/2
S
A
Do
E1 ( st ) d E1 ( st 0 ) E1 ( st 0 )
2
0
2 P
d cos dx
2
2
x x c
0
t 0
/2
t 0
e s x
• где t o – длины отрезков пересекающих защиту
лучей, идущих от наиболее удаленной (+) и
наименее удаленной (–) точек соответственно.

84.

Анизотропный дисковый источник в
ослабляющей среде
• Часто поток излучения источника
пропорционален некоторой степени cos , где –
угол между направлением испускания и
нормалью к поверхности. В этом случае угловое
распределение потока
n 1
J n ( )
J n cos n
2
• где n – целое число, а Jn+ – полное число частиц,
отнесенное к единице площади источника и
испускаемое в полусферу в направлении
детектора, а именно
/ 2
J n 2 d sin J n ( )
0

85.

Анизотропный дисковый источник в
ослабляющей среде
• Для изотропного
источника n = 0, и
Jn+ = SA/2.
• На оси диска
D o axis J n (n 1) En 1 ( h)
cos 0 E1 ( h sec 0 )
• Если = 0, то
n
D
o
axis
z
h
0
R
2 n / 2
R
n 1
J n
1 1 2
n h
O
d

86.

Прямоугольный плоский источник в
вакууме
• Удобно рассмотреть
частный случай, когда
точка детектирования
P находится над одним
из вершин
прямоугольника (см.
a
рис.)
x
z
P
b
O
dx
S A
1
D
dx dy 2
2
2
4 0 0 x y z
a
o
b
dy
y

87.

Прямоугольный плоский источник в
вакууме
• Один из интегралов, например, по x,
может быть рассчитан аналитически, что
дает
a
arctg
0 y 2 z 2
y2 z2
• Этот интеграл может быть оставлен в
таком виде для численных расчетов
S A
D
4
o
b
dy

88.

Прямоугольный анизотропный плоский
источник в вакууме
• Для анизотропного плоского прямоугольного
источника с
n 1
n
J n ( )
J n cos
2
• можно легко показать, что
n 1
z
D
J n dx dy 2
2
2 ( n 2) / 2
2
(
x
y
z
)
0
0
a
o
b
n

89.

Прямоугольный косинусный плоский
источник в вакууме
• В случае n = 1 имеем
1
D J n arctg
2
2
1
o
• где = W/L, = 2z/L.
• Справа стоит телесный угол, под которым
видна плоскость из точки детектирования.
• Методом суперпозиции можно получить
бесстолкновительную дозу для любого
положения точки наблюдения
относительно прямоугольной плоскости

90.

Сферический поверхностный источник
• Очень простое выражение возникает для
бесстолкновительной дозы в геометрическом
центре сферы от сферического поверхностного
изотропного источника, находящейся в
однородной изотропной бесконечной
ослабляющей среде с коэффициентом
ослабления :
r
S
e
A
D o dA
2
4 r
Sphere
r
S
e
2
r
A
r d
S Ae
2
4 r
Sphere

91.

Усеченный круговой конус
• Модель почти невероятная
для реальных источников.
• Но удобна тем, что по ней
строится поле
цилиндрического
источника.
• Пусть s – линейный
коэффициент ослабления
материала источника
• Тогда
dD o axis
z
P
t
0
SV S
SV dz
E1( s z ) E1( s z sec 0 )
2

92.

Усеченный конус
• Интегрирование дает
SV H
o
D axis
dz E1 ( s z ) E1 ( s z sec 0 )
0
2
SV
1 E2 ( s H ) cos 0 E2 ( s H sec 0 ) cos 0
2 s
• В случае плоской безграничной защиты толщины
t и с линейным коэффициентом ослабления
D
o
axis
SV
E2 ( t ) E2 ( s H t )
2 s
cos 0 E2 ( s H sec 0 ) cos 0 E2 (( s H t ) sec 0 )

93.

