2. КИНЕМАТИКА.
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (продолжение).
2. Кинематика точки (завершение).
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
3. Кинематика твердого тела (продолжение)
589.48K
Категория: ФизикаФизика

Кинематика

1. 2. КИНЕМАТИКА.

1. Предмет кинематики.
Кинематика изучает механическое движение без учета сил.
Кинематика разделяется на кинематику мочки и кинематику
твердого тела.
2. Кинематика точки.
2.1. Д в а с п о с о б а з а д а н и я д в и ж е н и я т о ч к и :
векторно-координатный и естественный.
При в е к т о р н о - к о о р д и н а т н о м способе задаются
либо три координаты точки для любого момента времени:
x=x(t), y=y(t), z=z(t),
(2.1)
либоy радиус-вектор точки,
r имеющий,
xi y j zкак
k , правило, начало в (2.2
начале системы координат:
)
где
i
,
j
,
k
единичные
орты
координатных
A
x
o
осей.
r
z

2. 2. Кинематика точки (продолжение).

При е с т е с т в е н н о м с п о с о б е задается закон движения
точки
S=S(t) и уравнение траектории f(x,y,z).
y
Движение точки считается
заданным, если можно в каждый
момент времени определить ее
положение на траектории.
S(t)
o
f(x,y,z)
z
x
2.2. С к о р о с т ь точки характеризует быстроту перемещения
точки в пространстве.
Средняя
с к о р о с т ь.
y
Средняя скорость (рис.2.1)
определяется выражением:
r
r (t )
r (t t )
j
z
k
i
Рис.2.1.
vср
r
.
t
x
Слайд 25

3. 2. Кинематика точки (продолжение).

М г н о в е н н а я с к о р о с т ь (или просто с к о р о с т ь).
Чаще всего определяют мгновенную скорость в данный момент
времени:
r
v lim
t
t 0
d r dx
dy
dz
i
j k.
dt dt
dt
dt
(2.3
)
Обозначим проекции вектора скорости на координатные оси:
x
vx x ,
t
y
vy y ,
t
vz z
z
.
t
(2.4
)
С учетом этих обозначений формула (2.3) примет вид:
v vx i v y j vz k .
(2.5)
Модуль скорости
v vx2 v y2 vz2 .
(2.6
)
Слайд 26

4. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.3. У с к о р е н и е точки – это скорость изменения скорости.
Среднее
v
.
ускорение аср
t
М г н о в е н н о е ускорение
dv d 2 r d 2x
d2y
d 2z
а
2 2 i 2 j 2 k ax i a y j az k ,
dt dt
dt
dt
dt
(2.7)
где проекции ускорения на координатные оси:
2
d x
ax x 2 ,
dt
d2y
ay y 2 ,
dt
М о д у л ь ускорения (п о л н о е
a ax2 a y2 a z2 .
d 2z
az z 2 .
dt
(2.8)
ускорение):
(2.9
)
Ускорение также разделяется на касательное и нормальное.
Слайд 27

5. 2. Кинематика точки (продолжение).

Определение к а с а т е л ь н о г о и н о р м а л ь н о г о
ускорений.
Пусть т.М движется по криволинейной
d
траектории. При этом изменяется и величина и
n
направление скорости.
/
a n о dS
M
о
M
a v
/
v
Рис.2.2.
n
/
d
M
v
dv
d vn
v d v
Величину скорости изменяет касательное
an
ускорение
,
a
а направление нормальное ускорение
- рис.2.2
d v
и 2.3. Обозначим приращение
скорости по d vn .
dv
d vn
касательной
2
2
Тогда a ,к aan
. a an a . (2.10
траектории вdtт.М через dt , а по нормали n )через
d v d vn (
Рассмотрим только приращение
=0).
В этом
d v
dv и
d
случае
=0 ,
dv =
d2S
(2.11
a
2 .
)
dt
dt
Рис.2.3.
d vn
d v (
Рассмотрим теперь только приращение
=0). Из
dS
рис.2.3 следует:
d
. C учетом этих выражений
dvn vd , а из рис.2.2:
формула
2
v
(2.10) дляa n
примет an .
(2.12 Слайд28

6. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.4. П р о с т ы е ф о р м ы
движения точки.
а). П р я м о л и н е й н о е движение:
= ,
dv
аn 0, a а
.
dt
б). Р а в н о м е р н о е движение:
v const ,
в). Р а в н о м е р н о е
а 0,
v2
an .
п р я м о л и н е й н о е движение:
, v const , аn 0, а 0.
г). Р а в н о п е р е м е н н о е движение (за равные промежутки
времени скорости изменяются на равные величины):
dv
dv a dt ;
a
const
t
dt
v v v0 dv a t v v0 a t ;
0
dS
v
dS vdt v0 a t dt ;
dt t
t
a t 2
S dS v0 a t dt v0t
.
2
0
0
Слайд 29

7. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.5. С л о ж н о е д в и ж е н и е т о ч к и.
2.5.1. Понятие о сложном движении точки.
При сложном движении точка одновременно участвует в
нескольких движениях. Например, человек идет по
движущемуся поезду. Поезд можно рассматривать как
подвижную систему координат, а движение человека (примем
его за материальную точку М) относительно поезда –
отно
с и т е л ь н ы м движением. Движение поезда относительно
земли (примем ее за неподвижную) назовем п е р е н о с н ы м
движением относительно неподвижной системы координат.
Таким образом,
т. М одновременно
участвует и в
vпер
vотн
аотн
относительном
движении (имеет
и
) и в переносном
апер
движении (имеет
и
).
Движение, совершаемое т. М по отношению к неподвижной
системе отсчета – это а б с оv л ю тан о
е (или сложное)
абс
абс .
движение. Соответственно в абсолютном движении у т. М:
и
Слайд 30

8. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.5. С л о ж н о е д в и ж е н и е т о ч к и (продолжение).
2.5.2. С л о ж е н и е с к о р о с т е й.
y1
y
vабс
vотн
М
о
z
z1
Рис.2.4.
2.5.3. С л о ж е н и е
аабс
xyz – подвижная система
координат, в которой точка М
vпер
совершает относительное
x1 y1 z1 неподвижная
система
движение
(рис.2.4).
x
координат, относительно
которой подвижная система
совершает переносное
x1
движение. Поскольку
относительная и переносная
скорости не влияют друг на
друга, то они складываются
vабс vотн vпер .
(2.13
геометрически:
)
ускорений.
d vабс d vпер d vотн
.
dt
dt
dt
(2.14
)
Слайд 31

9. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.5.3. С л о ж е н и е
у с к о р е н и й (продолжение).
Скорости изменяются и в переносном и в относительном
движениях. Условимся изменение скорости в относительном
движении отмечать индексом «1», а в переносном – индексом «2».
Формула (2.14) примет
(d vпер )1вид:d vпер 2 (d vотн )1 d vотн 2
(2.15
аабс
.
dt
dt
dt
dt
)
В этой формуле:
аотн
апер
(d vотн )1
dt
dv
акор
пер 2
dt
(d vпер )1
dt
- относительное ускорение; (2.16
)
- переносное ускорение;
dv
отн 2
- кориолисово ускорение.
(2.17)
(2.18)
dt
Кориолисово ускорение характеризует изменение
относительной скорости при переносном движении и изменение
переносной скорости в относительном движении. Таким
образом:
(2.19)
аабс аотн апер акор .
Слайд 32

10. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.5.4. Вывод р а б о ч е й ф о р м у л ы адля
кор .
d v
y1
Найдем сначала
отн 2
dt
. Пусть, т.М движется в
относительном движении по кривой
d vотн 2
В
В1 АВ в подвижной системе координат
xyz. В общем случае переносное
vотн
d пер
x1 y1 z1
кривой АВ в неподвижной
vотн1 движение
системе координат
d
о
пер
складывается из поступательного
Мо
М1
А
1
А
дви-жения и вращательного
х
пер некоторого полюса с
относительно
х
x1 переносной угловой скоростью
z пер z
пер угловой
- рис. 2.5. Приращение
z1
Рис. 2.5.
d пер первdtпереносном
, приращение
скорости
движении
d vотн 2
будетdv
только
за
счет
. dt ,
будет
v
d
v
пер
отн 2
отн
пер
отн пер
vотн
Поскольку
у
у
пер
Рис. 2.6.
d v
отн 2
dt
откуда
.
dvотн 2
dt
vотн пер .
Переходим к векторному обозначениюрис.2.6:
d vотн 2
(2.20)
пер vотн .
dt
Cлайд 33

11. 2. Кинематика точки (продолжение).

