Отделение корней
Метод половинного деления (метод дихотомии)
Метод Ньютона (метод касательных)
Метод хорд (метод секущих)
Метод простых итераций
Задача численного интегрирования
Метод прямоугольников
Метод трапеций
Метод Симпсона (метод парабол)
705.83K
Категория: МатематикаМатематика

Численные методы

1.

Численные методы

2.

│x – xпр │< ε
Величину ε также называют допустимой ошибкой,
которую можно задать по своему усмотрению.
Задача решения нелинейного уравнения состоит из
двух этапов:
• локализация корней, т.е. определение интервала
изоляции (интервала неопределенности), в котором
расположен корень;
• определение с заданной точностью точности ε
приближенного значения корня.

3. Отделение корней

Отделение корней можно проводить графически и
аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни
уравнения, необходимо построить график функции
f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox
являются действительными корнями уравнения.

4.

Аналитическое отделение корней основано на
следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x)
принимает на концах отрезка [a; b] значения разных
знаков, т.е.
то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один
корень уравнения.
Теорема 2. Если непрерывная на отрезке [a; b]
функция f(x) принимает на концах отрезка значения
разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак
внутри указанного отрезка, то внутри отрезка
существует единственный корень уравнения f(x) = 0.

5. Метод половинного деления (метод дихотомии)

Выбор начального приближения состоит в том, чтобы
задать границы xmin и xmax конечного интервала
значений x, в котором находится корень уравнения
(только один корень уравнения для случая нескольких
корней). Поскольку действительное положение корня
уравнения внутри интервала неизвестно, примем в
качестве начального приближения точку,
соответствующую середине интервала
x0=0,5(xmin + xmax).

6.

7.

Условие остановки итерационного процесса
может быть сформулировано несколькими
способами:
• n = nmax, где nmax - заранее установленное
максимальное число шагов итерационного
процесса. Это условие может применяться
при ограниченных ресурсах времени на
решение;
• (xmax – xmin) < ε , где ε - требуемая точность
вычисления корня уравнения определяется,
исходя из условий дальнейшего
практического использования полученного
решения.

8. Метод Ньютона (метод касательных)

Графическая интерпретация метода.

9.

В общем случае вычислительный процесс метода
Ньютона выражается формулой:

10. Метод хорд (метод секущих)

Геометрическая интерпретация метода хорд

11.

Положим y = 0 и найдем значение х = х1 (очередное
приближение):
Повторим процесс вычислений для получения
очередного приближения к корню - х2:

12.

В случае
будет иметь вид
расчетная формула метода хорд
Эта формула справедлива, когда за неподвижную
точку принимается точка b, а в качестве начального
приближения выступает точка a.

13.

когда

14.

Уравнение прямой для этого случая имеет вид
Очередное приближение х1 при y = 0
Тогда формула метода хорд для этого случая имеет вид

15. Метод простых итераций

Для реализации этого метода исходное уравнение
f(x)=0 предварительно преобразуется к виду x=ϕ(x).
Обычно это можно осуществить несколькими
способами. Выбрав начальное приближение x0
(реализуют следующий итерационный процесс:
x1=ϕ(x0) ,x2=ϕ(x1), и т.д.

16.

Ход итерационного процесса удобно представить
графически.
xn+1 – xn < ε

17. Задача численного интегрирования

В ряде задач возникает необходимость вычисления
определенного интеграла от некоторой функции:
где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на
отрезке [a, b].
Геометрический смысл интеграла заключается в том, что
если f(x)>0 на отрезке [a, b], то интеграл
численно равен площади фигуры, ограниченной
графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс,
прямой x=a и прямой x=b.

18.

Вычисление интеграла равносильно вычислению
площади криволинейной трапеции.
Задача численного интегрирования состоит в замене
исходной подынтегральной функции некоторой
аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).

19.

Численное интегрирование применяется, когда:
• сама подынтегральная функция не задана
аналитически, а например, представлена в виде
таблицы значений;
• аналитическое представление подынтегральной
функции известно, но её первообразная не выражается
через аналитические функции.
Способы численного вычисления определенных
интегралов основаны на замене интеграла конечной
суммой:
где Сj– числовые коэффициенты, выбор которых
зависит от выбранного метода численного
интегрирования,

20.

хj– узлы интегрирования
Выражение называют квадратурной формулой.
Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, то есть
на N элементарных отрезков. Длина каждого
элементарного отрезка:
Тогда значение интеграла можно представить в виде:
Из этого выражения видно, что для численного
интегрирования на отрезке [a, b] достаточно построить
квадратурную формулу на каждом частичном отрезке

21.

Погрешность квадратурной формулы
определяется выражением:
и зависит от выбора коэффициентов Сj и от
расположения узлов хj

22. Метод прямоугольников

Графически метод средних прямоугольников
представлен
Длина каждой части
b a
h
n
Тогда границы элементарных отрезков xi =a + i·h, а
значения функции в этих точках fi = f(xi), где i = 0, 1, …, n.

23.

b
n 1
f ( x)dx h f ( x
a
i 0
i 1 / 2
)

24. Метод трапеций

Графически метод трапеций
f1 f 0
y f0
x
h
f1 f 0
h
0 y( x )dx 0 (f 0 h x )dx 2 f 0 f1
h
h

25.

формула трапеций имеет вид f ( x )dx h * (f 0 f1 )
2
0
b a
h
Тогда границы элементарных отрезков xi =a +
n
i*h, а значения функции в этих точках fi = f(xi),
где i= 0, 1, …, n.
h
xi 1
Для отрезка [xi, xi+1] длины h
f ( x)dx h ( f
i
f i 1 )
xi
Суммируя левую и правую части этого соотношения от
i=0 до i=n-1
f0
f 0 f n n 1
fn
fi )
a f ( x )dx h ( 2 f1 f 2 f 3 ... f n 1 2 ) h ( 2
i 1
b

26. Метод Симпсона (метод парабол)

Графическое представление метода Симпсона

27.

Указанная парабола задается уравнением
f 1 2 f 0 f1 2
f1 f 1
y f0
x
x
2
2h
2h
h
h
h y( x)dx 3 ( f 1 4 f 0 f1 )
b a
h
2 n
h
h
h f ( x)dx 3 ( f 1 4 f 0 f1 )
Тогда границы элементарных отрезков xi a i h
а значения функции в этих точках fi f ( xi ) , где i 0,1,..,2 n
Перепишем каноническую квадратурную формулу
Симпсона применительно к отрезку x2i , x2i 2
длины 2·h

28.

x2 i 2
x2 i
h
f ( x)dx ( f 2i 4 f 2i 1 f 2i 21 )
3
Суммируя левую и правую части этого соотношения от
i 0 до i n 1, получаем усложненную квадратурную
формулу Симпсона
b
a
N
N 1
h
h
f ( x)dx ( f 0 4 f1 2 f 2 4 f 3 ... 4 f 2 N 1 f 2 N ) ( f 0 f 2 N 4 f 2i 1 2 f 2i )
3
3
i 1
i 1

29.

30.

1. Общие сведения. Классы
электромеханических приборов,
измеряющих напряжение и силу тока.
Цифровые вольтметры.
2. Универсальные осциллографы. Техника
осциллографирования непрерывных и
импульсных сигналов.
3. Цифровые и аналоговые методы
измерения частоты и интервалов времени.
English     Русский Правила