507.35K
Категория: МатематикаМатематика

Двойной интеграл. Приложения двойного интеграла. Двойной интеграл. Его свойства. Геометрический смысл

1.

Двойной интеграл. Приложения
двойного интеграла.
Двойной интеграл. Его свойства.
Геометрический смысл.
Вычисление двойного интеграла.

2.

Определение двойного интеграла.
• Пусть функция z f ( x, y ) определена в области D.
Разобьём область D произвольным образом на связные
части Di, i 1, n. В каждой из частей выберем
произвольным образом точку M i i , i , M i D i , i 1, n.
Пусть i - площадь подобласти Di, max d i , i 1, n .
i 1,n
После чего составим
интегральную сумму:
(*)
Если существует конечный предел интегральных сумм (*)
при 0 (n ) , nкоторый не зависит от способа
разбиения области D Di и от выбора точек M i D i ,
i 1
то он называется
двойным интегралом функции по области D и

3.

4.

Существование двойного интеграла
и обозначается:
Функция, z f ( x, y )
для которой
двойной интеграл
существует, называется интегрируемой в области D.
Пусть граница Г области D является кусочно-гладкой
линией, т.е. её можно представить в виде конечного числа
гладких участков кривых, т.е. линий, имеющих касательную
в каждой своей точке.
Теорема 1: Если функция z f ( x, y ) непрерывна в замкнутой
ограниченной области, то для неё существует двойной
интеграл.

5.

Свойства двойного интеграла
1.
Если функции: f ( x, y ), g( x, y ) - интегрируемы в области D
то их сумма: f ( x, y ) g( x, y )также интегрируема в этой
области и верно равенство:
2.
Если функция z f ( x, y ) интегрируема в области D , то
функция z k f ( x, y ) - также интегрируема в этой
области (k const) и
Если функция z f ( x, y )
непрерывна в области D
и D D1 D 2 D n
3.

6.

Геометрический смысл двойного
интеграла
Пусть функция z f (x, y ) 0, ( x, y ) D и для неё
существует двойной интеграл: I lim I n f (x, y )d f (x, y )dxdy
0
D
D
n
тогда:
где V- объём цилиндрического тела, у которого основанием
служит проекция поверхности z f ( x, y ) на плоскость
xOy, тело ограничено сверху поверхностью z f ( x, y ).
V dxdy S осн . h S осн . 1
D

7.

Вычисление двойного интеграла в
д.с.к.
• Вычисление двойного интеграла сводится к повторному
интегрированию. Пусть областью изменения независимых
переменных является:
a x b
D
это криволинейная трапеция
y 1 ( x) y y 2 ( x)
на плоскости xOy ( y y 1 ( x), y y 2 ( x) - гладкие линии).
Тогда:
При этом область интегрирования должна быть
правильной в направлении оси Oy. Интеграл по
переменной «y» называется внутренним, а по переменной
«x»- внешним.

8.

Вычисление двойного интеграла в
д.с.к.
• Сначала вычисляется внутренний
интеграл и в результате
y2 (x)
получаем некоторую функцию
затем
f ( x, y )dy ( x )
интегрируя её по другой
y1 ( x )
b
переменной «x», получаем результат:
(x)dx f (x, y )dxdy
при этом последний интеграл
a
D
называется внешним.
• Замечание 1: Пределы интегрирования будут постоянными
в обоих интегралах, если область интегрирования есть
квадрат или прямоугольник со сторонами параллельными
осям координат (в д.с.к.).
• Замечание 2: Если область интегрирования есть
правильная область в направлении оси Ox, то
c y d
D
x1 ( y ) x x 2 ( y )

9.

Вычисление двойного интеграла в
д.с.к.
• Тогда соответствующий двойной интеграл:
• Замечание 3: Если область интегрирования D не
является правильной ни в одном из координатных
направлений, то её представляют в виде суммы конечного
числа областей, каждая из которых правильная по одному
из направлений Ox либо Oy, затем используя свойства
двойного интеграла, производят непосредственно
вычисления.

10.

Пример 1:
• Вычислить значение двойного интеграла:
в области D : ABC A(0,0), B( 2,0), C( 2,1)
Данная область является правильной
в обоих направлениях. Поэтому:
2
2
x
ydxdy
D
y x / 2
x y dxdy dx x ydy
2
2
D
0
y 0
2
2
x
1
4
x 2 0 dx x 4dx
80
5
8
0
2
или:
1
x 2
0
x 2 y
2
x
y
dxdy
dy
x
ydx
2
D
x 2
1
1
x3
8
8 4
8 y2 y5
4
ydy y y dy
3 x 2 y
3
3
3 2
5 0 5
0
0
1

11.

Пример 2:
• Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
x
. Изобразим область интегрирования:
dx f (x, y )dy
0
x
2
1
x y
0
x y
0 x 1
D 2
x y x
dy f (x, y )dx
Замечание 4: Пределы интегрирования необходимо
расставлять так, чтобы процесс вычисления был наименее
трудоёмким.

