Проблемы энерго- и ресурсосбережения в теплоэнергетике
Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты
Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты
Однородная пластина
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Граничные условия
Решение
Решение
Константы интегрирования
Частное решение
Тепловой поток
Температуры
Однородный цилиндр
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Решение
Решение
Общее решение
Частное решение
Частное решение
Частное решение
Частное решение
Тепловой поток
Тепловой поток
Цилиндрическая стенка
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внешней поверхности
Теплообмен только на внутренней поверхности
Теплообмен только на внутренней поверхности
Теплообмен только на внутренней поверхности
Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Вопросы к экзамену
418.00K
Категория: ФизикаФизика

Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения в теплоэнергетике

Теплопроводность при наличии
внутренних источников теплоты

2. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

Примеры:
• джоулева теплота при пропускании электрического
тока;
• экзо- и эндотермические химические реакции;
• выделение (поглощение) теплоты при перестройке
кристаллических решеток;
• выделение (поглощение) теплоты при изменении
агрегатного состояния тела;
• выделение (поглощение) теплоты в атомных
реакторах….

3. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

Классификация источников теплоты
По форме:
• Точечные;
• Линейные;
• Поверхностные;
• Объемные.
По направлению действия:
• Положительные (теплота выделяется);
• Отрицательные (теплота поглощается).

4. Однородная пластина

t
Пограничные
слои
t0

tc
tc
0
2

x

5. Дифференциальное уравнение теплопроводности

: бесконечная пластина.
В стационарном процессе: q Const; Const;t Const.
v
ж
Найти: t f ( x) ?;t ?;t ?
0
c
q
t
Дифференциальное
a 2t v .
уравнение теплопроводности:
(1)
c
При
Для стационарного процесса:
тогда
a 2t
qv
0,
c
(2) где
( t / ) 0 ,
2
2
2
t
t
t
2t 2 2 2
x y z
оператор Лапласа, тогда после деления (2) на
a /(c )
дифференциальное уравнение теплопроводности
в бесконечной пластине:
2t 2t
2 2 0,
y z

6. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение примет вид:
2
d t qv
0
2
dx
(3)

7. Граничные условия

Условия теплоотдачи одинаковы с обеих сторон пластины,
поэтому температурное поле симметричное, а тепловыделения
в обеих половинах пластины одинаковы, то есть можно рассматривать только ее правую
половину. Тогда граничные условия будут:
dt
x 0 ( ) x 0 0;
dx
dt
x ( ) x (tc tж ).
dx
(4)

8. Решение

Интегрируем (3):
qv
dt
x c1,
dx
разделяем переменные:
dt
qv
xdx c1dx.
(5)

9. Решение

После второго интегрирования:
qv 2
t x c1x c2
2
.
(6)

10. Константы интегрирования

Константы интегрирования находятся из граничных
условий (4) и уравнения (5) при:
x 0 c1 ( dt )x 0 0
dx
, (7)
x ( dt )x q.v
dx
q
dt
) x v (tc tж ).
dx
tc tж qv .
После сокращения на λ имеем:
Подставляем (10) в (6) при x и с учетом, что c 0:
1
2
q
получаем:
.
t tc v c2.
2
Приравнивая (10) и (11),
2
qv 2
имеем: qv
, откуда: c t qv qv .

c2 ,
2
ж
2
2
Подставляем (8) в (4):
(
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)

11. Частное решение

Подставим константы интегрирования (7) и
(12) в (6):
qv
qv 2 2
t tж
( x )
2
(13)

12. Тепловой поток

По закону Фурье:
dt
q
dx
Тепловой поток, отдаваемый от правой половины
пластины:
q qv , Вт /
2
м
Q qvV /2 qv f qf ,
(14)

13. Температуры

Если температура стенки известна или
вычислена по уравнению (10), то есть
заданы граничные условия I рода:
qv 2 2
t tc ( x ),
2
тогда при
x 0:
(15)
qv 2
q
t t0 tc tc
2
2

14. Однородный цилиндр

t
Пограничные
слои
t0
tc
tc


0
2r0
r

15. Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

2r0 .
При стационарном режиме qv Const; Const;tж Const.
Для бесконечного цилиндрического стержня
Найти
t f (r);t0;tc
qv
t
2
a t .
c
Для стационарного процесса:
тогда:
a 2t
qv
0,
c
t
0,
(2)

16. Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

Оператор Лапласа в полярных (цилиндрических)
координатах:
2t
t 1 t 1 t t
.
2
2
2
2
r r r r z
2
2
2
(3)
В бесконечном цилиндре температура изменяется
только по по радиусу, то есть:
t t
0,
2
2
z
2
2

17. Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

После деления на:
a
c
получим дифференциальное уравнение
теплопроводности для цилиндра при
стационарном режиме:
2
d t 1 dt qv
0
2
dr r dr
(4)

18. Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

Граничные условия:
dt
r 0 ( )r 0 0;
dr
dt
r r0 ( )r r (tc tж ).
dr 0
(5)

19. Решение

t f (r);t0;tc
Найти:
dt
U
dr
qv
dU 1
U
0
dr r
rdU Udr
qv
rdr 0

20. Решение

Обозначим:
V Ur dV rdU UdV
тогда
2
qv r
V
2
qv
dV rdr 0
2
qv r
dt
r
C1
dr
2

21. Общее решение

.
qv
dr
dt
rdr
C
1
2
r
2
qv r
t
C1 ln r C2
4

22. Частное решение

Подчиним граничным условиям:
qv 2r
4
qv 2r
4
1
C1
0
r r 0
r 0
qv r
C2
C2 tж
4
2
r r0

