Понятие множества

1. план лекции

1. Понятие множества
2. Способы задания множеств.
3. Операции над множествами
4. Свойства множественных операций
5. Декартово произведение множеств.
6. Некоторые свойства декартова произведения
1

2. Понятие множества

1. Понятие множества
Начало созданию теории множеств дал немецкий математик
Георг Кантор (1845 – 1918). Понятие «множества» он формулировал следующими
словами:
«Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо
различаемых нашей интуицией или нашей мыслью» или «множество - это
многое, мыслимое в качестве единого».
Это определение нельзя рассматривать как строгое математическое определение.
Это лишь описание идеи. Ведь слова «объединение», «совокупность» или «класс»
ничем не хуже слова «множество». Понятие «множества» принимается как основное,
первоначальное или исходное, не сводимое к другим, более ранним понятиям.
2

3. Примеры множеств:

1) множество гласных букв в русском алфавите;
2) множество людей, присутствующих в данный момент в данной
комнате;
3) множество молекул воды в данном конкретном стакане;
4) множество точек, являющихся вершинами некоторого
многоугольника;
5) множество сочетаний из 13 элементов по 7 и т.д..
*) Все приведённые примеры множеств обладают одним
существенным свойством – эти множества состоят из конечного числа
элементов. Конечного в том смысле, что на вопрос «сколько?» всегда
можно дать определенный ответ в виде известного (или в данный
момент не известного, но, тем не менее, определенного) целого числа.
Свои примеры.
3

4.

Множества, состоящие лишь из конечного числа элементов,
называются конечными множествами.
В математике часто приходится сталкиваться с другими – не
конечными, или, как принято говорить, бесконечными множествами.
Примерами бесконечных множеств могут послужить числовые
множества:
4

5. Примеры числовых множеств:

1) ℕ– множество всех натуральных чисел – {1,2,3, …};
2) ℤ – множество всех целых чисел – {…,-2,-1,0,1,2,…};
3) ℚ – множество рациональных чисел (это числа, которые могут быть
представлены в виде дроби, числитель которой – целое число, а
знаменатель – натуральное, т.е. x=a/b , где a-целое, b-натуральное);
4) ℝ – множество вещественных (действительных) чисел (это все
рациональные и иррациональные числа);
5) ℂ – множество комплексных чисел (это числа, вида х=a+ib, где a и bвещественные, i–мнимая единица: i2= -1);
6) ℝ2 – множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x,y),
– вся вещественная плоскость;
7) ℝn – n-мерное вещественное пространство, где n – натуральное
число, – множество всех упорядоченных последовательностей из n
вещественных чисел («энок») или n-мерное вещественное пространство.
5

6.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается .
Пустое множество конечно. Число элементов в пустом множестве
равно нулю.
6

7. 2.Способы задания множества

Все элементы некоторого определенного множества обладают некоторым
свойством, общим для всех элементов этого множества. Например:
множество всех четных чисел; множество всех белых гусей; множество букв
русского алфавита. Поэтому для задания множества можно:
1) либо задать свойство, которым должны обладать все его элементы;
2) либо указать (перечислить) все элементы этого множества.
Оба этих подхода, в сущности, представляют одно и то же, разница лишь
во внешнем оформлении.
Тот факт, что х является элементом множества М, записывается так: х М.
В этом случае говорят, что х входит в М, содержится в М или принадлежит М.
Если х не является элементом множества М, то пишут х М.
7

8.

То, что некоторое множество М состоит из элементов x, y, …, t,…
записывают так: М={x,y,…,t,…}, где многоточием обозначаются не
выписанные элементы.
Например: A={a,b,c}, M={2,4,6,8,10,…}.
Если элементы множества обозначаются при помощи некоторых
индексов, например: х , х ,…,х ,…, то пишут также: М= х , где
= , ,…, ,… – множество индексов.
Совокупность множеств М , М ,…,М ,… = М - называется
системой множеств (где Г= , ,…, ,… – индексное множество).
То, что множество состоит из элементов, обладающих некоторым
свойством, записывают так: М={x: ………}, где на месте многоточия
перечисляют свойства элементов.
Читается это так: «множество М состоит из элементов х, таких,
что…».
Например: M={x: x=a/2 , где а и x ℤ}.
8

9.

Для некоторых числовых множеств имеются свои способы записи:
Отрезок числовой оси: [a, b]={x: a ≤ x ≤ b , где a,b,x ℝ и a ≤ b }.
Интервал: (a, b)={x: a < x < b , где a,b,x ℝ и a < b }.
Полуинтервал: (a, b]={x: a < x ≤ b , где a,b,x ℝ и a < b },
или [a, b)={x: a ≤ x < b, где a,b,x ℝ и a < b },
или (-∞, b]={x: x ≤ b и b,x ℝ },
или [a, +∞)={x: x ≥ a и a,x ℝ }.
9

10. Булевы выражения

10

11.

Предикат. Предикат(от лат. praedicatum сказанное) - языковое выражение, обозначающее
к.-л. свойство или отношение.
Неформально говоря, предикат – это высказывание,
в которое можно подставлять аргументы.
Если аргумент один – то предикат выражает свойство
аргумента, если больше – то отношение между
аргументами.
11

12.

Операции над множествами.
Обозначения операций
Первым стал использовать теперь
общепринятые обозначения операций над
множествами - Джузеппе Пеано (1888 г.).
12

13.

