Моделирование
Моделирование
Что такое модель?
Что такое модель?
Модели и оригиналы
Модели и моделирование
Виды моделей (по природе)
Виды моделей (по фактору времени)
Виды динамических моделей
Виды моделей (по характеру связей)
Имитационные модели
Игровые модели
Адекватность
Пересчёт «модель-оригинал»
Моделирование
I. Постановка задачи
I. Постановка задачи
II. Разработка математической модели
II. Разработка математической модели
III. Тестирование модели
IV. Построение компьютерной модели
IV. Построение компьютерной модели
IV. Построение компьютерной модели
IV. Построение компьютерной модели
Компьютерная имитационная модель
Компьютерная имитационная модель
Компьютерная имитационная модель
Компьютерная имитационная модель
Компьютерная имитационная модель
V. Эксперимент с моделью
VI. Анализ результатов
1.89M
Категория: ИнформатикаИнформатика

Модели и моделирование. Математическое моделирование

1. Моделирование

1
Моделирование
§ 13. Модели и моделирование
§ 14. Математическое моделирование
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

2. Моделирование

2
Моделирование
§ 13. Модели и моделирование
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

3. Что такое модель?

Моделирование, 9 класс
3
Что такое модель?
модели чего?
автомобиль
!
Земля
кристаллическая
решётка
корабль
Моделей без оригинала не существует!
дом
оригиналы
Оригиналы:
• объекты (самолет, дом, ядро атома, галактика)
• процессы (изменение климата, развитие экономики)
• явления природы (землетрясения, цунами)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

4. Что такое модель?

Моделирование, 9 класс
4
Что такое модель?
?
Зачем нужны модели?
Нужно решить задачу, связанную с оригиналом, но:
• оригинал не существует
- древний Египет
- последствия ядерной войны (Н.Н. Моисеев, 1966)
• исследование оригинала дорого или опасно
- управление ядерным реактором (Чернобыль, 1986)
- испытание нового скафандра для космонавтов
- разработка нового самолета или корабля
• оригинал сложно исследовать
-
Солнечная система, галактика (большие размеры)
атом, нейтрон (маленькие размеры)
процессы в двигателе внутреннего сгорания (очень быстрые)
геологические явления (очень медленные)
• интересуют только отдельные свойства
- проверка краски для фюзеляжа самолета
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

5. Модели и оригиналы

Моделирование, 9 класс
5
Модели и оригиналы
оригинал
задача
модели человека
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
модель
материальная точка
http://kpolyakov.spb.ru

6. Модели и моделирование

Моделирование, 9 класс
6
Модели и моделирование
Модель – это объект, который обладает существенными
свойствами другого объекта, процесса или явления
(оригинала) и используется вместо него.
Моделирование – это создание и исследование моделей
с целью изучения оригиналов.
Задачи моделирования:
• исследование оригинала
• анализ («что будет, если …»)
• синтез («как сделать, чтобы …»)
• оптимизация («как сделать лучше всего …»)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

7. Виды моделей (по природе)

Моделирование, 9 класс
7
Виды моделей (по природе)
модели
материальные
информационные
знаковые
вербальные
графические
табличные
математические
логические
специальные
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

8. Виды моделей (по фактору времени)

Моделирование, 9 класс
8
Виды моделей (по фактору времени)
• статические – описывают оригинал в заданный
момент времени
силы, действующие на тело в состоянии покоя
результаты осмотра врача
фотография

• динамические
модель движения тела
явления природы (молния, землетрясение, цунами)
история болезни
видеозапись события

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

9. Виды динамических моделей

Моделирование, 9 класс
9
Виды динамических моделей
• непрерывные – описывают оригинал в любой момент
времени на заданном интервале
y
y = 2t + 5
t
• дискретные – описывают оригинал только в отдельные
моменты времени (через 1 сек, час, год, …)
yi = 2ti + 5
y
y1 y2 y3
yi = 5yi–1 + 5
y4
y0
t
t0 t1 t2 t3 t4
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

10. Виды моделей (по характеру связей)

Моделирование, 9 класс
10
Виды моделей (по характеру связей)
• детерминированные – при одинаковых исходных
данных всегда получается тот же результат
расчёт по формулам
движение корабля на спокойной воде

• вероятностные – учитывают случайность событий
броуновское движение частиц
полета самолёта с учетом ветра
движения корабля на волнении
поведение человека

