Интегрирование рационально-тригонометрических функций

1.

Интегрирование
рационально-тригонометрических
функций

2.

Интеграл
вида
R sin x,cos x dx,
где
R
–
рациональная функция, приводится к интегрированию
рациональных
функций
с
помощью
универсальной
x
тригонометрической подстановки tg t , при этом
2
2dt
,
x 2arctg t , dx
2
1 t
x
1 tg 2
2 tg
2t
2
sin x
, cos x
2
1 t
2 x
1 tg
1 tg 2
2
x
2
1
t
2
.
2
x 1 t
2

3.

Специальные подстановки
1. Если R sin x,cos x R sin x,cos x , то рационализует
подстановка cos x t.
2. Если R sin x, cos x R sin x,cos x , то рационализует
подстановка sin x t.
3. Если R sin x, cos x R sin x,cos x , то рационализует
подстановка tg x t.

4.

1 cos2
1 cos2
2
sin
, cos
,
2
2
2
1
sin cos sin sin ,
2
1
sin sin cos cos ,
2
1
cos cos cos cos .
2

5.

dx
Пример 1. Найти интеграл
.
sin x 2 cos x 2sin x

6.

Пример 2. Найти интеграл
3 sin
dx
2
2
.
x 2 cos x 1

7.

Пример 3. Найти интеграл
4
sin
x dx .

8.

Пример 4. Найти интеграл
sin 3 x dx
cos
7
x
.

9.

Пример 5. Найти интеграл
cos3x cos5 x dx .
1
cos 3 x cos 5 x cos 3 x 5 x cos 3 x 5 x
2
1
1
cos 2 x cos8 x cos 2 x cos8 x
2
2