Курс лекций по теоретической и прикладной механике

1. Курс лекций по теоретической и прикладной механике

Доцент, к.ф.-м.н Моисеев Константин Валерьевич

2.

Введение
Под названием “механика” объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаимодействие твердых и
деформируемых тел, а также жидких и газообразных сред.
Механика
Прикладная механика
Гидромеханика
Аэромеханика
Динамика сооружений
Механика корабля
Строительная механика
Строительные конструкции
Сопротивление материалов
Гидродинамика
Детали машин
Небесная механика
Механика грунтов
Мосты и тоннели
Теория механизмов и машин
Теоретическая механика
Механическое движение – один из видов движения материи, выражающееся в изменении с течением времени взаимных положений тел или их
частей.
Механическое взаимодействие – один из видов взаимодействия материи, вызывающий изменение механического движения тел или их частей, а
также препятствующий изменению их взаимных положений.
Теоретическая механика – изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых тел.
Общность законов, пригодность для любых тел и систем, достигается абстрагированием (отвлечением) от несущественных особенностей
рассматриваемого тела и выделением наиболее важных особенностей. Именно по этому теоретическая механика является базовой наукой,
на основе которой изучаются другие прикладные технические дисциплины.
Основные абстрактные образы (модели) материальных тел и систем:
Материальная точка (МТ) – не имеет размеров, но в отличие от геометрической точки обладает массой, равной массе того тела, которое
изображается данной материальной точкой.
Абсолютно твердое тело (АТТ) – система МТ, в которой расстояние между ними не изменяются ни при каких воздействиях.
Механическая система (МС) – совокупность МТ или АТТ, связанных между собой общими законами движения или взаимодействия.
В зависимости от условия задачи и выбора объекта изучения одно и то же физическое тело может быть принято за МТ, АТТ или МС.
Например, Земля при изучении ее движения вокруг Солнца принимается за МТ, а при изучении ее вращения вокруг собственной оси – за
АТТ. При изучении явлений, происходящих на Земле (приливы и отливы, перемещения коры и т.п.), Земля рассматривается как МС.
1

3.

Содержание
• Лекция 1. Кинематика точки. Способы задания движения. Уравнения движения. Траектория. Закон движения точки.
Связь между тремя способами задания движения. Скорость точки. Ускорение точки. Равнопеременное движение
точки. Классификация движения точки. Пример решения задач на определение кинематических характеристик
движения точки. Кинематика твердого тела. Виды движений. Поступательное движение.
• Лекция 2. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение. Равнопеременное вращение. Скорость и
ускорение точки тела при вращательном движении. Скорость и ускорение точки вращающегося тела как векторные
произведения. Формула Эйлера. Преобразование вращений. Плоскопараллельное движение твердого тела.
Разложение плоского движения на поступательное и вращательное движения. Уравнения движения. Теорема о
сложении скоростей. Следствия из теоремы. Мгновенный центр скоростей (МЦС).
• Лекция 3. Примеры использования МЦС для определения скоростей. Теорема о сложении ускорений. Мгновенный
центр ускорений (МЦУ). Примеры использования теоремы о сложении ускорений и МЦУ для определения
ускорений
• Лекция 4. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений точки при сложном движении. Теорема о
сложении ускорений при сложном движении точки. Ускорение Кориолиса. Причины возникновения ускорения
Кориолиса.
Рекомендуемая литература
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.1. М.: Высшая школа. 1977 г. 368 с.
2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука. 1986 г. 416 с.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: «Высшая школа». 1986 г. 416 с.
4. Сайт кафедры МКМ: http://mkm.rusoil.net/
3