Бесконечная плита
• Рассмотрим в качестве источника однородную
безграничную плиту толщины H с линейным
коэффициентом ослабления материала плиты s.
• Тогда 0 /2, и cos 0 0, поэтому из формулы
для конуса
SV
1 E2 ( s H )
D
2 s
o
• Задание: получить самостоятельно выражения для
бесстолкновительной дозы от бесконечного
полупространства, а также в случае, когда имеется
параллельная плоская защита толщины t.

94.

Цилиндрический объемный источник
• Рассмотрим
цилиндрический
источник радиуса R и
высоты H, изготовленный
из материала с
коэффициентом
ослабления s.
• Пусть SV – объемная
плотность
характеристики
источника, равномерно
распределенная по
объему цилиндра

95.

Цилиндрический объемный источник
• В точках P0 на оси на нижнем основании
цилиндра (r2 = 2 + z2 ) и P1 (r2 = R2 + 2 + z2
– 2 Rcos ) на краю источника
SV
D ( P0 )
2
SV
o
D ( P1 )
2
o
R
H
e
sr
0
d dz
R
H
0
0
0
r
0
d d
2
,
e sr
dz 2
r

96.

Цилиндрический объемный источник
• Даже в этих частных случаях получающиеся
выражения достаточно сложны. Их
представляют в следующем виде
SV
D ( P0 )
G1 ( s H , s R ),
2 s
o
SV
D ( P1 )
G2 ( s H , s R )
2 s
o

97.

Цилиндрический объемный источник
• где
a
G1 (a, b) 0 dx[ E1 ( x) E1 ( x 2 b 2 )],
a
1 b y
G2 (a, b) 0 d 0 d F arctg , ,
2 b 2 y 2 2by cos
• а F( ,k) – уже встречавшийся нам интеграл Зиверта.
• Поле в произвольной точке оси внутри источника может
быть получено путем суперпозиции выражений для
Do(P0), а поле в любой точке на образующей цилиндра –
путем суперпозиции выражений для Do(P1).

98.

Понятие
о концепции альбедо

99.

Вводные замечания
• Нередки случаи, когда мощность дозы
излучения в какой-либо точке, созданная
фотонами, отраженными от стен, пола,
потолка и других поверхностей, оказывается
сравнимой с мощностью дозы
бесстолкновительного излучения.
• В этом случае приходится учитывать
механизмы переотражения, которые из-за
высокой проникающей способности
рентгеновских и гамма-фотонов несколько
отличаются от обычных фотонов видимого
диапазона.

100.

Вводные замечания
• Чаще всего, отражение фотонов таких
энергий возникает внутри вещества стен
и защиты. Поэтому фотон выходит, как
правило, не из той точки, откуда вышел.
• Учет отраженных фотонов представляет
собой весьма сложную задачу. Ее можно
несколько упростить, если использовать
понятие альбедо.

101.

Применимость понятия альбедо
Смещением точки входа и выхода
фотона можно пренебречь. Это
применимо в случае, когда толщина
стенок больше нескольких средних длин
свободного пробега.
Отражающие среды можно считать
полубесконечными, а их границы
плоскими.
Рассеянием фотонов в воздухе,
отделяющем источник от отражающей
поверхности, можно пренебречь.

102.

Дифференциальное числовое альбедо
Дифференциальное
числовое альбедо отношение нормальных к поверхности
стенки составляющих
плотности потока Jnr
излучения,
вышедше-го из
отражающей стенки в
точке ее поверхности
к плотно-сти потока
Jn0 падающих
фотонов
E0, 0
0
E,
E энергия отраженных фотонов, 0
угол падения, угол отражения,
угол поворота плоскости отражения
луча по отношению к плоскости
падения луча.
J n r ( E , , ) cos Ф ( E , , )
( E 0 , 0 ; E , , )
J n 0 ( E 0 , 0 ) cos 0 Ф ( E 0 , 0 )

103.

Интегральные величины, связанные с
альбедо
При расчете радиационной защиты
представляют интерес следующие
интегральные величины
▫ Интеграл по всем возможным энергиям
отраженных фотонов
N ( E 0 , 0 ; , )
E0
0
dE ( E 0 , 0 ; E , , )
▫ числовой коэффициент отражения
AN ( E 0 , 0 )
2
0
d
/2
0
d sin N ( E 0 , 0 ; , )

104.

