Нестационарные процессы теплопроводности

1.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1

2.

Нестационарный : температура конструктивных элементов
процесс
меняется во времени (пуск, остановка,
аварийные ситуации).
Две группы нестационарных процессов теплопроводности:
Тело стремится к тепловому равновесию с
окружающей средой при нагревании (охлаждении) тела;
1.
2

3.

Температура тела претерпевает регулярные
периодические изменения (температурные волны).
2.
3

4. Уравнение нестационарной теплопроводности

qv
Dt
2
a t
d
c p
qv
t
2
W grad t a t
cp
Одномерное
дифференциальное
уравнение
нестационарной
теплопроводности
2
t
t
a 2
x
4

5. Уравнение нестационарной теплопроводности

Ищем
t x ,
Новая переменная:
2
a 2
x
t f t x,
t x, t f
нагрев тела
охлаждение тела
t f – температура окружающей среды
Решение в общем виде:
x
2 a
безразмерная
переменная
x
x
x, Fun
x , 0 erf
2 a
2 a
5

6. Уравнение нестационарной теплопроводности

z
2
2
erf z
exp d
0
- интеграл ошибок
Гаусса (табулированная
функция ошибок)
erf 0 0
erf 1
6

7. Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением

Малое внутреннее термическое сопротивление
температура тела изменяется во времени,
но одинакова во всех точках тела
Дано:
Произвольное тело объемом V и поверхностью F c
начальной температурой tо , охлаждается в среде с
температурой tf
Баланс энергии для твердого тела:
dt
c V
t t f F
d
уменьшение
внутренней энергии тела
количество тепла,
отводимое от поверхности конвекцией
7

8. Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением

Решение уравнения
о tо t f
o e
F
c V
α F τ α F τ λw L a
2 Bi Fo
c ρ V
c ρ V λw w L
Число Био
(Biot)
o e
V
L
F
Число Фурье
(Fourier)
Bi Fo
8

9. Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением

Мгновенная плотность теплового потока от тела:
q éët t f ùû
Суммарное количество тепла, отданное телом за время
0
0
Q q d t о t f F e
Bi Fo
d
Если Bi < 0,1, то ошибка не превышает 5%.
9

10. Поле температур в полубесконечном массиве

дерево
бетон
металл
Температуры одинаковы:
пола - 20оС
ноги - 36оС
Ощущения разные
10

11. Поле температур в полубесконечном массиве

Полубесконечное тело – тело, ограниченное одной плоской
поверхностью. Температура тела вдали от этой поверхности
принимается неизменной.
2
t
t
a 2
x
.
.
Пусть тело имеет температуру
При
t x ,0 t o
x t , t o const
В начальный момент времени tпов меняется
скачком и далее остается неизменной
t 0, t пов const
t пов t x ,
x
erf
t пов t 0
2 a
решение уравнения
11

12. Поле температур в полубесконечном массиве

Плотность теплового потока на границе
dt
q x 0,
dx
или
x 0
q x 0,
b
c р
a
x 0
é x ù
t пов to erf
x ë 2 a û x 0
t пов to
a
b t пов to
теплопроницаемость
(теплоусвояемость)
показывает насколько велико количество тепла, воспринимаемое
(или теряемое) телом через один квадратный метр поверхности
при внезапном изменении температуры поверхности на 1 градус
12

13. Поле температур в полубесконечном массиве

Значения теплопроницаемости b cp
1
Вт с 2
м 2 К
Материал
b
Медь
36 000
Железо
15 000
Бетон
6 600
Вода
1 400
Песок
1 200
Дерево
400
Тепловая изоляция
5 - 200
Накипь
40
Газ
6
13

14. Поле температур в полубесконечном массиве

дерево
b
1
2
Вт
с
400
м К
2
бетон
сталь
6000
8000
q ~ b c p
14

15. Нестационарное поле температуры в пластине

*
2
a
2
х
начальная
температура
0
температура
жидкости
t tf
Начальные условия:
( 0) 0 t o t f
Граничные условия:
х 0
0
х
x
х
15

16. Нестационарное поле температуры в пластине

Решение уравнения как произведение двух функций:
( x, ) ( ) ( x)
Предполагаемое решение
подставляем в
После разделения переменных:
1 1
k 2 const
a
х
Решения:
2
( ) C exp k a
x C0 cos kx C0 sin kx
( x, ) C0 exp( ak 2 ) C0' cos(kx) C0" sin( kx)
С и k любые
16

17. Нестационарное поле температуры в пластине

1 Г.У.
C0 exp( ak 2 ) k C0' sin( k 0) C0" cos(k 0) 0
x x 0
''
2 Г.У.
x
C0 0
х
С0 C0' A
k A exp( ak ) sin( k ) A exp( ak 2 ) cos(k )
2
ctg (k )
k
Bi
k
Характеристическое уравнение
ctg ( )
Bi
- половина толщины пластины
17