4. Лекция 1

Кинематика
Кинематика – раздел теоретической механики,
изучающий механическое движение без учета сил,
вызывающих это движение, состоит из двух отделов:
Кинематика точки
Кинематика твердого тела
Кинематика точки – изучает движение материальной точки, является базой для изучения движения точек твердого тела.
Задание движения точки – необходимо иметь возможность определения положения точки в пространстве в любой момент времени (уравнения,
геометрия механизма и известный закон движения ведущего звена).
Траектория движения точки – совокупность положений точки в пространстве при ее движении.
Три способа задания движения точки:
Векторный способ:
Координатный способ:
Естественный способ:
Задаются закон движения точки и траектория.
Задается величина и направление радиуса-вектора. Задаются координаты положения точки.
M
z
r r (t )
z
s
O1
x x(t );
M
y y (t );
s s (t );
M
f ( x , y , z ) 0.
z z (t ).
r
ds
r
O
O
k
j
x
i
x
Все три способа задания эквивалентны и связаны между собой:
1. Векторный и координатный – соотношением:
dz
z
z
y
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
O
y
x
x
y
y
dy dx
ds dx 2 dy 2 dz 2
2. Координатный и естественный – соотношением:
s(t ) x 2 y 2 z 2 dt
3. Для получения уравнения траектории движения необходимо из уравнений движения координатного способа исключить время, т.к. траектория
не зависит от времени:
Последние два уравнения представляют собой уравнения линейчатых поверхностей,
x x(t ) t t ( x);
линия пересечения которых и есть траектория движения точки.
y y (t ) y[t ( x)] y ( x);
Например:
z z (t ) z[t ( x)] z ( x).
x t t x
y R2 t 2 R2 x2
z c.
y y ( x);
z z ( x).
Последние два уравнения представляют собой уравнения цилиндрической поверхности
радиуса R c образующей, параллельной оси z, и плоской поверхности, параллельной
или x 2 y 2 R 2 ; координатной плоскости Oxy и смещенной по оси z на величину c. Линия пересечения
этих поверхностей (окружность радиуса R) - траектория движения точки.
1

5.

Скорость точки – величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве.
Три способа задания движения точки определяют способы определения скорости точки:
Векторный способ: Сравним два положения точки в моменты времени t и t1= t + t:
v
Δr
r
t1 t Δt r1 r Δr ;
M1 v
ср
Δr
vср
Δt
dr
dt
- вектор средней скорости в интервале времени t,
направлен по направлению вектора перемещения (хорде MM1).
Предел отношения приращения функции
Δ r dr
к приращению приращения аргумента есть Δt lim 0
Δt dt
производная функции (по определению):
- вектор истинной скорости точки в момент времени t, направлен по касательной к траектории
(при приближении M1 к M хорда занимает положение касательной).
Устремим t 0 и перейдем к пределу:
v
r1
O
r;
t
M
Δt
lim 0
Δr
v
Δt
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
Координатный способ: Связь радиуса-вектора с координатами определяется выражением:
z
vz
Используем векторную форму определения скорости:
M
dr (t ) d
vy v
x(t )i y (t ) j z (t )k Компоненты
Проекции
v x x ;
dt
dt
(составляющие) v x x(t )i ;
скорости
vx
вектора
r
v y y ;
v y y (t ) j; на оси
dx
dy
dz
i
j
k
v
i
v
j
v
k
скорости:
x
y
z
координат:
z
O
k
dt
j
x
i
x
v z z .
v z z (t )k .
dt
y
y
v x 2 y 2 z 2 ;
x
;
v
y
cos( v , y ) .
v
cos( v , x)
Используем векторную форму определения скорости:
Естественный способ:
O
dt
Представим радиус-вектор как сложную функцию: r (t ) r [ s (t )].
v
dr (t ) dr ds dr
s .
dt
ds dt ds
dr
Δr
Представим производную
lim 0
.
s M
радиус-вектора как предел: ds Δs
Вектор приращения радиуса-вектора направлен по хорде MM1
Δs
O1
и в пределе занимает положение касательной.
Δs v
Величина
производной
Δr
При s 0 радиус кривизны 1 , угол
M1
2 sin Δ2
dr
Δr
радиуса-вектора
lim
lim
1
.
между радиусами кривизны 0, числитель Δs
Δ
0
0
r
по дуговой координате равна 1: ds
Δs
Δ
- основание равнобедренного треугольника,
r1
знаменатель – длина круговой дуги радиуса .
Таким образом, производная радиуса-вектора по дуговой координате есть
единичный вектор, направленный по касательной к траектории.
Вектор скорости равен:
v s .
Проекция скорости на касательную:
При s 0 вектор скорости направлен в сторону увеличения дуговой
координаты, В противном случае – в обратную сторону.
v s .
Δr
Δ
1
Δs
2

6.