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

11. Имитационные модели

Моделирование, 9 класс
11
Имитационные модели
• нельзя заранее вычислить или предсказать поведение
системы, но можно имитировать её реакцию на внешние
воздействия
• максимальный учет всех факторов
• только численные результаты
!
Задача – найти лучшее решение методом
проб и ошибок (многократные эксперименты)!
Примеры:
• испытания лекарств на мышах, обезьянах, …
• математическое моделирование биологических систем
• модели систем массового обслуживания
• модели процесса обучения
• кросс-программирование
•…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

12. Игровые модели

Моделирование, 9 класс
12
Игровые модели
Игровые модели учитывают действия противников.
экономические ситуации
военные действия
спортивные игры
тренинги персонала
!
Задача – найти лучший вариант действий в
самом худшем случае!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

13. Адекватность

Моделирование, 9 класс
13
Адекватность
Адекватность – это совпадение существенных свойств
модели и оригинала в данной задаче.
результаты моделирования согласуются с выводами
теории (законы сохранения и т.п.)
X – моделирование
X* - эксперимент
подтверждаются экспериментом
относительная ошибка X
!
X X*
X*
100% < 10%
Адекватность модели можно доказать только
экспериментом!
Модель всегда отличается от оригинала
!
Любая модель адекватна только при
определенных условиях!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

14. Пересчёт «модель-оригинал»

Моделирование, 9 класс
14
Пересчёт «модель-оригинал»
?
7,6 см
Сколько на местности?
7,6 см 500000
100 1000
= 38 км
М 1:500000
В более сложных случаях используют теорию подобия.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

15. Моделирование

15
Моделирование
§ 14. Математическое
моделирование
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

16. I. Постановка задачи

Моделирование, 9 класс
16
I. Постановка задачи
Хорошо поставленная задача:
• описаны все связи между исходными данными и
результатом
• известны все исходные данные
• решение существует
• задача имеет единственное решение
Примеры плохо поставленных задач:
• Уроки в школе начинаются в 830. В 1000 к школе подъехал
красный автомобиль. Определите, когда Шурик выйдет
играть в футбол?
• Мальчик Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Когда мяч впервые ударится о землю?
• Решить уравнение sin x = 4 (нет решений).
• Найти функцию, которая проходит через точки (0,1) и (1,0)
(бесконечно много решений).
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

17. I. Постановка задачи

Моделирование, 9 класс
17
I. Постановка задачи
Мальчик Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Когда мяч впервые ударится о землю?
?
Хорошо поставлена?
Допущения:
• Вася бросает мяч вертикально вверх.
• В момент броска мяч находится на высоте 1,5 м.
? Всегда ли есть решение?
? Решение единственно?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

18. II. Разработка математической модели

Моделирование, 9 класс
18
II. Разработка математической модели
1) выделить существенные исходные данные:
• начальная скорость 12 м/с
• бросок вертикально вверх
• ускорение свободного падения 9,81 м/с2
2) построить математическую модель
Графическая модель:
y
v0
h0, v0
исходные данные
?
модель
tп
результаты
Такой модели достаточно?
h0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

19. II. Разработка математической модели

Моделирование, 9 класс
19
II. Разработка математической модели
Ещё допущения:
• мяч – материальная точка
• нет сопротивления воздуха
Формализация:
h0
v0
t
где
g t
y h0 v0 t
2
– начальная высота
– начальная скорость
– время
Мяч упал:
!
2
g t
0 h0 v0 tn
2
2
n
Связали исходные данные и результат!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

20. III. Тестирование модели

Моделирование, 9 класс
20
III. Тестирование модели
Тестирование – это проверка модели на простых
исходных данных с известным результатом.
g t
y h0 v0 t
2
2
• при t = 0 y = h0 (в начальной точке)
• при v0 = 0 падение вниз
?
Доказывает ли успешное тестирование
правильность модели?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

21. IV. Построение компьютерной модели

Моделирование, 9 класс
21
IV. Построение компьютерной модели
g tn2
0 h0 v0 tn
2
?
алг Полёт
нач
вещ h0=1.5, v0=12, g=9.81
вещ a, b, c, D, t1, t2
a:= -g/2
b:= v0
c:= h0
D:= b*b - 4*a*c
t1:= (-b+sqrt(D))/(2*a)
t2:= (-b-sqrt(D))/(2*a)
вывод t1, нс, t2
кон
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Что такое a, b, c, D?
Кумир
http://kpolyakov.spb.ru