18. Нестационарное поле температуры в пластине

Графическое решение
ctg ( )
y
характеристического уравнения
Bi y1 ctg ( ) 2 Bi
1 2 3 ... n
Частные решения
x
2 a
n An cos( n ) exp( n 2 )
1
2
Общее решение
x
2 a
An cos( n ) exp( n 2 )
n 1
18

19. Поля температуры в телах простой формы

a
2 n
r 2 r r
Общее уравнение для пластины,
цилиндра и шара
t tf
n=0 для пластины
n=1 для цилиндра,
n=2 для шара
Граничные условия:
r 0 (середина пластины, цилиндра, центр шара r 0
r R
(граничный размер)
r
19

20. Поля температуры в телах простой формы

Решение уравнения как произведение двух функций:
r
подставляем
Получаем два обычных дифференциальных уравнения:
n
1 1
k 2
a
r
Решения:
2
( ) C exp k a
Полное решение
уравнения
0 C0 cos kr C0 sin kr
1 C1 J 0 kr C1 Y0 kr
для n=0
для n=1
C2 sin kr C2 cos kr для n=2
2
kr
C exp k2a i kr
20

21. Поля температуры в телах простой формы

В безразмерном виде
Для пластины толщиной 2
n x
2
An cos
exp n Fo
0 n 1
2 sin n
An
n sin n cos n
n - корни трансцендентного уравнения ctg Bi
Fo a 2
Bi w
21

22. Поля температуры в телах простой формы

Для цилиндра радиусом R
An J 0 n R exp 2n Fo
0 n 1
2 J1 n
An 2 2
n J 0 n J12 n
n
-
корни уравнения J 1 J 0 Bi
Fo a R 2
Bi R w
22

23. Поля температуры в телах простой формы

Для шара радиусом R
r
sin
n
2
R
An
exp n Fo
r
0 n 1
n
R
sin n n cos n
An
n sin n cos n
n
-
корни уравнения
Fo a R 2
ctg 1 Bi
Bi R w
23

24. Поля температуры в телах простой формы

24

25. Поля температуры в телах простой формы

регулярные режимы
Терм.сопротивление стенки
w
Bi
w
1 Терм. сопротивление конвективного теплообмена
25

26. Регулярные тепловые режимы

Регулярный тепловой режим - нестационарный процесс
теплопроводности, когда поле безразмерной температуры
остается подобным себе во времени.
Температурное поле в телах разной формы: пластина,
цилиндр, шар при охлаждении в среде с постоянной
температурой и постоянным коэффициентом теплообмена :
2n Fo
A n Bi x, y, z, Bi e
o
n
Fo
a
2
L
L
Bi
w
t x, y , z , t f
t
o
tf
26

27. Регулярные тепловые режимы

Две стадии охлаждения тела:
Первая стадия характеризуется влиянием начального распределения
температуры в теле, когда скорость изменения температуры в разных
точках тела во времени различны (начальный период).
Вторая стадия начинается с момента
когда скорость охлаждения не зависит
от начальных условий и определяется
лишь условиям теплообмена на границе,
физическими свойствами тела, его
геометрией и размерами.
Поле температуры описывается первым членом ряда
m
A x , y, z e
о
m 12 a L2
27

28. Регулярные тепловые режимы

После логарифмирования:
ln G x, y, z m
После дифференцирования по времени
1
m
Величина m - темп охлаждения,
показывает, что относительная
скорость изменения
температуры не зависит ни от
времени, ни от координат и
является постоянной величиной.
ln 1 ln 2
m tg
2 1
28

29. Регулярные тепловые режимы

Виды регулярных тепловых режимов:
Экспоненциальный, при граничных условиях III рода,
описываемый соотношением
1 x, y, z e m
Линейный, при граничных условиях II рода,
описываемый соотношением
2 x , y, z m
Периодический - температурные волны.
29

30. Измерение свойств с помощью регулярных тепловых режимов

Тело с объёмом V, поверхностью F, обладающее высокой
теплопроводностью (Bi<0,1) охлаждается в потоке
жидкости. Распределение температуры близко к
равномерному
m
Средний коэффициент
теплообмена
о e
m
Измеряя темп охлаждения
Ограничения:
небольшие тела (
L ~ 10 2 м),
103
F
c р V
m c р V
F
Bi <1,
Вт/(м2К)
30

31. Измерение свойств с помощью регулярных тепловых режимов

Температуропроводность
2
1 a
m
Зная темп регулярного режима
a
m
2
2
1
Ограничения:
вещества с низкой теплопроводностью
<0,5 Вт/(м К), Bi>100).
31