Ускорение точки – величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки.
t
v;
Три способа задания движения точки определяют способы определения ускорения точки:
Векторный способ: Сравним скорости точки в двух положениях точки в моменты времени t и t1= t + t:
t1 t Δt v1 v Δv ;
M
Δv
v
v
- вектор среднего ускорения в интервале времени t, направлен в сторону вогнутости траектории.
a
Δr
r
O
v1
a
r1
Δt
M1
v
v1
ср
Переходя к пределу получаем:
Δt
a
dv d 2 r
dt dt 2
lim 0
Δv
a
Δt
Δt
lim 0
Δv dv
Δt
dt
- вектор истинного ускорения точки в момент времени t, лежит в
соприкасающейся плоскости (предельное положение плоскости, проведенной
через касательную в точке M и прямую, параллельную касательной в точке M1, при
стремлении M1 к M) и направлен в сторону вогнутости траектории.
Координатный способ: Используем полученное векторное выражение и связь радиуса-вектора с координатами
z
az
M
ay
r
O
i
k
ax
z
j
x
d 2 r (t ) d 2
a
2 x(t )i y (t ) j z (t )k
dt 2
dt
2
2
d x
d y
d 2z
2 i 2 j 2 k axi a y j az k
dt
dt
dt
Компоненты
(составляющие)
вектора
ускорения:
y
a x x i ;
a y y j;
a z z k .
Проекции
ускорения
на оси
координат:
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
a x 2 y 2 z 2 ;
a x x ;
x
a y y ; cos( a , x) ;
a
a z z .
y
cos( a , y ) .
a
y
Таким образом полное ускорение точки есть векторная сумма двух ускорений:
Естественный способ: Используем векторное выражение для ускорения и выражение для скорости при естественной способе задания: v s .
касательного, направленного по касательной к траектории в сторону увеличения
дуговой координаты,
если s 0 (в противном
случаеединичного
– в противоположную)
d d dsи
d
dv d
d
Представим
единичный
Производная
s M
s .
a
( s ) s s
. касательный
(
t
)
[
s
(
t
)].
нормального
ускорения,
направленного
по
нормали
к
касательной
в сторону
центра
вектор
касательного
вектора:
Δs
dt dt
dt
O1
dt
ds dt
ds
кривизны
(вогнутости
avτ
как
сложную
функцию: траектории): a a a .
τ
n
n
Величина производной
Таким образом, производная
M1
a n Δr
единичного касательного вектора d
2 sin Δ2 2 1 2единичного касательного вектора
Δ
Модуль
r
Δs полного
lim 0 ускорения:
Δ lim 0 a a τ . a n по; дуговой координате есть вектор,
по дуговой координате:
a
ds
Δs
Δ
направленный перпендикулярно
r1
Приединичный
s 0 радиус
кривизны
1 , угол
Угол между приращением касательной к траектории.
Введем
вектор
n, нормальный
(перпендикулярный)
к касательной,
O
a s ;
1
между радиусами
единичного вектора
направленный
к центрукривизны
кривизны. 0, числитель Компоненты
Δs
a τ s ;
Δr
Проекции
2
-основание
равнобедренного
треугольника,
и
самим
вектором
2
С использованием вектора n и ранее
s (составляющие)
s
о
2
образованного
единичными векторами 1 и a
, s Δ
при 0, стремится
n . вектора
определенных
величин
a n кn90
. . ускорения a s .
3
знаменатель
–
длина
круговой
дуги
радиуса
.
на
оси
и
n:
1
ускорение представляется как сумма векторов:
n
ускорения:
x
1

7.

