Упрощение логических выражений

1.

Упрощение
логических
выражений
1

2.

3.

• (выберете правильный ответ)
1. Чем является предложение «Дети любят
игрушки» с точки зрения алгебры логики?
Объектом
Неправильно
Логической переменной
Неправильно
Высказыванием
Правильно
Математическим
соотношением
Неправильно

4.

• (выберете правильный ответ)
• 2. Инверсия – это?
Логическое отрицание
Правильно
Логическая переменная
Неправильно
Логическое сложение
Неправильно
Логическое умножение
Неправильно

5.

• (выберете правильный ответ)
• 3. Логическое сложение – это?
Инверсия
Неправильно
Импликация
Неправильно
Конъюнкция
Неправильно
Дизъюнкция
Правильно

6.

• (выберете правильный ответ)
• 4. Логическое умножение?
Конъюнкция
Правильно
Эквивалентность
Неправильно
Импликация
Неправильно
Дизъюнкция
Неправильно

7.

• (выберете правильный ответ)
• 5. Логическое следование (Импликация)
обозначается словами или знаком?
В тогда и только тогда, когда
А
Неправильно
Если А, то В
Правильно
Или +
И
&
Неправильно
Неправильно

8.

• (выберете правильный ответ)
• 6. Операция обозначенная словами В
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА А
называется?
Импликация
Неправильно
Инверсия
Неправильно
Эквивалентность
Правильно
Логическое умножение
Неправильно

9.

7. Один зажиточный человек боялся
грабителей и заказал замок, который
открывался двумя ключами
одновременно. С какой логической
операцией можно сравнить процесс
открывания? Объясните ответ.
Инверсия
Неправильно
Дизъюнкция
Неправильно
Конъюнкция
Правильно
Логическое умножение, т.к. каждый ключ в отдельности не
открывает замок. Только использование двух ключей вместе
позволяет его открыть

10.

8. Мальчик Вася был рассеянным и всегда терял
ключи. Только поставят родители новый замок,
как находился старый ключ (под ковриком, в
портфеле, в кармане). Придумайте
«суперзамок» для Васи, чтобы дверь не мог
открыть посторонний человек, а Вася
наверняка ? Объясните ответ.
Инверсия
Неправильно
Дизъюнкция
Правильно
Конъюнкция
Неправильно
Замок с логическим сложением, чтобы он открывался хотя бы
одним оказавшимся под рукой ключом.

11.

А
В
А
3
2
1
Сопоставьте операции
1
2
3
инверсия
Неправильно
дизъюнкция
Правильно
конъюнкция
Неправильно
инверсия
Правильно
дизъюнкция
Неправильно
конъюнкция
Неправильно
инверсия
Неправильно
дизъюнкция
Неправильно
конъюнкция
Правильно

12.

Расставить в правильном порядке
выполнение логических операций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Инверсия
Дизъюнкция
Конъюнкция
Импликация
Эквивалентность
Операция в скобках
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Операция в скобках
Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквивалентность

13.

Основные законы
• Действия с абсолютно-истинными и
абсолютно-ложными высказываниями
• Коммутативность
• Ассоциативность
• Дистрибутивность
• Идемпотентность
• Инволюция
• Поглощение
• Поглощение отрицания
• Законы де Моргана
• Закон исключения
• Закон контрапозиции

14.

Коммутативность
(независимость от перестановки
мест)
A B B A
A B B A

15.

Ассоциативность
(независимость от порядка
выполнения однотипных действий)
( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )

16.

Дистрибутивность
(распределительный закон)
• Относительно логического умножения
( A B) C ( A C ) ( B C )
Относительно логического сложения
A B C ( A B) ( A C )

17.

Идемпотентность
(отсутствие степеней и
коэффициентов)
A A A
A A A

18.

Инволюция
(двойное отрицание)
( A) A

19.

Действия с абсолютно-истинными и
абсолютно-ложными
высказываниями
• Закон исключенного третьего
A A 1
• Закон противоречия
A A 0

20.

Законы де Моргана
• Отрицание одновременной истинности
( A B ) A B
• Отрицание вариантов
( A B ) A B

21.

Поглощение
A A B A
A ( A B) A

22.

Поглощение отрицания
A A B A B
A ( A B ) A B

23.

Закон исключения (склеивания)
(AΛB)V(¬АΛB) =B
(AVB)Λ(¬АVB)=B

24.

Закон контрапозиции
¬(А→В) = АΛ¬В
¬(А→В)=¬А∙¬В
А→В= ¬А+В

25.

25
Законы алгебры логики
название
для И
для ИЛИ
A A
двойного отрицания
A A 0
A A 1
операции с
константами
A 0 0, A 1 A
A 0 A, A 1 1
повторения
A A A
A A A
исключения третьего
поглощения
переместительный
A ( A B) A
A A B A
A B B A
A B B A
сочетательный
A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
распределительный
A B C ( A B) ( A C)
законы де Моргана
Закон контрапозиции
A B A B
¬(А→В)=¬А∙¬В
A (B C) A B A C
A B A B
А→В= ¬А+В

26.

26
Упрощение логических выражений
Шаг 1. Заменить операции на их выражения через И,
ИЛИ и НЕ:
A B A B
A B A B A B
Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по
формулам де Моргана:
A B A B,
A B A B
Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение,
стараясь применять закон исключения третьего.

27.

27
Упрощение логических выражений
Q M X H M X H (M M ) X H X H
X (B A) (A B) (A C)
( B A) (A B) (A C)
формула де Моргана
( B A) A B (A C)
( B A A A ) B (A C)
B A B (A C)
B A (A C)
B A
раскрыли
распределительный
исключения третьего
повторения
поглощения

28.

Задачи (упрощение):
_
X∙YVX∙Y
Воспользуемся распределительным законом:
A ∙( B V C ) =A ∙ B VA ∙ C
(или вынесем общий множитель за скобку)
X∙YVX∙Y=
_
X ∙(Y V Y ) =
1
=Х∙1=Х
28

29.

29
Задачи (упрощение)
Какое логическое выражение равносильно выражению
A ¬(¬B C)?
1) ¬A ¬B ¬C
1)A B C
2) A ¬B ¬C
2) A B C
3) A B ¬C
3) A B C
4) A ¬B C
4) A B C
A ( B C) A B C A B C

30.

Примеры
( A B ) ( A B )
( A B )
( A B ) ( A C )
( A B )