Арифметические и логические основы работы компьютера

1. Логические основы компьютеров

1
Логические
основы
компьютеров

2.

Булева алгебра
Двоичное кодирование – все виды информации
кодируются с помощью 0 и 1.
Задача – разработать оптимальные правила
обработки таких данных.
Джордж Буль разработал основы алгебры,
в которой используются только 0 и 1
(алгебра логики, булева алгебра).
Алгебра логики – это математический аппарат, с
помощью которого упрощаются логические
выражения
2

3.

Логические высказывания
Логическое высказывание – это повествовательное
предложение, относительно которого можно
однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
История – интересный предмет.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?
3

4.

Обозначение высказываний
A – Сейчас идет дождь.
B – Форточка открыта.
}
простые высказывания
(элементарные)
Составные высказывания строятся из простых с
помощью логических связок (операций) "и", "или",
"не", "если … то", "тогда и только тогда" и др.
AиB
A или не B
если A, то B
не A и B
A тогда и только
тогда, когда B
Сейчас идет дождь и открыта форточка.
Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
Сейчас нет дождя и форточка открыта.
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта
форточка.
4

5.

5
Таблицы истинности
Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в
левой части записываются все возможные комбинации значений
исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой
комбинации.
А
0
1
Х
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
Х

6.

6
Операция
ОперацииНЕ (инверсия)
Если высказывание A истинно, то "не А" ложно, и
наоборот.
А
не А
0
1
1
0
таблица
истинности
операции НЕ
Операция инверсии – операция, выражаемая
связкой НЕ и обозначающаяся символами A

7.

7
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
Операция выражаемая связкой И называется
конъюнкцией или логическим умножением и
обозначается A·B, A B, A&B
A
B
АиB
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
конъюнкция – от лат.
conjunctio —
соединение

8.

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Операция выражаемая связкой ИЛИ называется
дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается
A+B, A B,
A
B
А или B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение
8

9.

Импликация ("если …, то …")
Высказывание "A B" истинно, если не
исключено, что из А следует B.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А B
1
1
0
1
A B A B
9

10.

Эквиваленция ("тогда и только тогда, …")
Высказывание "A B" истинно тогда и только
тогда, когда А и B равны.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А B
1
0
0
1
A B (A B) (A B )
10

11.

11
Базовый набор операций
С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно
реализовать любую логическую операцию.
И
ИЛИ
НЕ
базовый набор операций

12.

12
Порядок выполнения действий в
логических формулах:
1. Скобки
2. Инверсия
3. Конъюнкция
4. Дизъюнкция
5. Импликация
6. Эквиваленция

13.

13
Составление таблиц истинности
X A B A B B
A
B
A·B
A B
B
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Логические выражения могут быть:
тождественно истинными (всегда 1)
тождественно ложными (всегда 0)
вычислимыми (зависят от исходных данных)

14.

Домашнее задание:
Составить таблицу истинности
для логической формуле:
X A B A B B
14