Кручение тонкостенных профилей

1. КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ

Доцент кафедры
самолетостроения
к.т.н. Мухин Д.В.

2.

1. Депланация незамкнутого тонкостенного сечения
x
Рассмотрим тонкостенный стержень открытого
профиля с произвольной формой сечения. При
свободном кручении касательные напряжения
изменяются по толщине стенки δ по линейному
закону так, что в точках срединной поверхности
τ=0. Поэтому депланация средней линии
каждого поперечного сечения при свободном
кручении возникает без деформаций в
срединной поверхности стержня.
x
z
Наша задача — получить эти депланации в зависимости от угла закручивания φ(x).
Далее будем изображать лишь срединную поверхность стержня, а его поперечные
сечения — в виде средних линий, без указания толщины δ. Положение
произвольной точки М(x,s) в срединной поверхности зададим двумя координатами
x и s, причем дуга s отсчитывается от некоторой начальной точки М0, подлежащей
далее определению.
В точке М проведем плоскость, касательную к срединной поверхности, и
обозначим перемещения точки в этой плоскости w и v, где v — перемещение в
тангенциальном к контуру сечения направлении.

3.

На рис. показано, что в результате
поворота сечения и его депланации точка
М переместилась в положение М1 вместе с
элементом срединной поверхности dxxds.
Получим связь между перемещениями w и
v, для чего напишем условие отсутствия
угла сдвига элемента срединной
поверхности, выделенного в точке М:
tg 1 tg 2
dx
w
v
ds
dx
s
x
или
ds
dx
v
dx
x
w
ds
s
Знак минус поставлен потому, что приращение перемещения (dv/dz)dz направлено
в сторону, противоположную направлению отсчета координаты s.
После сокращения на ds и dx получим искомое соотношение:
w
v
s
x
Условие отсутствия сдвигов в срединной
поверхности
Примем гипотезу о том, что вдоль всего стержня установлены диафрагмы,
которые, не сопротивляясь депланации, обеспечивают при закручивании стержня
поворот каждого поперечного сечения как жесткого диска.
(гипотеза неизгибаемости контура поперечного сечения)

4.

На рисунке изображен поворот сечения на угол φ
относительно полюса или центра кручения А (он также
подлежит определению).Угол φ будем считать
положительным, если он направлен против хода часовой
стрелки при взгляде на сечение в положительном
направлении оси x.
Из рис. найдем полное перемещение точки М в плоскости
сечения ΜΜ1=ΑΜ ·φ и его тангенциальную составляющую
ν=ΜΜ1 ·cosβ=φ· AM· cos β. Но так как AM· cos β=r (высота,
опущенная из центра кручения на касательную к контуру v) то
искомое выражение ν от φ будет иметь вид:
v r
Подставляя в условие отсутствия сдвигов в срединной поверхности и обозначая
дифференцирование по координате x через (dφ/dx)=φ', получаем
w
r
s
M
Интегрируя данное выражение по дуге s, получим: w rds w0
M0
где w0 — перемещение начальной точки М0.

5.

Произведение r·ds=dω стоящее под знаком интеграла
геометрически представляет собой удвоенную площадь
элементарного треугольника с основанием ds, а весь
интеграл вдоль дуги s от М0 до М дает так называемую
секториальную площадь ω, т. е. площадь, покрываемую
радиусом точки при ее движении вдоль контура из
начальной точки М0 в рассматриваемую точку М.
z
Секториальная площадь ω>0, если радиус ρ вращается
против хода часовой стрелки (при взгляде на сечение в
положительном направлении оси x).В дальнейшем
примем, что w0=0, тогда формула окончательно примет
вид
закон изменения перемещения w вдоль
w контура сечения вследствие депланации
сечения в срединной поверхности.
Так как w пропорционально ω, то говорят, что в тонкостенном стержне
открытого профиля депланация происходит по закону
cекториальных площадей. Степень развития депланаций сечения
зависит от относительного угла закручивания φ'. С крутящим
моментом φ' связан соотношением изученным ранее. Между
положением точки на дуге s и площадью ω существует однозначное
соответствие. Поэтому секториальную площадь ω называют
секториальной координатой точки. Если ее линейные
координаты х и у имеют размерность [м], то размерность ω будет [м2].
x

6.