Равнопеременное движение точки – движение точки по траектории, при котором касательное ускорение не изменяется по величине.
a τ s const.
Запишем выражение для касательного ускорения через проекцию скорости:
a τ s
dv
d
s τ
dt
dt
Полученное выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается разделением переменных и интегрированием левой
и правой частей:
vτ
t
v
t
-скорость точки
dv τ a τ dt
dv
a
v τ vτ a τ τ t 0 ; v τ v τ 0 a τ τt vτ vτ 0 a τ τt при равнопеременном движении
τ
τ τ dt ;
τ0
vτ 0
0
В свою очередь скорость точки также связывается с дуговой координатой дифференциальной зависимостью: vτ
После подстановки
выражения для скорости
и интегрирования получаем :
s
ds (v
s0
t
t
τ0
a t )dt;
0
s
ss
0
ds
или ds vτ dt.
dt
2
t2
t2
(vτ 0t a ) ; s s0 vτ 0t a . s s v t a t
0
τ0
ττ
2 0
2
2
- дуговая координата
точки при равнопеременном движении
Классификация движений точки.
№
пп
Вид движения
a
an
Закон движения
Траектория
1
= 0 [t, t1]
= 0 [t, t1]
равномерное (v = const)
прямолинейное ( = )
2
= 0 [t, t1]
0 [t, t1]
равномерное (v = const)
криволинейное ( )
2.1
=0
в момент
времени t
= 0 [t, t1]
прямолинейное ( = )
0 [t, t1]
неравномерное (v const),
в момент времени t
v = max
= 0 [t, t1]
неравномерное (v const)
прямолинейное ( = )
2.2
3
3.1
0 [t, t1]
3.2
4
0 [t, t1]
5
= const [t, t1]
=0
в момент
времени t
0 [t, t1]
любое
перемена направления
движения (v = 0 при t=t)
криволинейное ( )
любая траектория
неравномерное (v const)
перегиб траектории ( = при t=t)
неравномерное (v const)
криволинейное ( )
равнопеременное
любая траектория
4

8.

Исследование работы кривошипно-шатунного механизма
Кинематика твердого тела – изучает движение твердого тела, кинематика точки используется для получения новых зависимостей и
формул.
Существует пять видов движения твердого тела:
1. Поступательное (ползун, поршень насоса, спарник колес паровоза, движущегося по прямолинейному пути, кабина лифта, дверь купе,
кабина колеса обозрения).
2. Вращательное (маховик, кривошип, коромысло, колесо обозрения, обычная дверь).
3. Плоскопараллельное или плоское (шатун, колесо локомотива при качении по прямолинейному рельсу, шлифовальный круг).
4. Сферическое (гироскоп, шаровая стойка).
5. Общий случай движения или свободный полет (пуля, камень, небесное тело)
Поступательное движение твердого тела – такое движение при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается
параллельной самой себе. Обычно поступательное движение отождествляется с прямолинейным движением его точек, однако это не
так. Точки и само тело (центр масс тела) могут двигаться по криволинейным траекториям, см. например, движение кабины колеса
обозрения.
Теорема о поступательном движении твердого тела – При поступательном движении твердого тела все его точки описывают
тождественные траектории и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости и ускорения.
Проведем радиус-векторы к двум точкам A и B, а также соединим эти точки вектором rBA.
В любой момент времени выполняется векторное равенство:
В любой момент времени вектор rBA остается постоянным по направлению
(по определению поступательного движения) и по величине
rA (t ) rB (t ) const ,
(расстояние между точками не изменяется).
Отсюда:
и это означает, что в каждый момент времени положение точки A отличается от положения
Таким
твердого
тела полностью
точкиобразом,
B на однупоступательное
и ту же величинудвижение
rBA = const,
т.е. траектории
этих двух определяется
точек тождественны
движением
одной
точки,
принадлежащей
этому
телу
и
выбранной
произвольным образом.
(совпадают друг с другом при наложении).
Все параметры движения этой точки (траектория, скорость и ускорение) описываются
drA (t ) drB (t )
уравнениями
и соотношениями
кинематики
точки.часть соотношения:
Продифференцируем
по времени
левую и правую
vA
A
aA
rA
rA
rBA
rBA
vB
dt
B
rB
rB
C
rA (t ) rB (t ) rBA.
aB
dt
и это означает, что в каждый момент времени скорость точки A равна геометрически
(т.е. векторно) скорости точки B.
v (t ) v (t ).
A
B
Второе дифференцирование по времени приводит к соотношению:
dr 2 A (t ) dr 2 B (t )
dt 2
dt 2
и это означает, что в каждый момент времени ускорение точки A равно геометрически
(т.е. векторно) ускорению точки B.
aA (t ) aB (t ).
5

