Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма

1.

f ( x0 ) 0

2.

y
lim
0
x 0
x
и
y
lim
0
x 0
x
x 0
y
y
lim
lim
0
x 0
x x 0 x
f ( x0 ) 0

3.

4.

f ( ) 0

5.

6.

y
y f (x)
a
1
2
b
x

7.

y f (x)
y
f (b)
f (a)
a
b
x

8.

y f (x)
y
f (a)
a
f (b)
b
x

9.

f (a) f (b)
f (b)
y
f (a )
y f (x)
a
b
x

10.

11.

f (b) f (a)
f ( )
b a

12.

f ( ) (b a) f (b) f (a)

13.

y
B
y f (x)
A
a
b
x

14.

( a, b )

15.

16.

17.

18.

19.

y
y
x
x

20.

y x 4x 3
2

21.

y ( x 4x 3) 2x 4
2
y 2 x 4 0 при
x 2
y 2 x 4 0
x 2
при
( 2 ; )
( ; 2)

22.

f ( x) f ( x0 )

23.

f ( x) f ( x1 )

24.

y
y f (x)
x1 x2
x3
x

25.

f ( x0 ) 0

26.

27.

28.

y x
2

29.

y ( x ) 2 x
y 2 x 0 при x 0
2
x 0
y 0

30.

y
x 0
y x
2
x

31.

y x 1
3

32.

y ( x 1) 3x
2
y 3x 0 при x 0
3
x 0
y 1
2

33.

y
y x
2
y 1
x

34.

35.

y f (x)

36.

37.

y x( x 1)
3

38.

y ( x( x 1) ) ( x 1) 3x ( x 1)
3
3
2
( x 1) ( x 1 3x) ( x 1) (4 x 1)
2
2

39.

( x 1) (4 x 1) 0
2
x1 1
1
x2
4

40.

y
y
1
4
1
x

41.

27
1
f min
256
4

42.

43.

44.

45.

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f
2
2

46.

y
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
2
x1 x2
f
2
x1
x1 x2
2
x2
x

47.

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f
2
2

48.

y
x1 x2
f
2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
2
x1
x1 x2
2
x2
x

49.

50.

51.

52.

f ( x0 ) 0

53.

54.

55.

56.

y x ( x 1)
3

57.

y x ( x 1)
3
( x 1)
3
3x ( x 1)
2
( x 1) ( x 1 3x) ( x 1) (4 x 1)
2
2
y ( x 1) (4x 1) 2( x 1) (4x 1) 4( x 1)
2
2
( x 1) 8x 2 4x 4 ( x 1) 12x 6
y ( x 1) 12 x 6 0

58.

1
x1
2
x2 1
y
y
1
2
1
1
f
16
2
1
f (1) 0
x

59.

60.

y
y f (x)
x

61.

y
y f (x)
x

62.

y
y f (x)
x

63.

x x0 0
x x0 0
(слева )
(справа )

64.

lim f ( x)
x x0 0
lim f ( x)
x x0 0

65.

lim f ( x) f ( x0 )
x x0

66.

lim f ( x) b
x

67.

f ( x)
lim
k
x
x
lim f ( x) k x b
x

68.

3
x
y 2
x 1

69.

3
x
lim 2
x
x 1

70.

f ( x)
x3
x2
lim
lim 2 : x lim 2
1
x
x
x
x
x 1
x 1
k 1
x3
lim f ( x) kx lim 2
x
x
x x 1
x x x
x
lim
lim
0
2
2
x
x
x 1
x 1
3
3
b 0
y x

71.

72.

73.

74.

1 x
y
2
1 x
2

75.

x 1
( ; 1) ( 1;1) (1; )
1 ( x) 1 x
f ( x)
f ( x)
2
2
1 ( x) 1 x
2
2

76.

x 1

77.

x 1
x 1
1 x2
lim
2
x 1 0 1 x
1 x2
lim
2
x 1 0 1 x

78.

1 x2
1
lim
2
x 1 x
lim
x
1 x2
1
lim
2
x 1 x
f ( x)
1 x2
lim
2
x x (1 x )
x
1 x 2 x(1 x 2 ) ( 2 x)(1 x 2 )
y
2
2 2
(1 x )
1 x
2

79.

2 x 2 x3 2 x 2 x3
4x
2 2
(1 x )
(1 x 2 ) 2
y
y
0
f min (0) 1
x

80.

( ; 1) ( 1;0)
(0;1) (1; )
2 2
2 2
4 x (4 x) (1 x ) 4 x (1 x )
y
2 2
2 4
(1 x )
(1 x )
4 (1 x 2 ) 2 4 x 2(1 x 2 ) ( 2 x) 4 4 x 2 16 x 2
2 4
2 3
(1 x )
(1 x )

81.

4(1 3x 2 )
(1 x 2 )3
y
y
1
0
x

82.

( 1 ; 1)
( ; 1) (1; )
x 0
1 0
y
1
1 0

83.

y
1 x2
y
2
1 x
1
1
1
1
x