Дифференциальное уравнение теплопроводности
Распределение температуры в пластине
Распределение температуры в пластине
Распределение температуры в пластине
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Частный случай
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)
Частный случай - нет внутреннего тепловыделения
Частный случай - 2
Поле температуры в цилиндрической стенке без тепловыделения
Поле температуры в цилиндрической стенке
Поле температуры в цилиндрической стенке
Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением
Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением
Поле температуры в сплошном цилиндре
Поле температуры в сплошном цилиндре
Поле температуры в шаре с тепловыделением
Поле температуры в шаре с тепловыделением
Поле температуры в шаре с тепловыделением
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Перенос тепла в ребрах
Учет зависимости теплопроводности от температуры
Учет зависимости теплопроводности от температуры
Учет зависимости теплопроводности от температуры (цилиндрическая геометрия)
Учет зависимости теплопроводности от температуры
Учет зависимости теплопроводности от температуры
Обмуровка трубопроводов
Использование тепловой изоляции
Критический диаметр тепловой изоляции
Критический диаметр тепловой изоляции
Критический диаметр тепловой изоляции
Критический диаметр тепловой изоляции
2.75M
Категория: ФизикаФизика

Стационарные процессы теплопроводности (продолжение)

1.

СТАЦИОНАРНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(продолжение)
1

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

a
cp
Dt
cp
div gradt qv
d
qv
Dt
2
a t
d
c p
t
W grad t
d
изменение
изменение темп. поля,
температуры вызванное движением
во времени
среды
qv
a t
c p
2
изменение темп.
поля
в пространстве
интенсивность
внутренних
источников тепла
2

3. Распределение температуры в пластине

Найти:
стационарное распределение температуры
в пластине
без внутреннего тепловыделения
при Г.У. 1 рода
0
0
0
qv
t
2
W grad t a t
d
c p
стационарная
задача
неподвижная
среда
нет внутреннего
тепловыделения
3

4. Распределение температуры в пластине

2
t 0
2
d t
0
*
2
dx
Условия однозначности
геометрические -
2. физические
-
3. начальные
4. граничные I рода
1.
x=0 t=t1
x= t=t2
4

5. Распределение температуры в пластине

дважды интегрируем уравнение
*:
t x C1 x C2
С1 и С2 из граничных условий
t1 - t2
t x t1 x
тепловой поток
dt
q -
(t1 - t 2 )
dx
5

6. Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением

Бесконечная плоская пластина толщиной с внутренними
источниками тепла q v Вт/м3, равномерно распределенными по
сечению
дифференциальное
уравнение
теплопроводности
qv
Dt
2
a t
d
c p
qv
t
2
W grad t a t
d
c p
2
t
2
t
x 2
2
t
y 2
2
t
z 2
температура
меняется в одном
направлении
6

7. Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением

2
qv
2
dx
d t
qv const
const
Условия однозначности
геометрические -
2. физические
-
3. начальные
4. граничные I рода
1.
t (- ) t1
2
t ( ) t2 t1
2
7

8. Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением

Последовательное интегрирование уравнения
дает:
2
 
qv x
t x C1x C2
2
Константы из граничных
условий:
t 2 - t1
C1
t 2 t1 qv 2
C2
2
8
2
t -t
qv
t1 t 2
2
2
1
- x
t x
x
2 2
2
8

9. Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением

Координата максимальной температуры
xmax
qv x t 2 - t1
dt
0
dx
x max
xmax
(t 2 - t1 )
qv
tmax
9

10. Частный случай

t1 t2 t w
tmax
t
q
C1 0
qv 2
t( x 0) t w
tmax
8
Перепад температур в пластине
q
qv 2
t t( x 0) - t w
8
Тепловой поток на поверхности:
dt qv
q -
dx
2
10

11. Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)

заданы коэффициенты теплообмена на границах 1 , 2
и температуры жидкостей, омывающих поверхности
2
qv
2
dx
d t
t f1, t f 2
граничные условия III рода
dt
1( t f 1 - t )
dx - 2
dt
2( t - t f 2 )
dx 2
11

12. Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)

решение уравнения:
qv x 2
t x C1x C2
2
1 qv 1 1
-
(tf 2 -tf1 ) 2 1 2
C1
1 1
1 2
Тепловой поток будет меняться в 
зависимости от координаты х:
dt
q -
qv x C1
dx
12