9. Лекция 2

Вращательное движение твердого тела – движение при котором все его точки движутся в плоскостях, перпендикулярных некоторой
неподвижной прямой, и описывают окружности с центрами, лежащими на этой прямой, называемой осью вращения.
Задание вращательное движения – движение задается законом изменения двугранного угла
φ (угла поворота), образованного неподвижной плоскостью P, проходящей через ось
вращения, и плоскостью Q, жестко связанной с телом:
(t ) - уравнение вращательного движения
ω
P
ε
Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота.
;
t
Q
t1 t Δt 1 Δ ;
Δ
ср - средняя угловая скорость в интервале времени t,
Δt
Устремим t 0 и перейдем к пределу:
Δt
lim 0
Δ
d
Δt
dt
Если dφ/dt > 0, то вращение происходит в сторону увеличения угла поворота,
если dφ/dt < 0, то вращение происходит в сторону уменьшения угла поворота.
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости.
;
Δ
ср - среднее угловое ускорение в интервале времени t,
t1 t Δt 1 Δ ; Δt
d
- истинное угловое ускорение
Δ
Устремим t 0 и перейдем к пределу: Δt lim 0
в момент времени t
dt
Δt
t
- истинная угловая скорость
в момент времени t
Угловая скорость
изображается дуговой
стрелкой в сторону
вращения.
Угловое ускорение
изображается дуговой
стрелкой в сторону
увеличения угла поворота
при
0 .
Если d2φ/dt2 и dφ/dt одного знака, то скорость увеличивается по модулю и вращение называется ускоренным (дуговые стрелки угловой скорости
и углового ускорения направлены в одну сторону),
если d2φ/dt2 и dφ/dt разного знака, то скорость уменьшается по модулю и вращение называется замедленным (дуговые стрелки угловой скорости
и углового ускорения направлены в противоположные стороны).
const.
Равномерное вращение – угловая скорость не изменяется по величине.
Равнопеременное вращение – угловое ускорение не изменяется по величине.
const.
d
;
dt
t
0
0
d dt;
0 t.
d
;
dt
d
;
dt
t
0
0
t
0
0
d dt;
d ( 0 t )dt;
0 t.
0 0t
t2
.
2
6

10.

Скорость точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна (окружность радиуса R – расстояние точки
до оси вращения), можно применить формулу для определения скорости точки при естественном задании движения:
v s .
Дуговая координата связана
с радиусом окружности:
- O
+
s
R
φ
ε
aanос
aaврτ
ω
a
v
s R.
Тогда проекция скорости
на касательную к окружности:
vτ
d
d
( R)
R R.
dt
dt
Поскольку далее работают с модулем угловой скорости после изображения ее
в виде дуговой стрелки расчетной формулой является выражение для модуля скорости: v R
и вектор скорости направляют перпендикулярно радиусу
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Как следует из формулы скорость точки пропорциональна расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения).
Тогда проекции ускорения
на касательную
aτ
к окружности и нормаль:
Ускорение точки при вращательном движении твердого тела – траектория точки известна, можно применить
формулы для определения ускорений точки при естественном задании движения:
s 2
a τ s ; a n
d2
d 2
(
R
)
R R.
dt 2
dt 2
1 d
1 d
(
R
)
dt
R dt
2
an
2
R 2 R.
.
Поскольку далее работают с модулем углового ускорения после изображения его в виде дуговой стрелки расчетной формулой является
выражение для касательного ускорения: a R и вектор этого ускорения, называемого вращательным ускорением, направляют
вр
перпендикулярно радиусу в сторону дуговой стрелки углового ускорения.
z
z
Нормальное ускорение теперь называется осестремительным ускорением aос R , его направляют по радиусу
к оси вращения
независимо от направления дуговой стрелки угловой скорости, не говоря уж о направлении дуговой стрелки углового ускорения.
2
ω
Как следует из формул оба ускорения точки пропорциональны расстоянию ее до оси вращения (радиусу вращения).
ω
Угол между направлением полного ускорения и
радиусом от величины радиуса не зависит
ε и
ε
равен:
aвр
Скорость и ускорения точки при вращательном движении как векторные произведения.
arctg arctg 2 .
Представим угловую скорость и угловое ускорения как векторы, направленные по оси вращения в ту
aос
сторону, откуда дуговые стрелки этих величин указывают вращение против часовой стрелки.
Полное ускорение точки, как и ранее, есть векторная сумма этих ускорений:
a aвр a ос .
Положительное направление оси z можно задать с помощью единичного вектора k, тогда
векторы угловой скорости и углового ускорения можно представить как:
z k z k
где z, z – проекции соответствующих векторов на ось z.
k
k
7

11.