Пример 1: Построить эпюру ω и найти депланацию
x
для Ζ-образного сечения, если углы закручивания
стержня изменяются по закону φ=-θ·x.
Решение. Так как профиль симметричен, то центр
кручения будет располагаться по оси симметрии.
Проведем ось кручения х через точку А. Из
соображений симметрии так же будем считать, что
точки продольного волокна, совпадающего с осью
x, закреплены от продольных смещений (w=0).
Следовательно, точка M0 совпадает с точкой А и
располагается на оси x (в центре тяжести сечения).
При движении из M0 в точку 1 радиус AM лишь
удлиняется, не покрывая никакой площади.
Поэтому на участке M0 — 1 имеем ω=0. При
движении из точки 1 в точку 2 радиус AM
вращается против хода часовой стрелки, поэтому
ω>0. В точке 2 ω2=с2, а в промежуточных точках
она изменяется по линейному закону. То же будет для левого участка контура.
Эпюра ω изображена на рисунке.
Углы закручивания по длине стержня изменяются по закону φ=-θ·x .
Следовательно, относительный угол закручивания φ'=-θ. По формуле w
найдем w2=w4=θ·c2. Эпюра w изображена на рисунке.
Сравнение эпюр ω и w подтверждает вывод о том, что в стержнях открытого
профиля депланация совершается по закону секториальных площадей.

7.

2.Главные секториальные координаты
Из теории изгиба стержней известно, что использование в поперечном сечении
специально выбранной системы осей координат (y,z), которую мы назвали
главными центральными осями, существенно упрощает расчетные формулы и
создает большие удобства в изучении деформаций. Как мы увидим далее, то же
самое имеет место для стесненного кручения. Поэтому удобно здесь
распространить уже известные для координат х и у понятия и на новую
секториальную координату ω.
Составим таблицу, симметричную относительно главной диагонали, которую
назовем «матрицей моментов инерции»:
Jz
J J zy
J z
J z
J y J y
J y J
Здесь внедиагональные элементы матрицы J представляют интегралы от
произведения координат, а элементы на главной диагонали — интегралы от их
квадратов:
J yz
J zy zydA; J z z dA; J y y dA;
A
A
A
J z z 2 dA; J y y 2 dA; J 2 dA;
A
A
A

8.

Новые моменты инерции включающие новую секториальную координату ω и
имеют следующие названия и размерность:
Jzω —секториально-линейные моменты инерции площади сечения, м5;
Jω — секториальный момент инерции сечения, м6.
Координаты называются главными, если в матрице моментов инерции J все
внедиагональные элементы равны нулю.
Следовательно, главные секториальные координаты должны быть подчинены
условиям:
J z z dA 0; J y y dA 0;
A
A
Кроме того, по аналогии с понятием центральных осей, которые проходят через
центр масс, в котором, в свою очередь, статические моменты равны нулю,
потребуем, чтобы эпюра ω обращала аналогичный интеграл в ноль:
S dA 0
A
Координаты ω, удовлетворяющие данным равенствам, называют главными
секториальными координатами сечения.

9.

Механический смысл равенств, входящих в определение главных секториальных
координат сечения легко понять, если условно принять, что эпюра ω — это эпюра
нормальных напряжений (σx=с1·ω). Тогда ясно, что два первых равенства
выражают условие того, что при кручении в сечении отсутствуют изгибающие
моменты Му=0, Мz=0, а последнее равенство — того, что отсутствует продольная
сила N=0. Можно сказать, что эпюра главных секториальных координат в
статическом отношении — это самоуравновешенная эпюра ω.

10.

3. Техника определения главных секториальных
координат
Преобразование секториальной координаты при изменении положения
полюса.
На рисунке изображены приращения секториальной
площади dωΒ>0 и dωA>0 получаемые при переходе
из точки М контура в точку М1 на длину пути ds. При
этом координаты точки М изменяются на dy и -dz. Из
чертежа имеем dωB=rB·ds и dωΑ = rA·ds, а их разность
d B A rB rA ds rds
Так как r z cos y sin , а cos
sin
dy
и
ds
dz
подставляя эти значения получим
ds
dy
d B A z y dz ds
ds
d B A z dy y dz
Интегрируя получаем:
A B z y y z C

11.

Техника определения главных секториальных координат.
Для выполнения трех равенств можно распоряжаться тремя параметрами, от
которых зависит ω: две координаты центра кручения и одна координата начальной
точки М0 на дуге контура сечения.
Для определения координат истинного
центра кручения А зададимся вначале
αy
произвольной точкой В, пользуясь которой,
как центром кручения при произвольном
начале отсчета М1 построим эпюру ωΒ.
αz
Пусть αy и αz —координаты точки А по
z
отношению к точке В. Ранее показано, что
ωΑ и ωВ связаны равенством
z
A B z y y z C
где С — произвольная постоянная.
Подставляя выражения для ωA в условия равенства линейно-секториальных
момента нулю, придем к системе уравнений относительно αy и αz:
J y z A dA z B z y y z C dA 0
A
A A
J z A y A dA y B z y y z C dA 0
A
A

12.