23. Частное решение

Тогда:
qv r0
q r
C2 tж
2
4
2
qv r0 qv r0
C2

2
4
2
v 0

24. Частное решение

Тогда:
2
v 0
qv 2 qv r0 q r
t
r

4
2
4

25. Частное решение

Температура на оси цилиндра :
qv r0 1 r0
t (0) tж
2 2
Температура на поверхности цилиндра :
qv r0
t (r0 ) tж
2

26. Тепловой поток

По закону Фурье:
dt
q
dr
qv 2r qv r
q(r )
4
2
qv r0
q(r0 )
2

27. Тепловой поток

Полный тепловой поток:
qv r0
Q qF
2 r0
2
2
qv r0

28. Цилиндрическая стенка

Дифференциальное уравнение теплопроводности для
цилиндра при стационарном режиме:
2
d t 1 dt qv
0
2
dr r dr
Общее решение
2
qv r
t
C1 ln r C2
4
(1)

29. Теплообмен только на внешней поверхности

Расчетная схема
tC 1
r2
r1
r
tC 2

30. Теплообмен только на внешней поверхности

Граничные условия:
dt
dr
dt
dr
r r2
0,
r r1
tс 2 t ж 2

31. Теплообмен только на внешней поверхности

Найдем константы
1 qV r1
C1
0
r1 2
dt
1 qV r
C1
,
dr
r 2
qV r 21
C1
,
2

32. Теплообмен только на внешней поверхности

Температура на внешней поверхности:
2
2
1
qV r 2 qV r
tс 2
ln r2 c2
4
2
Из второго граничного условия:
qV r2 q r
tс 2 t ж 2
2 2 r2
2
V 1
2
V 1
qV r2 q r
tс 2 t ж 2
2 2 r2

33. Теплообмен только на внешней поверхности

Избавимся от неизвестной температуры на внешней поверхности,
приравняв правые части уравнений, и найдем вторую константу:
2
2
1
2
V 1
qV r 2 qV r
qV r2 q r
ln r2 c2 tж 2
4
2
2 2 r2
2
V 1
2
2
1
qV r2 q r
qV r 2 qV r
c2 tж 2
ln r2
2 2 r2
4
2

34. Теплообмен только на внешней поверхности

Частное решение:
qV r2
r1
1
t tж2
2 r2
2
2
2
qV r2
r1
r
r
1 2 ln
4 r2
r2 r2
2

35. Теплообмен только на внешней поверхности

Температура на внешней поверхности:
qV r2 r1
1
2 r2
2
tс 2 tж2

36. Теплообмен только на внешней поверхности

Плотность теплового потока на внешней поверхности:
q tс2 tж2
qV r2 r1
1
2 r2
2

37. Теплообмен только на внешней поверхности

Температура на внутренней поверхности:
tс1 tж2
r1
qV r2
1
2 r2
2
qV r2
r1
r1
r1
1 2 ln
4 r2
r2 r2
2
2
2

38. Теплообмен только на внутренней поверхности

Расчетная схема:

r2 tC1
r1
r
tC 2

39. Теплообмен только на внутренней поверхности

Граничные условия:
dt
dr
dt
dr
r r1
0,
r r2
tс1 tж1

40. Теплообмен только на внутренней поверхности

Найдя константы, получим частное решение:
qV r1 r2
1
t tж1
2 r1
2
qV r2
r r1 r
2 ln
4
r1 r2 r2
2
2
2

41. Теплообмен на внутренней и наружной поверхности

В этом случае существует максимум температуры
dt
внутри стенки при
r r0
dr
0,
т.е. здесь тепловой поток равен нулю (тепловая
изоляция). Таким образом, можно использовать
полученные ранее решения. Задача сводится к
отысканию значения
.
0
В одном случае следует подставить
,
1
0
в другом
r r
r2 r0
r r

42. Теплообмен на внутренней и наружной поверхности

Находим r0 :
2
qV r0 r2
r2
2 ln 1 ;
t0 tс 2
r0
4 r0
2
2
r0
qV r0 r1
2 ln 1 ;
t0 tс1
r1
4 r0
2

43. Теплообмен на внутренней и наружной поверхности

Вычитаем из первого уравнения второе:
tс1 tс 2
qV r0 r2 r1
r0
r0
2 ln 2 ln ;
4 r0 r0
r2
r1
2
2
2

44. Теплообмен на внутренней и наружной поверхности

Найдем r0 :
qV r2 r
2
r0
2
2
1
4 t
r
r2
qV 2 ln
r1
с1
tс 2

45. Теплообмен на внутренней и наружной поверхности

Зная r0 , легко находим
распределение
температуры во
внутреннем и наружном
слое по соответствующим
формулам.

46. Вопросы к экзамену

1.
2.
3.
4.
Стационарная теплопроводность в однородной
пластине при наличии внутренних источников
теплоты.
Стационарная теплопроводность в однородном
цилиндрическом стержне при наличии
внутренних источников теплоты.
Стационарная теплопроводность в
цилиндрической стенке при наличии внутренних
источников теплоты (теплота отводится только
через внутреннюю поверхность).
Стационарная теплопроводность в
цилиндрической стенке при наличии внутренних
источников теплоты (теплота отводится только
через внешнюю поверхность).
English     Русский Правила