13. Частный случай - нет внутреннего тепловыделения

tf1 -tf 2
q
k t f 1 - t f 2 k – коэф. теплопередачи, 
       Вт/(м2К)
1 1
полное термическое 
1 2
сопротивление
1 1
1
R
R1 R2 R3
k 1 2
R1 1 1
конвективное со 
стороны 1
R2
кондуктивное 
(стенки)
конвективное 
со стороны 213
R3 1 2

14. Частный случай - 2

Одна поверхность пластины
теплоизолирована (q =0),
на другой задана температура t2
qv x 2
t x C1x C2
2
Г.У.
dt
0
dx - 2
t ( ) t2
2
qv x
q v
3qv
t x t2 x
2
2
8
2
14
2

15. Поле температуры в цилиндрической стенке без тепловыделения

2
t 0
2
2
1 t 1 t t
t 2
2
2
2
r r r
r
z
2
t
2
2
d t
1 dt
0
dr 2 r dr
t (r1 ) t1
t (r2 ) t 2
Условия однозначности
1. геометрические - r1, r2
2. физические
-
3. начальные
4. граничные I рода
15

16. Поле температуры в цилиндрической стенке

замена переменных
du 1
u 0
dr r
dt
u
dr
du
dr
u
r
После двукратного интегрирования
t r C1 ln r C2
t1 - t 2
C1
ln r1 r2
t1 - t 2
C 2 t1 ln r1
ln r1 r2
ln r r1
t (r ) t1 - t1 - t 2
ln r2 r1
16

17. Поле температуры в цилиндрической стенке

Логарифмический закон изменения температуры по радиусу 
является следствием уменьшения плотности теплового потока 
с увеличением радиуса.
Количество тепла, проходящее через цилиндрическую поверхность  
                     в единицу времени
dt
F 2 rl
dt
Q -
2 l (t1 - t 2 )
Q
ln d 2 d1
dr
F
dr
из решения уравнения
Q (t1 - t 2 )
ql
d2
1
l
Тепловой поток, отнесенный к единице длины 
ln
трубы (линейный тепловой поток)
2 d1
17

18. Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением

цилиндрическая стенка с внутренним радиусом r1,
наружным r2 , с постоянным коэффициентом
теплопроводности и равномерно распределенными
источниками тепла qv
d 2t
1 dt qv
0
2
r dr
dr
tf
при    r r1
           
при   
используем метод подстановки
dt dr u
умножаем на
rdr
r r2
q 0
dt
-
dr
r2
dt
   или      dr
0
r1
t2 -
qv r 2
t C1 ln r C 2
4
18

19. Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением

qv r C1
dt
dr
2
r
Подставляем сюда r1
qv r12
C1
2
Из второго граничного условия 
qv r2 qv r22 qv r12 qv r12
C2 t f
ln r2
2
4 2 r2
2
Распределение температуры в цилиндрической стенке  при заданных Г.У.   
2
2
qv r2
r1 qv r2
1 -
t r t f
2 r2 4
2
r 2
r
r
1
1 2 ln -
r2 r2
r2
2
r1
qv r2
Температура внешней поверхности  t 2 t f 2 1 - r
2
Плотность теплового потока на r2 
2
2
qv r2
r1
1 -
q t2 - t f
2 r2
Перепад температур в стенке
2
2
qv r2 r2
r2
- 2 ln - 1
t1 - t 2
4 r1
r1 19

20. Поле температуры в сплошном цилиндре

2
1 dt qv
0
2
r dr
dr
d t
уравнение
qv r 2
t C1 ln r C 2
4
решение
tf
С1=0
распределение
температуры в цилиндре
с внутренним
тепловыделением
Г.У.
r r0
r 0
dt
-
dr
t - t f
r0
dt
0
dr r 0
условие
симметрии
2
r
qv r0 qv r0
1 -
t r t f
2
4 r0
2
20

21. Поле температуры в сплошном цилиндре

температура внешней поверхности
цилиндра
qr
t2 t f
tf
v 0
2
перепад температур в цилиндре
2
qv r0
t t r 0 - t 2
4
плотность теплового потока на
поверхности цилиндра
qv r0
q
2
21

22. Поле температуры в шаре с тепловыделением

*
2 dt qv
0
2
r dr
dr
2
d t
   
tf
    
Граничные условия:   
r 0
r r0
     
подстановка
dt
0
dr
dt
- t w -
dr
u dt dr
умножение всех членов уравнения (*) на
2
r dr
22