• Объединением множеств A и B называется множество
A B, все элементы которого являются элементами
множества A или B:
A B = {x | x A x B}.
• Пересечением множеств A и B называется множество
A B, элементы которого являются элементами обоих
множеств A и B:
A B = { x | x A & x B}.
Выполняются включения A B A A B
и A B B A B.
Говорят, что два множества не пересекаются, если их
пересечение – пустое множество.
13

14.

• Относительным дополнением множества A до множества X
называется множество X\A всех тех элементов множества X, которые
не принадлежат множеству A:
X\A = {x | x X & x A}. (также называют разностью множеств X и A)
• Симметрической разностью множеств A и B называется множество
A B = (A\B) (B\A).
• Когда фиксирован универсум U абсолютным дополнением
множества A называется множество всех тех элементов x, которые
не принадлежат множеству A:
A = { x | x U & x A}.
• Заметим, что A = U\A. Часто вместо A будем писать A или A’.
14

15. Булевы выражения множеств

15

16.

Джордж Буль
Джордж Буль (англ.George Boole; 2 ноября 1815, Линкольн —
8 декабря 1864, Баллинтемпл, графство Корк, Ирландия) —
английский математик и логик. Профессор математики
Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж
Корк) с 1849. Один из предтеч математической логики .
16

17. Булевы выражения множеств

А, В, С ─ множества
1.
(C B)U(A\(A B C));
2.
(A C) (B C) ;
3.
(A B C)\(C B);
4.
C\ (A B).
17

18.

Диаграммы Эйлера
18

19.

Леонард Эйлер (1707-1783) — швейцарский, немецкий и
российский математик, внёсший значительный вклад в
развитие математики, механики, физики, астрономии
19

20.

• Для
наглядного
представления
отношений
между
подмножествами
какого-либо
универсума
используются
диаграммы Эйлера. В этом случае множества обозначают
областями на плоскости и внутри этих областей условно
располагают элементы множества.
• Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то на
диаграмме области, отвечающие таким множествам, должны
перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно
находиться в соответствующих областях.
20

21.

В
А
А
A
A B
A B
Это — диаграммы Эйлера
21

22. Диаграммы Эйлера (продолжение)

A\B
B\A
A B
• Здесь не имеет значения относительный размер кругов либо
других замкнутых областей, но лишь их взаимное
расположение.
22

23.

• Такие диаграммы могут играть в логике лишь ту роль, что
чертежи в геометрии: они иллюстрируют, помогают
представить и доказать, но сами ничего не доказывают.
23

24.

1.
(A B C)\(C B)
A Эйлера
B
Даграмма
?
C
24

25.

• Часто все множества на диаграмме размещают внутри
квадрата, который представляет собой универсум U.
26

26.

диаграммы Эйлера
U
В
А
U
А
A
A B
A B
27

27.

Объединение, пересечение и дополнение обычно называются
булевскими операциями; составленные из множеств с их
помощью выражения – булевыми выражениями; значение
такого выражения – булевой комбинацией входящих в него
множеств, а равенство двух булевых выражений – булевыми
тождествами.
28

28.

Операции над множествами
Позволяют … ?
получения новых множеств из уже существующих
29

29. Операции над множествами

Булевы тождества
30

30.

Теорема 4. Для любых подмножеств A, B и C универсума U
выполняются следующие основные булевы тождества:
1
A B = B A
(коммутативность )
A B = B A (коммутативность
)
2
A (B C) = (A B) C
(ассоциативность )
A (B C) = (A B) C
(ассоциативность )
3
A (B C) = (A B) (A C)
(дистрибутивность
относительно )
A (B C) = (A B) (A C)
(дистрибутивность
относительно )
4
A = A
A U = A
5
A A = U
A A =
6
A A =A (идемпотентность
)
A A = A (идемпотентность )
31

31.

Булевы тождества (продолжение)
Теорема 4 (продолжение).
7
A U = U
A =
8
(A B) = A B (закон де
Моргана)
(A B) = A B (закон де
Моргана)
9
A (A B) =A(закон поглощения) A (A B) = A (закон поглощения)
10
A\B = A B
32

32. Булевы тождества (продолжение)

Булевы выражения
1.
(A B C)\(C B) = (C B)U(A\(A B C))
Диаграмма Эйлера ?
A
B
C
33

33. Булевы выражения

2.
(A C) (B C) = C\ (A B)
Диаграмма Эйлера
A
B
C
34

34. Булевы выражения

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОЖДЕСТВА
35

35. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОЖДЕСТВА

36

36.

Пример 1.
Доказатьтождество A (B C) = (A B) (A C) .
Решение.
Сначала покажем, что A (B C) (A B) (A C).
Действительно, если x A (B C), то x A или x B C.
Если x A, то x A B и x A C.
x (A B) (A C).
Следовательно,
Если x B C, то x B и x C.
Отсюда: x A B и x A C, а значит, x (A B) (A C).
37

37.

Следующее утверждение докажите или
опровергните (опровергнуть можно на
частном примере с помощью диаграммы
Эйлера:
1.
2.
(A\B) C = (A C)\(B C).
Найдите множество X, удовлетворяющее условию
A X = и A X = U.
3. Проверить тождество A B = (A B) (A B).
4. Проверить, что A B A C B C.
38

38.

Следующее утверждение докажите или опровергните
(опровергнуть можно на частном примере с помощью диаграммы
Эйлера:
5. Проверить тождество:
(A B) (C D) = (A C) (B C) (A D) (B D).
6.Проверить тождество: A (A B) = B.
7. Определить операции и \ (каждую по отдельности) через операции
и .
8. Определить операции и (каждую по отдельности) через операции
\ ; .
39

39.

END
END
END
40