Скорость точки при вращательном движении как векторное произведение – определяется выражением
описывает и величину, и направление скорости.
Величина (модуль) этого
Таким образом:
v 1 r sin( , r ).
векторного произведения:
ω
, которое
v R.
2 произведения:
Направление вектора рассматриваемого векторного
по определению векторного произведения – перпендикулярноRплоскости, проведенной через умножаемые вектора,
направлен в ту сторону, откуда поворот первого вектора ко второму на наименьший угол кажется происходящим
против часовой стрелки;
по правилу правой руки – при совмещении большого пальца с первым вектором, остальных – со вторым вектором,
поворот большого пальца перпендикулярно ладони указывает на направление вектора векторного произведения.
R
r
v r
v
Таким образом, действительно векторное произведение угловой скорости и радиус-вектора полностью определяет
величину и направление скорости точки при вращательном движении в соответствии с ранее полученными результатами.
Вращательное ускорение точки как векторное произведение – определяется выражением
описывает и величину, и направление вращательного ускорения.
ε
R
r
a вр r
, которое
Таким образом:
Величина (модуль) этого векторного a
aвр R.
вр r sin( , r ).
произведения:
Направление вектора рассматриваемого векторного произведения можно установить по определению векторного
произведения или по правилу правой руки.
R
образом, действительно векторное произведение углового ускорения и радиус-вектора полностью определяет
a вр Таким
величину и направление вращательного ускорения точки в соответствии с ранее полученными результатами.
Осестремительное ускорение точки как векторное произведение – определяется
выражением a v , которое описывает и величину, и направление осестремительного
ос
ускорения.
Величина (модуль) этого
векторного произведения:
aос v sin( , v ).
Таким образом:
v v ( R) 2 R.
Направление вектора рассматриваемого векторного произведения можно установить по определению векторного
произведения или по правилу правой руки.
1, т.к. вектор скорости точки перпендикулярен плоскости,
Таким образом, действительно векторное произведение угловой
скорости
и вектора
скорости
точки полностью
в которой
лежит
вектор угловой
скорости.
определяет величину и направление осестремительного ускорения точки в соответствии с ранее полученными
результатами.
Это векторное произведение может быть также записано в виде: a ( r )
ос
ω
R
r
a ос
v
8

12.

Формулы Эйлера – с помощью раскрытия векторного произведения для скорости точки можно получить общие аналитические
выражения для этой скорости через координаты рассматриваемой точки при произвольной расположении оси вращения в
пространстве:
i
v r x
z
x
ω
R
j
k
y z ( y z z y )i ( z x x z ) j ( x y y x)k
y
z
v x y z z y;
v y z x x z;
Отсюда получаются аналитические формулы для проекций скоростей точки:
r
z
x
y
x
y
v z x y y x.
v
Преобразования вращательных движений – изменение величины и направление угловых
скоростей вращающихся звеньев в различных передаточных механизмах:
Фрикционное зацепление:
v2 v
1
Скорости входящих в контакт точек колес при отсутствии проскальзывания равны:
v1 v2 ;
1 R1 2 R2 .
Отсюда:
1 R2
2 R1
ω2
R2
Передаточное число, характеризующее изменение скорости вращения при передаче
вращения от одного звена к другому – отношение угловой скорости ведущего колеса
R
i1 2 1 2
к угловой скорости ведомого:
2 R1
Зубчатое зацепление – число зубьев каждого из колес прямо пропорционально
радиусу колеса. Окружные скорости входящих в контакт точек поверхностей зубьев по-прежнему равны.
Полученные соотношения остаются справедливыми, в том числе и для случая внутреннего
зацепления.
Радиусы делительных окружностей связаны с шагом зубьев соотношениями: 2 R z h 2 R z h
2
2
1
1
С использованием чисел зубьев каждого из колес имеем:
Ременная и цепная передачи –. Окружные скорости
входящих в контакт с ремнем или цепью точек поверхностей
обоих колес или зубьев этих колес по-прежнему равны (ремень
или цепь не растягиваются и не сжимаются).
1
Полученные соотношения остаются справедливыми.
2
1 z 2
2 z1
v2
R2
R1
1 z 2
2 z1
R1
ω2
R2
ω1
R1
v1
ω2
ω1
ω1
R2
R1
9

13.