23. Поле температуры в шаре с тепловыделением

tf
    
     
qv r C1
dt
2
dr
3 r
2
qv r
C1
t( r ) C2
6
r
23

24. Поле температуры в шаре с тепловыделением

из граничных условий      
C1 0
qv r0 1 r0
C2 t f
t r 0
3 2
Распределение температур в шаре:
2
qv r0 1 r0 qv r
t r t f
3 2 6
перепад температур в шаре
qv r02
t
6
плотность теплового потока 
на поверхности шара
dt
q -
dr
r0
qv r0
3
24

25. Перенос тепла в ребрах

Закон Ньютона-Рихмана
Q tw - t f F
Q
F
Увеличение поверхности теплообмена - оребрение
25

26. Перенос тепла в ребрах

1. Кипящая вода 1
2. Свободная конвекция в воздухе
1 2
2
полное термическое сопротивление
1 1
R
1 2
пренебрегаем
1
1 2 1
1
1
R
~
~
1 2
1 2
1 2 2
Полное термическое сопротивление имеет порядок большего 
термического сопротивления, там и делают оребрение 
26

27. Перенос тепла в ребрах

27

28. Перенос тепла в ребрах

Ребро в виде стержня (сечение F, периметр P, длина l ), 
который охлаждается конвекцией с постоянным 
коэффициентом теплообмена     , 
температура при основании стержня to
температура окружающей жидкости tf
28

29. Перенос тепла в ребрах

Через сечение х передается количество тепла
На длине dx отводится тепло конвекцией, 
изменение потока тепла
dt
Q - F
dx
dQ
d 2t
dQ
dx - 2 Fdx
dx
dx
По закону Ньютона-Рихмана
-
d 2t
dx
dQ t - t f Pdx
Fdx
t
t
Pdx
f
2
29

30. Перенос тепла в ребрах

Вводим переменную
t -tf
d 2
P
2
F
dx
Частное решение уравнения:
0 e
- mx
,
P
m
,
F
0 t0 - t f
Общее решение
x C1e
mx
C2 e
- mx
30

31. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
С1 и С2 определяются из Г.У., которые могут быть 
различными в зависимости от длины ребра и его формы.
t t0 0
при       x 0
Если 
длина 
стержня  d
0
больше  его  толщины,  то  отводом  тепла  с  торца 
dx x l
(Q') можно пренебречь                          
x 0 e
Число Био
     (Biot)      
- mx
x
mx 2 Bid


Bid
w
4F

P
эквивалентный 
диаметр
31

32. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
Тепловой поток через основание стержня
Q P F 0
К расчету переноса тепла вдоль стержневого ребра
32

33. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
Расчет переноса тепла через ребра приближенный.
Коэффициент теплообмена не является постоянной величиной,
толщина ребер может меняться, температура по сечению ребра
также не постоянна.
33

34. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
Коэффициент эффективности ребра  -  отношение 
теплового  потока  от  ребра  (   Q      )  к  тепловому  потоку  от 
идеального  ребра  с  бесконечно  большим  коэффициентом 
Qид                                 
теплопроводности (        ):
Q Qид
Допущение о бесконечно большой теплопроводности
приводит к выводу, что температура ребра по длине
будет постоянной
34

35. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
Коэффициент  эффективности  ребра  с  постоянным 
поперечным сечением и тепловой изоляцией на торце
th
BiL
BiL
L
w
L
BiL
1
w
комплекс, имеющий
P l2
L
- размерность длины
F
термическое сопротивление ребра
конвективное термическое сопротивление
Критерий Био
35

36. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
быстро снижается с ростом числа Bi.
Ребро с большим значением Bi рассеивает тепло хуже, чем ребро с
меньшим числом Bi
для ребер надо выбирать материал с высокой теплопроводностью
Если
мал, то поверхность без ребра будет отдавать тепло
более интенсивно, чем поверхность с ребрами.
При больших Bi кондуктивное термическое сопротивление велико
по сравнению с конвективным термическим сопротивлением, и
поэтому температура существенно падает вдоль ребра.
Если Bi велико, то площадь, занятая ребрами с малой теплопроводностью, "изолирует" поверхность отвода тепла.
Важно установить условия, когда выгодно иметь
ребристую поверхность
?
36

37. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
Условия, когда выгодно иметь ребристую поверхность
1. Оребрение выгодно, когда тепловой поток через ребро увеличивается с
возрастанием длины ребра.
2. Если тепловой поток падает
по длине ребра, то ребра
нужно делать короче или не
прибегать к оребрению вообще.
3. Для плоских ребер к оребрению
выгодно прибегать при условии
2 w
5
b
Коэффициент эффективности ребра постоянного сечения с
теплоизолированным торцом
37