12.

Пример 3:
• Не вычисляя двойного интеграла, выяснить, который из
них имеет большее значение:
( x y )dxdy
D
или ( x y ) 2 dxdy
D
Где область D задана своими границами:
x 0; y 0; x y 1
В области D имеем:
f1 ( x, y ) 1, f 2 ( x, y ) ( x y ) 2 ( x y )
т.е. первый имеет большее значение, т.к. для него функция
больше.

13.

Двойной интеграл в полярных
координатах
• Рассмотрим отображение области
в плоскости uOv
на область D в плоскости xOy , которое задаётся с
помощью отображения: x x(u, v ) , где x(u, v ), y(u, v )
непрерывно
y y (u , v )
дифференцируемые функции в области . Тогда:
где
J (u , v )
- модуль Якобиана:

14.

Геометрический смысл Якобиана
• Рассмотрим преобразование части плоскости O в
другую часть другой плоскости xOy , которое задаётся
преобразованием:
x x( , )
(1)
y y( , )
Выделим на плоскости O
бесконечно малый
прямоугольник П 1 П 2 П 3 П 4 со сторонами равными d , d
и параллельными осям координат O , O .
Отображением этого прямоугольника в плоскости xOy
является криволинейный четырёхугольник P1 P2 P3 P4 .
При этом координаты их вершин будут следующими:
П 1 ( , ); П 2 ( d , ); П 3 ( d , d ) П 4 ( , d )
P1 ( x( , ), y( , )); P2 ( x( d , ), y( d , ));
P3 ( x( d , d ), y( d , d )) P4 ( x( , d ), y( , d ))

15.

Геометрическая иллюстрация:
• Прямоугольник П 1 П 2 П 3 П 4
преобразования: x x( , )
y y( , )
является прообразом
(1)
криволинейный четырёхугольник
преобразования.
P1 P2 P3 P4 – образ

16.

Геометрический смысл Якобиана
• Если ограничиться членами первого порядка малости
относительно d , d , то координаты точек
криволинейного четырёхугольника можно считать
равными:

17.

Геометрический смысл Якобиана
• Можно считать, что
x
x( d ; ) x( ; ) d o( )
x
x
x( d ; d ) x( ; ) d
d o( ; )
y
y( d ; ) y( ; ) d o( ), y( ; d )
и с точностью до малых высшего порядка малости
четырёхугольник P1 P2 P3 P4 - есть параллелограмм и
тогда:

18.

Продолжение вывода
• Рассматривая область близка к параллелограмму,
построенному на сторонах P1 P2 , P1 P4 , поэтому его
площадь равна модулю векторного произведения этих
векторов: x x( , ) x( , ) P P
u
1 2
v x x( , ) x( , ) P1 P4
i
j
S P1 P2 P1 P4 x 2 x1 y 2 y 1
x 4 x1 y 4 y 1
x
y
x
d
d
x y
x y x
y
x
d
d
k
0
0
x 2 x1 y 2 y 1
x 4 x1 y 4 y 1
y
d d
y

19.

Геометрический смысл Якобиана
• Окончательно имеем: dx dy J( , ) d d
S J( , ) P
Если имеем обобщённые полярные координаты:

20.

Пример 4:
• Записать в полярных координатах область, ограниченную
2
2
2
2
линиями: x y ax , x y ay . Границы области
следующие линии: x 2 y 2 ax , x 2 y 2 ay
или в полярных и декартовых координатах:
a cos , a sin
2
2
2
a
a
a
a
2
2
x y ; y x ;
2
4
2
4
2
После чего получаем область:

21.

Пример 5:
• Вычислить значение двойного интеграла по площади
четверти круга: D : x 2 y 2 1
dxdy
x 2 y 2
D
d d
d d
x2 y 2 D
D
dxdy
D
2
d d R
2 2
0
0
R

22.

Пример 6:
• Найти массу части пластинки,
• ограниченной линями:
2 y2
1
x
D:
, ( x, y ) y 2
x2 y 2
4
2 1
0 y x
1 2
Преобразуем уравнение границы в обобщённые полярные
координаты: x cos
y 2 sin
x2
5x 2
2
Найдём уравнение луча ОМ0 : x 4 1 4 1 x1 y 1
5
2
2
2
1
1
cos ,
2 sin tg arctg
2
2
5
5

23.

Пример 6 (завершение):
• Таким образом область D в обобщённых полярных
координатах определяется следующими неравенствами:
0 1
Тогда масса пластинки выражается
D:
формулой:
1
0 arctg 2
M ( x, y )ds ( x( , ), y( , ))2 d d
S
arctg
1
2
D
arctg
1
d 2 sin 2 d
0
0
2
0
1
2
1
sin 2 d 4 2 2 d
0
1 1
1
2tg
1 2
arctg sin 2arctg sin 2
arctg
2
2 2
2
2 5
1 tg
English     Русский Правила