2.5.4. Вывод р а б о ч е й ф о р м у л ы адля
кор
dv
Найдем теперь пер 1 .
dt
y1
'
пер
z
v
r'
o
Точка М в относительном
движении (в системе координат
xyz) переходит
M'
d v
M'
пер 1
vпер
r
y
в положение
dr v
отн
dr vотн dt
M
vпер
x
z1
(продолжение).
x1
Рис. 2.7.
Приращение переносной скорости
d v
пер
, пройдя
путь
.
dt
Линейная скорость
vo движения
переносного
угловая .
В т.М:
vпер v o r ,
,
M ':
а в т.
'
vпер
vo r d r .
'
v
пер vпер vo r d r vo r d r vотн dt ,
1
откуда
d v
С учетом (2.18) и (2.20):
пер 1
dt
vотн .
aкор 2 пер vотн .
(2.21)
(2.22)
Слайд 34

12. 2. Кинематика точки (завершение).

пер
Таким образом, получена рабочая формула
(2.22) для расчета кориолисова ускорения.
Если пер
aкор
=0, то
aкор
=0.
aкор 2 vотн sin ,
Модуль кориолисова ускорения
где
vотн
vотн и
- угол между векторами
.
3. Кинематика твердого тела.
3.1. П р о с т е й ш и е д в и ж е н и я т в е р д о го т е л а.
3.1.1. Поступательное движение.
При поступательном движении тела достаточно знать
движение любой одной
vi const , ai const.
точки тела, поскольку
Частным случаем поступательного движения является равномерное
ai 0.
поступательное движение. В этом случае
Слайд 35

13. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.1.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
y
Закон движения (рис.2.8):
(t ).
d
Угловая скорость:
.
dt
2
d
Угловое ускорение: d
.
dt 2
dt
x
z
Рис.2.8
.
d
M1
r M
Рис.2.9.
Найдем линейную скорость
v
(рис.2.9).
dS
v
a
и ускорение
dS rd
r .
dt
dt
В векторной форме:v r.
v
Слайд 36

14. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.1.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
(продолжение).
a a
v.
На рис.2.10 показана эпюра скоростей
an
a
Полное линейное ускорение
касательное
a
S
r
a
a
:
v2
an
2 r.
r
Пример.
x 100t (см); r
Уравнение движения гири
Найти ускорение т.В.
Решение.
2
2
. a B
n
10см.
x 100t
S x r
.
r
r
2
d
d
20t (c 1 ); 2 20(c 2 ).
dt
x
Рис.2.11
и нормальное
an
d v d 2S
a
2 r.
dt
dt
Эпюраv
Рис. 2.10.
разложено на
dt
см
см
2
2
;
a
r
200
;
a
a
a
B
n
.
2
2
с
с
Слайд 37
an 2 r 4000t 2

15. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.2. П л о с к о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е т в е р д о г о
т е л а. 3.2.1. Основные понятия.
При плоскопараллельном (плоском)
движении все точки тела перемещаются
параллельно неко-торой фиксированной
у
плоскости П. Достаточно изучить движение
любого сечения, параллельно-го пл. П.
Плоское движение полностью характерих
зуется положением произвольного отрезка
АВ в этом сечении (рис. 2.12).
П
Движение отрезка АВ можно разложить
у
уА
В
А1
В1
А
на пос-тупательное движение полюса А
(произвольная точка на этом отрезке) и
вращательное движе-ние вокруг этого
полюса. Таким образом, движе-ние тела
x Aопределяется
f1 t ; y A fфункциями:
2 t ; f 3 t ,
полностью
В
2
А2
хА
Рис. 2.12.
х
т.е. надо знать v A , a A , , .
За полюс принимается точка, скорость
которой либо известна, либо ее легко
найти.
Слайд 38

16. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.2. П л о с к о п а р а л л е л ь н о е
ела
(п р о д о л ж е н и е).
движение твердого т
Покажем, что вращательное движение не зависит от выбора
полюса, поэтому в качестве полюса можно выбрать любую точку.
y
t
C
A
Положение фигуры (рис.2.13) можно
определить и отрезком АВ и
отрезком
v v , a СD.
a , т. к. иначе движение
D
c
1 t
B
t
x
Рис.2.13.
A
c
A
было бы поступательным.
1 , const , поэтому
d d 1 d 2 d 2 1
,
2 , т. е. угловые
dt
dt dt 2
dt
скорости и ускорения плоской фигуры
при изменении полюса (А или С) не
изменяются.
Таким образом, поступательное движение зависит от выбора
полюса, а вращательное не зависит.
Слайд 39

17. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.2. П л о с к о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е т в е р д о г
о тела
(п р о д о л ж е н и е).
3.2.2. Определение скоростей точек плоской фигуры (рис. 2.14).

vМA
М

vA
о
vA
А – полюс,
vМ v А vMA .
vMA AM .
Рис.2.1
4.
3.2.3. Мгновенный
центр скоростей (м.ц.с.).
М.ц.с. – это точка, в которой в данный момент времени

скорость равна нулю. Если тело имеет вращательное

A
движение, то такая точка существует и она
о
единственная, т.к. в противном случае в различных
vВ точках тела направление скоростей было бы неопрео
Р
деленным. Для определения м.ц.с. (т.Р – рис.2.15) надо
знать скорости двух точек тела, провести к ним
Рис.2.1
и на их пересечении будет м.ц.с. Р.
5. vВ
vперпендикуляры
А
Если скорости в двух точках параллельны, то
положение м.ц.с. находится, как показано на
о
о
A
Ро
B
Слайд 40
Рис.2.16. рис.2.16.

18. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

. 3.2. П л о с к о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е т в е р д о
го тела
(п р о д о л ж е н и е).
3.2.2 Определение скоростей точек плоской фигуры
(продолжение).
Пример.
ОА - кривошип,
Ро
В – ползун,
A
10с 1 ,
о
120о
Оо
ОА=0,1 м.

60

о
Найти vВ
о
B
Решение.
Находим м. ц. с. Р. АВ
Угол РАВ равен60.о

vB
BP
vB v A
. v A OA 10 0,1 1 м .
с
AP BP
AP
BP
tg 60o 1,73.
AP
vB 1 1,73 1,73 м .
с
Слайд 41

19. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.2. П л о с к о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е т в е р д о г
о тела
(п р о д о л ж е н и е).
3.2.3. Определение ускорений точек плоской фигуры
(рис.2.17).
А – полюс,
а МА
аА
аM
аMA
оМ
аM а А аМА .
n
аMА аМА
a MA .
n
аМА
аА
о
A
Рис. 2 17.
Слайд 42

20. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.2.3 Определение ускорений точек плоской фигуры (продолжение).
Пример
r

О
vO
aO
о2
о
1
a
Т .1
о
оТ .2
2
a
Т .3о
n
3
a
Т .4о
,
r 0,5 м.
Найти ускорения точек 1,2,3,4.
Решение
a
3
vo
1
1 o
6c 2 .
2c ,
Т.1 – м.ц.с.
r 0,5
r 0,5
aion 2 r 2 м с 2 .
io
ai аo a a , где
n
2
с
2
Примем за полюс т.О, тогда
n
io
a1
аo 3 м
vo 1 м ,
с
о3
a1n
a1
aO
aO
3
аo a
a 4
аo a4n
a2
a3
a4
a
o
a1
a
2
n 2
1
a a a
a a a
o
n 2
2
2
2
o
2
3
n 2
3
a
o
a
a1n 2 м с 2 .
a
n 2
4
aio r 3 м с 2 .
3 2 2 32
3,16 м с 2 .
6,32 м с 2 .
2
4
5,83 м с 2 .
Слайд 43

21. 3. Кинематика твердого тела (продолжение)

3.2. П л о с к о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е т в е р д о г о
тела
(п р о д о л ж е н и е).
3.2.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
Проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую
эти точки, равны.
ПосколькуvBA
vB
vBA
vA

Пример 1.
Пример
2.
v A cos vB cos .
vA
B
Рис.2.18
.

r
о
о
vB
Дано: ,
B
о
30о
r.
vB .
Найти
v B v А r .
о

АВ, то
о

Известно v А
cos 30o
v А cos 30 vB cos 60 vB v A
.
o
cos 60
о
vB
, найтиvB.
o
Слайд 44
English     Русский Правила