Раскрывая скобки и учитывая, что интеграл суммы равен сумме интегралов
z B dA z z y dA y z 2 dA C z dA 0
A
A
A
A
2
y B dA z y dA y y z dA C y dA 0
A
A
A
A
Интегралы представляют собой рассмотренные ранее моменты
J y B z J zy y J y CS y 0
J z В z J z y J zy CS z 0
Так как у,z — это главные центральные оси сечения, то Jyz=0, Sz= 0, Sy= 0.
J y B y J y 0
J z В z J z 0
Решая имеем формулы для координат точки А:
y
J y B
Jy
z
A
B
dA
2
z
dA
A
; z
J z B
Jz
y
A
B
dA
2
y
dA
A

13.

Для нахождения положения точки М0 построим эпюру ωА
при найденном центре кручения А и произвольном
начале отсчета М1. Из рис. можно видеть, что ωΑ и ω,
найденные для истинной точки М0, отличаются на
некоторую постоянную D:
A D
Подставив данное выражение в условие равенство нулю
статического момента, получим
S dA A D dA S A DA 0
A
A
отсюда
D
S A
A
A
A
dA
dA
A
Вычитая D из ординат эпюры ωА, получаем эпюру главных секториальных
координат. При этом может образоваться не одна нулевая точка. Любая из ниx
может быть принята в качестве М0.

14.

Пример 2: Построить эпюру главных
секториальных координат для Ζ-образного
сечения, рассмотренного в примере 1.
Решение: Построенную в этом примере эпюру
ω обозначим ωА и проверим, удовлетворяет
ли она условию равенства нулю линейносекториальных моментов. Для этого на
рисунке изображена для главных
центральных осей сечения (у,z) эпюра z. Из
сопоставления ее с эпюрой ωА видно, что для
каждой точки лежащей на отрезках A-1 и А-3
произведение z·ωА=0, а для каждой точки, лежащей на отрезке 3-4, найдется
симметричная точка, лежащая на отрезке 1-2 у которых произведения z·ωАбудут
равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно
J y A z A dA 0
A
Отсюда получаем, что
y
J y A
Jy
z
A
A
dA
z dA
2
0
A
Аналогично получим αz=0 и отсюда заключаем, что принятая в примере 1 точка А
является истинным центром кручения.

15.

Найдем теперь константу D по формуле
D
S A
A
bi
A
dA
A
A
i
A
i ds
0
b
i
i
i
bi
i A ds
i
0
b
i
i
1
2 c c2
c2
2
4 c
4
i
Здесь интеграл по площади заменен суммой интегралов по дуге контура, а
интегралы под знаком суммы вычислены как площади эпюры ωΑ на участках
контура bi. Вычитая константу D из ординат ωΑ получим главные секториальные
координаты ω.
На рисунке, кроме того, изображена эпюра депланаций w согласно эпюре ω.
Сравнивая их с депланациями, найденными в примере 1, видим, что они
отличаются в данном случае лишь на константу. Это говорит о том, что для
свободного кручения переход от неглавных к главным секториальным координатам
означает лишь изменение положения плоскости, от которой отсчитываются
депланации данного сечения.

16.

Пример 3. Построить эпюры ω и
депланаций w, определить положение
центра кручения для швеллера.
Решение: Ввиду наличия у сечения оси
симметрии точки M0 и А находятся на
этой оси. Определению подлежит
координата αz центра кручения А,
отсчитываемая от точки В, которую мы
совместим с точкой M0. Построим
эпюры величин у и ωB, входящих в
интегралы в формуле для расчета αz
y
z
и выведем аналитические зависимости для этих величин:
h
h
h b
На верхней полке: y , B s
2
2
2
s – продольная координата по
h
h
h b
На нижней полке: y , B s
которой будет проводиться
2
2
2
интегрирование
На вертикальной стенке: y s, B 0
Входящие в формулу для αz интегралы по площади заменяем интегралами по
bi
3
дуге.
J z B y B dA i y B ds
A
i 1
0
h h
h b
h h
h b
h2 b2
s
ds s
ds ст 0 ds
2
2
2
2
2
2
4
0
0
h 2
b
b
h2

17.

Аналогично получим
3
bi
i 1
0
y
J z y dA i y 2 ds
2
A
2
z
2
h
h
ds ds
2
2
0
0
b
b
h2
s
ст
ds
2
h 2
h 2 b ст h 3
2
12
после чего найдем
z
J z B
Jz
h2 b2
3 b
4
h 2 b ст h 3 6 h ст
b
2
12
Введем обозначения Аст h ст , Aпол b
z
J z B
Jz
h2 b2
3 b
4
h 2 b ст h 3 6 Aст
Aпол
2
12
Эпюра ω и подобная ей эпюра депланаций w=-φ'ω показаны на рисунке.