Первообразная функции и неопределенный интеграл

1.

F ( x) f ( x)

2.

4
x
F ( x)
4
f ( x) x
x
3
x
4
4
4
x
1;
4
4
4
x
x
2 ; ...
const
4
4
3

3.

( F ( x) C ) F ( x) f ( x)

4.

F (x)

5.

F2 ( x) F1 ( x) C

6.

f ( x)dx F ( x) C

7.

4
x
x dx 4 C
3

8.

f ( x)dx f ( x)

9.

d
f ( x)dx f ( x)dx

10.

dF
(
x
)
F
(
x
)
C

11.

k f ( x)dx k f ( x)dx

12.

( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx

13.

x n 1
1) x dx
c
n 1
dx
2)
ln[ x ] c
x
ax
x
3) a dx
c
ln a
n
( n 1)
4) e x dx e x c
5) sin x dx cos x c
6) cos x dx sin x c
7) tg x dx ln cos x c
8) ctg x dx ln sin x c
9)
dx
x
ln tg c
sin x
2
dx
x π
ln tg c
cos x
2 4
dx
11)
ctg x c
sin 2 x
10)
dx
tgx c
cos2 x
dx
13)
arcsin x c
2
1 x
dx
x
14)
arcsin
c
2
2
a
a x
dx
15)
arctgx c
2
1 x
dx
1
x
16) 2
arctg
c
a x2 a
a
dx
1
a x
17 ) 2
ln
c
2
a x
2a
a x
12)
Дополнения:
dx
1
c (n 1)
n
x
(n 1) x n 1
dx
2)
2 x c
x
dx
1
3) 2 c
x
2x
1)
dx
dx
1
a x
ln
x 2 a 2 a 2 x 2 2a a x c
dx
2
2
18)
ln
x
x
a
x2 a2

14.

15.

(2 sin x 6 3x
2
)dx

16.

(
2
sin
x
6
3
x
)
dx
2
2 sin xdx 6dx 3x dx
2
2 sin xdx 6 dx 3 x dx
2
2 cos x 6 x x C
3

17.

3x x x 2
dx
2
x
4
3

18.

3x 4 x 3 x 2
dx
2
x
1
1
2
3 x x 2 2 dx
x
x
1
1
3 x dx xdx dx 2 2 dx
x
x
2
2
x
2
3
x
ln x C
2
x

19.

2
2 x
x 2 1 sin 2 dx

20.

2
2 x
x 2 1 sin 2 dx
1
2 x
2 2
dx sin
dx
x 1
2
1
2arctgx (1 cos x)dx
2
1
1
2arctgx x sin x C
2
2

21.

f ( x)dx f ( (t )) (t )dt

22.

f ( x)dx f ( x)dx
t
x
xt f ( x) (t )
f ( (t)) (t)dt
t
f ( (t )) (t ) f ( x) (t )

23.

f ( x)dx f ( (t )) (t )dt

24.

25.

x( x 1)
12
dx

26.

x 1 t
x( x 1)
12
dx x t 1
dx dt
(t 1) t 12dt t 12dt t 13dt
t
t
( x 1)
( x 1)
C
C
13 14
13
14
13
14
13
14

27.

sin
4
x cos xdx

28.

sin
4
x cos xdx
sin x t
dt cos xdx
dt
1 5
1
t dt t C sin 5 x C
5
5
4

29.

1
f (kx b)dx F (kx b) C
k

30.

3
3 xdx

31.

3
k 1
4
3
3
3 xdx
(3 x) C
b 3
4

32.

1
4 x 3 dx

33.

k 4 1
1
4 x 3 dx b 3 4 ln 4 x 3 C

34.

u ( x) v( x)

35.

u
dv
u
v
v
du

36.

x e
x
dx

37.

u x
x e dx du dx
x
dv e dx
x
v e
x
x e e dx x e e C
x
x
x
x

38.

ln xdx

39.

u ln x
1
ln
xdx
du dx
x
dv dx
v x
x
x ln x dx x ln x x C
x

40.

x
2
cos xdx

41.

x
2
cos xdx
u x2
dv cos xdx
du 2 xdx
v sin x
x cos x 2 x sin xdx
2
u x
dv sin xdx
du dx
v cos x
x cos x 2 x cos x 2 cos xdx
2
x cos x 2 x cos x 2 sin x C
2

42.

x
x
n
n
e dx
ax
cosmxdx
x
n
x
sin mxdx
k
ln xdx
n

43.

x
k
arcsin xdx
x
k
arctgxdx
x
k
arccosxdx
x
k
arcctgxdx