Дифференциальные дозовые альбедо
D (E0 , 0
; , )
E0
0
dE ( E ) J nr
( E0 ) J n0
E0
0
(E )
dE
( E 0 , 0 ; E , , )
(E0 )
• Дозовые альбедо обычно используются для
определения экспозиционной дозы, однако,
могут быть применены и в случае расчета
эквивалента дозы или эффективной дозы.

105.

Дозовые величины
• С помощью дозовых альбедо могут быть
определены:
▫ дозовый коэффициент отражения
AD ( E 0 , 0 )
2
0
d
/2
0
d sin D ( E 0 , 0 ; , )

106.

Дозовые величины
▫ доза излучения, созданного единицей площади
отражающей поверхности S
E 0 max
2
/2
dDr
dE 0 d 0 d 0 sin 0
0
0
0
dS
cos 0
Ф 0 ( E 0 , 0 ; 0 ) D ( E 0 , 0 ; 0 ; ; )
2
r
где r расстояние от точки поверхности до
детектора

107.

Понятие
о «рассеянии» гаммаквантов в воздухе (Эффект
Skyshine)

108.

Рассеяние гамма-квантов в воздухе
(skyshine)
• Излучение, направленное вверх, частично
рассеивается в воздухе помещения, в котором
стоит облучательная установка.
• Оно называется излучением, рассеянным в
воздухе, и именуется по-английски skyshine
(дословно: небесное сияние)
• Его вклад в дозу должен учитываться как для
профессиональных работников, так и для
работников других цехов и отделов, а также
для населения

109.

Метод интегрального прямолинейного пучка
(integral line-beam skyshine method)
• Строгое рассмотрение требует использования
применения численных методов в т.н. многомерной
теории переноса излучения
• Приближенный метод интегрального
прямолинейного пучка основан на предположении,
что применимо понятие функции отклика
прямолинейного пучка
( E , , x)
• Она задает воздушную керму (в сГр/фотон) на
расстоянии x от точечного источника, испускающего
фотон энергии E под углом к прямой,
соединяющей точку источника с точкой наблюдения
в бесконечной воздушной среде

110.

Метод интегрального прямолинейного
пучка
• В широком диапазоне значений x (Lampley, Andrews
and Wells, 1988)
( E , , x) k ( / 0 ) 2 E[ x( / 0 )]b exp[ a cx( / 0 )]
• где - плотность воздуха, выраженная в тех же
единицах, что и эталонная плотность 0 = 0,0012 г см-3;
• если E измеряется в МэВ, а x – в метрах и – в
сГр/фотон, то постоянная k = 1,308 10-11.
• Параметры a, b и c зависят от энергии фотона и угла .
• Они оцениваются подгонкой, либо рассчитываются из
моделей

111.

Функция отклика прямолинейного
пучка
• На рисунке показана
функция отклика
прямолинейного
пучка для фотонов с
энергией 6,13 МэВ,
испускаемых при
бета-распаде 16N,
который появляется в
воздухе атомных
станций с водным
охлаждением

112.

Доза от skyshine
• Доза от рассеяния фотонов в воздухе
D( x) dE d S ( E , Ω) ( E , , x)
0
Ωs
• где интегрирование по углам ведется по всем
направлениям испускания фотонов, допускаемых
коллимирующими устройствами, установленными
на источнике; зависит от направления .
• Границей воздух-земля в данном методе
пренебрегают
• Чтобы учесть ее влияние, применяют
эмпирические поправочные множители

113.

Доза от skyshine
• При наличии потолка
D( x) dE d e B ( E , ) S ( E , ) ( E , , x)
0
1
s
• где - средняя длина свободного пробега
фотона, испущенного в направлении ,
проходящего через защиту,
• B(E', ) – фактор накопления для материала
потолка, E' – энергия рассеянного потолком
фотона.