22. IV. Построение компьютерной модели

Моделирование, 9 класс
22
IV. Построение компьютерной модели
?
g tn2
Что такое a, b, c, D?
0 h0 v0 tn
2
program Polet;
Паскаль
var h0, v0, g: real;
a, b, c, D, t1, t2: real;
begin
h0:= 1.5; v0:= 12; g:= 9.81;
a:= -g/2; b:= v0; c:= h0;
D:= b*b - 4*a*c;
t1:= (-b+sqrt(D))/(2*a);
t2:= (-b-sqrt(D))/(2*a);
writeln(t1);
writeln(t2);
end.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

23. IV. Построение компьютерной модели

Моделирование, 9 класс
23
IV. Построение компьютерной модели
?
g tn2
0 h0 v0 tn
2
from math import sqrt
h0 = 1.5
v0 = 12
g = 9.81
a = -g/2
b = v0
c = h0
D = b*b - 4*a*c
t1 = (-b+sqrt(D))/(2*a)
t2 = (-b-sqrt(D))/(2*a)
print( t1 )
print( t2 )
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Что такое a, b, c, D?
Python
http://kpolyakov.spb.ru

24. IV. Построение компьютерной модели

Моделирование, 9 класс
24
IV. Построение компьютерной модели
?
g tn2
Что такое a, b, c, D?
0 h0 v0 tn
2
#include <iostream>
C++
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
float h0, v0, g, a, b, c, D, t1, t2;
h0 = 1.5; v0 = 12; g = 9.81;
a = -g/2; b = v0; c = h0;
D = b*b - 4*a*c;
t1 = (-b+sqrt(D))/(2*a);
t2 = (-b-sqrt(D))/(2*a);
cout << t1 << endl << t2;
}
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

25. Компьютерная имитационная модель

Моделирование, 9 класс
25
Компьютерная имитационная модель
если нельзя просто решить уравнение…
интервал
дискретизации
Дискретизация задачи:
моменты времени: 0, t, 2 t, 3 t, …, ti = i t
y
0 t
t
Рассматриваем [ti, ti+1]
Знаем yi и vi при t = ti получить yi+1 и vi+1 при t = ti +1
!
Считаем, что скорость
меняется скачком!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
yi+1 = yi + vi t
vi+1 = vi – g t
http://kpolyakov.spb.ru

26. Компьютерная имитационная модель

Моделирование, 9 класс
26
Компьютерная имитационная модель
алг Полёт-2
Кумир
нач
вещ h0=1.5, v0=12, g=9.81
вещ y, v, t, dt=0.01
y:= h0; v:= v0; t:= 0
нц пока y >= 0
y:= y + v*dt
Что такое y, v, t, dt?
v:= v - g*dt
t:= t + dt
кц
вывод t
кон
?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

27. Компьютерная имитационная модель

Моделирование, 9 класс
27
Компьютерная имитационная модель
program Polet_2;
Паскаль
var h0, v0, g: real;
y, v, t, dt: real;
begin
h0:= 1.5; v0:= 12; g:= 9.81;
dt:= 0.01;
y:= h0; v:= v0; t:= 0;
while y>=0 do begin
y:= y + v*dt;
v:= v - g*dt;
Что такое y, v, t, dt?
t:= t + dt;
end;
writeln(t);
end.
?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

28. Компьютерная имитационная модель

Моделирование, 9 класс
28
Компьютерная имитационная модель
h0 = 1.5
v0 = 12
g = 9.81
dt = 0.01
y = h0; v = v0; t = 0
while y>=0:
y = y + v*dt
v = v - g*dt
t = t + dt
print( t )
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Python
?
Что такое y, v, t, dt?
http://kpolyakov.spb.ru

29. Компьютерная имитационная модель

Моделирование, 9 класс
29
Компьютерная имитационная модель
#include <iostream>
С++
using namespace std;
int main()
{
float h0, y, v0, v, g, dt, t;
h0 = 1.5; v0 = 12;
g = 9.81; dt = 0.01;
y = h0; v = v0; t = 0;
while( y>=0 ) {
y = y + v*dt;
Что такое y, v, t, dt?
v = v - g*dt;
t = t + dt;
}
cout << t;
}
?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

30. V. Эксперимент с моделью

Моделирование, 9 класс
30
V. Эксперимент с моделью
Эксперимент – это исследование модели при тех
исходных данных, которые нас интересуют (результат
заранее неизвестен).
!
Можно ли верить результатам?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

31. VI. Анализ результатов

Моделирование, 9 класс
31
VI. Анализ результатов
!
Необходима проверка на оригинале!
Возможные выводы:
• задача решена, модель адекватна
• необходимо изменить алгоритм или условия
моделирования
• необходимо изменить модель (учесть
дополнительные свойства)
• необходимо изменить постановку задачи
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru
English     Русский Правила