Двойной интеграл

1.

{ двойной интеграл – двукратный интеграл - пример – замена переменной в двойном интеграле – якобиан
преобразования – вычисление двойного интеграла в полярной системе координат – примеры }

2.

Двойной интеграл
n
f ( x
z
k 1
k
, yk ) k f ( x1, y1 ) 1 f ( x 2 , y 2 ) 2 ... f ( xn , y n ) n
Двойной интеграл
f ( x , y )d
z = f(x,y)
S
f ( x , y )dxdy
0
a
x
k
f(x,y) S
b
y
lim
n
f ( x
lim
max k 0
k 1
n
S
f ( x * k , y * k ) k
Интегральная сумма Римана
lim
*
k
n
f ( x
max xk , yk 0
k 1
n
n
m
x f ( x , y
max x i , y j 0
i 1
m , n
i
j 1
, y *k ) k
j
*
k
, y * k ) x k y k
) y j
1 ( x )
b 2 ( x )
dx f ( x , y )dy f ( x , y )dxdy
( x )
a 1 ( x )
a
1
b
Двухкратный интеграл

3.

Пример
@
Вычислить двойной интеграл:
x
2
4y dxdy S : 0,3 0,2
S
y
2
Решение
S
3 x
2
S x 4y dxdy 0 0 x 4y dy dx
3
3
3
2x
2
8 x 42
2
x
8
dx
0
3
0
3
2
2
2
3
x
0
2
y 2y 2 dx
0

4.

Двойной интеграл
Объем цилиндроида (цилиндрического бруса)
2 ( x )
dx
f
(
x
,
y
)d
f
(
x
,
y
)dxdy
f
(
x
,
y
)dy
S
S
a ( x )
1
(
y
)
d 2
d
S f ( x , y )dxdy c ( y ) f ( x , y )dx dy
c
1
a
b
b
z
z = f(x,y)
Теорема Фубини
d b
bd
c a
a c
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy f ( x , y )dxdy
S
Свойства
af ( x , y ) bg( x , y ) d a f ( x , y )d b g( x , y )d
0
S
c
x
S : a , b c ,d
y
S
S
S
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d
S
S1
S2
S2
S1
d
Площадь плоской фигуры - d
S
s s1 s2

5.

Пример
@
Вычислить двойной интеграл:
3
e
dxdy
D
x
,
y
1
y
2
,
y
x
y
D
y
y=2
y=1
x = y3
x
D
D1
x
y
D2
Решение
y3
2
y
D e dxdy 1 y e dx dy 1 e y dy
y
2
4
2 1
y2
2
e
y
e
e
2
2e 1
e y y ye 1 dy
2
2
2
1
1
x
y
2
3
x
y
x
y
x
8 2
x xy
y
e dxdy e dy dx e dy dx
D e dxdy D e dxdy
D2
1 3 x
2 3 x
1
x
y
x
y
x
y
2
Второй способ вычисления интеграла - неэффективен

6.

Пример
Вычислить
y
e y dxdy
X=8
@
X=2
8 ln x
2 0
S
x
Решение
8 ln x
2 0
e dxdy
2
y
8
ln x
0
ln x
y
e dy dx e y
dx
2
0
8
x
2 x 1 dx 2 x
8
2
8
24
2

7.

Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле определяется отражением T
области R в плоскости uv в область S плоскости xy.
y
(x,y)
y = 2x+3
y = 2x+1
S
Y = 5-x
Y = 2-x
u y 2x
v y x
R
U=3
v
V=5
U=1
x
u -v
x
3
u 2v
y
3
V=2
u
R
(u,v)
v
u
S
y
x
Пример
Пусть S – область, ограниченная прямыми линиями
y = 2x + 3, y = 2x + 1, y = 5 - x and y = 2 - x.
Найти преобразование T с отражением области R в
плоскости uv на S, где R – прямоугольная область с
границами, параллельными осям u, v.

8.

Якобиан преобразования
Якобианом преобразования называется определитель:
x
J u
y
u
(x,y)
R
(u,v)
v
S
y
u
x
v
y
v
J
( x , y )
( u ,v )
( x , y )
( u ,v )
( u ,v )
( x , y )
x
Замена переменной в двойном интеграле
f ( x , y )dxdy f ( x ( u ,v ), y ( u ,v ))
s
R
( x , y )
dudv
( u ,v )
f ( x , y )dxdy f ( x ( u ,v ), y ( u ,v ))
s
R
J dudv
1

9.

Пример
( x
2 xy )dxdy
S
Решение
u -v
x 3
u y 2x
u 2v
v y x
y
3
( x , y )
( u ,v )
( u ,v )
( x , y )
y = 2x+1
S
Y = 5-x
Y = 2-x
1
J 3
1
3
1
2
1
3 1
3
2
3
J
2
1
1
1
1
1
3
v
x
V=5
R
V=2
1
( u v )
( u v )( u 2v ) 1
( u 2 2uv v 2 2u 2 2uv 4uv 4v 2 ) dudv
2
) dudv
27 R
9
9
3
S
R
5
3
3
3
3 5
3
1
v
1
1
1
1
2
3
2
2
2
9u 117 du 3u 117u
u v du
( u 2 v 2 ) dudv ( u v ) dv du
9 1 2
27 1
9 1
3
27
9
R
2
1
3
1 3
u 39u 1 26 78 52
9
9
9
1
2
( x 2xy ) dxdy (
U=3
Вычислить
y = 2x+3
y
y 2 x 1
y 2 x 3
S:
y 2 x
y 5 x
U=1
@
2
u

10.

Двойной интеграл в полярной системе координат
y
Преобразование T : отражение области R : r, на S: x,y.
R S
x r cos
T :
y r sin
(x,y)
(r, )
r
J
x
0
Якобиан преобразования: J r
( x , y )
( r , )
cos
sin
r sin
r cos
r
d
f ( x , y ) dxdy f ( r cos , r sin ) rdrd
S
R
R
g2 ( )
f ( r , ) rdrd
R
rd rd
f ( r , ) rdrd
g1( )
0
п.о.

11.

Пример
@
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой r 3 2 sin
и лежащей вне круга x 2 y 2 4
Решение
1
2 3 2 sin sin
r 3 2 sin
2
7
2 r 3 2 sin
R
6
6
S
0
2 = 7 /6
x y 2
2
2
7 /6
/ 6
2
S
rd rd
r 2 3 2 sin
2
R
R
1 = /6
r 2
d
2
d
7 / 6 3 2 sin
/6
rd rd
2
7 /6
7
6
sin
cos
2
d
2
/ 6
7 / 6
7
1
11 3 14
6 cos sin 2
24.187
2
2
/ 6
2
3