38. Перенос тепла в ребрах

     
Перенос тепла в ребрах
Распределение температуры в плоском ребре
38

39. Учет зависимости теплопроводности от температуры

     
Учет зависимости теплопроводности от
температуры
плоская геометрия
Dt
cp
div gradt qv
d
t
0, W 0
переменная Кирхгофа
интегральная теплопроводность
t
(t ) (t ) dt
0
d
dt
(t ) -qv
dx
dx
39

40. Учет зависимости теплопроводности от температуры

     
Учет зависимости теплопроводности от
температуры
Т.к. производная от интеграла по верхнему пределу 
есть подинтегральная функция, т.е. 
d
d d dt
dt
(t )
dx
dt dx
dx
2
d
dx
2
dt
(t )
-qv
(t )
решаем относительно          , затем находим температуру
40

41. Учет зависимости теплопроводности от температуры (цилиндрическая геометрия)

     
Учет зависимости теплопроводности от
температуры (цилиндрическая геометрия)
уравнение теплопроводности для сплошного цилиндра 
r
                                                              (таблетка топлива радиусом R) 
dt
                                                              с переменным  
qv ( r ) 2 r dr - ( t ) 2 r
qv r
dr
                                                              тепловыделением
                    :
0
После интегрирования 
обеих частей уравнения  
                                          
в пределах от 0 до r :
Интегрирование в пределах 
от r до R :
r
dr
r
0
R
dr
r
r
r
t( r )
0
t( 0 )
qv ( r ) r dr - ( t )dt
r
t( r )
R
t( R )
qv ( r ) r dr ( t )dt
t( r )
Для постоянного 
тепловыделения:
qv ( R 2 - r 2 )
. ( t )dt
4
t( R )
41

42. Учет зависимости теплопроводности от температуры

     
Учет зависимости теплопроводности от
температуры
Перепад температур между поверхностью и центром топлива:
t( 0 )
qv R 2 qR ql
t 0 - t R ( t )dt
4
2
4
t( R )
.
qv R 2
4
Т пов
Т max
42

43. Учет зависимости теплопроводности от температуры

     
Учет зависимости теплопроводности от
температуры
1–
const ;
2-
var
2
1
a b t
a - b t
Плоская стенка
Топливная таблетка
43

44. Обмуровка трубопроводов

Хромитовая масса
Жароупорный бетон
Теплоизоляционный бетон
Газоплотная обмазка и штукатурка

45. Использование тепловой изоляции

q
tf1
(t f 1 - t f 2 )
q
1 w 1
1 w 2
1
2
tf 2
w
из
w
из
(t f 1 - t f 2 )
q
1 w из
1
1 w из 2
45

46. Критический диаметр тепловой изоляции

d 2
Q ql l q dl qv
l
4
1
линейный тепловой поток
2
(t f 1 - t f 2 )
ql
Rl
(t f 1 - t f 2 )
ql
1
1
d2
1
ln
1d1 2 d1 2 d 2
46

47. Критический диаметр тепловой изоляции

1
w
2
(t f 1 - t f 2 )
ql
d3
1
1
d2
1
1
ln
ln
1d1 2 w d1 2 из d 2 2 d 3
Rl1
Rl2
Rl3
Rl4
из
R Rl1 Rl 2 Rl 3 Rl 4
47

48. Критический диаметр тепловой изоляции

Условие экстремума
d ( R )
0
d (d 3 )
2 из
d кр
2
d3
1
1
d2
1
1
R
ln
ln
1d1 2 w d1 2 из d 2 2 d 3
R
Rl 4
Тепловые потери
1
q~
R
q
Rl
Rl 3
Rl 2
Rl1
d3
d1 d 2
d кр
48

49. Критический диаметр тепловой изоляции

Критический диаметр тепловой изоляции – условная величина,
соответствующая минимальному термическому сопротивлению трубы
с изоляцией.
Используется для проверки пригодности изолирующего материала
d кр d 2
Условие выбора:
Пример:
Нужно изолировать трубу 15 х 1 мм. Коэффициент теплообмена
снаружи 7 Вт/м2К.
d кр
Изолятор
, Вт/мК
Шлаковата
0,06
0,017
Стекловата
0,037
0,011
Асбест
0,11
ь
2 из
d кр
2
0,031
49
English     Русский Правила