Плоскопараллельное движение твердого тела – движение при котором каждая точка тела движется в в плоскости
параллельной некоторой неподвижной плоскости. Сечение тела одной из таких плоскостей есть плоская фигура, остающаяся в этой
плоскости при движении тела.
Теорема о плоскопараллельном движении твердого тела – плоскопаралллельное
движение твердого тела однозначным образом определяется движением плоской
фигуры, образованной сечением тела одной из параллельных плоскостей.
M1
Выберем две точки на произвольных двух сечениях тела, находящиеся на одном перпендикуляре к
этим плоскостям:
M
M
Проведем
к каждой точке радиусы-векторы из неподвижной точки O и свяжем их между собой вектором
1
2
r1
M1M2:
r2 r1 M 1 M 2
M2
O
r2
При плоском движении тела вектор M1M2 не изменяется по величине, остается параллельным
самому себе (движется поступательно) и, следовательно, точки этого вектора описывают
тождественные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения:
dr2 dr1
d 2 r2 d 2 r1
; (M 1 M 2 const ); v2 v1 , и
2 ; a2 a1.
dt
dt
dt 2
dt
Таким образом, при плоском движении тела движение каждой точки одной из плоских фигур определяет движение соответствующих точек,
находящихся во всех других смежных параллельных плоскостях.
Следствие: Поскольку положение плоской фигуры однозначно определяется положением ее двух точек или отрезка прямой, проведенной
через эти точки, то плоскопараллельное движение твердого тела определяется движением прямолинейного отрезка,
принадлежащего одному из сечений тела параллельными плоскостями.
Разложение плоскопараллельного движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движения – Плоскую фигуру
или отрезок прямой можно перевести из одного положения в другое бесчисленным множеством способов, меняя последовательность
выполнения поступательного и вращательного движения между собой, а также выбирая различные траектории и точки в качестве
полюса:
Таким образом, плоскопараллельное движение состоит из двух движений:
поступательное и вращательное, и его всегда можно разложить на эти два движения.
A1 y
При этом поступательное зависит от выбора полюса и траектории движения, а
Уравнение движения плоской фигуры: Выбирая в качестве полюса любую точку, например,
вращательное, характеризуемое поворотом вокруг выбранного полюса, не зависит от выбора
B
A, поступательная часть движения будет описываться уравнениями движения этой точки.
полюса (для любого полюса величина угла поворота и направление вращения – одинаковы).
Вращательная часть движения описывается уравнением изменения угла поворота вокруг
B
xC
A2
полюса:
Уравнения движения любой точки плоской фигуры, положение
yC
x A x A (t );
B2
A
xA
которой задается координатами локальной системы отсчета,
связанной с фигурой:
y
y
(
t
);
A
A
A
xC x A (t ) xC cos (t ) yC sin (t );
yA
(
t
).
x
10
yC y A (t ) xC sin (t ) yC cos (t ).
B1

14.

Независимость угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры от выбора полюса – Выберем два произвольных
прямолинейных отрезка, изображающих положение плоской фигуры и два полюса на этих отрезках:
D
A
A
С
A
Углы наклона отрезков к горизонтальной оси различны и связаны между собой соотношением:
B
Продифференцируем это соотношение:
После повторного дифференцирования следует,
d CA d DB
.
что угловые ускорения двух отрезков также равны:
dt
dt
CA DB .
Теорема о сложении скоростей – Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической
сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.
rB (t ) rA (t ) rAB (t ).
vBA
Продифференцируем это соотношение:
Второе слагаемое есть вращательная
скорость точки B вокруг полюса A:
B
rB
rA
rAB
vvAA
vBA (t ) (t ) rAB (t );
vC
vBA b vB
vA
C
vA
rAB const.
vA
vA (t )
vBA (t )
Следствие 1 – Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось,
проходящую через эти точки равны .
Спроецируем векторное соотношение на ось x1:
( x1 ) : vBx1 v Ax1 , (vBA
vCA c
B
drB (t ) drA (t ) drAB (t )
.
dt
dt
dt
vB (t )
A
O
Таким образом, угловая
скорость и угловое ускорение
плоской фигуры не зависят
от выбора полюса и их
можно представить в виде
векторов, перпендикулярных
плоскости фигуры:
zk
z
Радиусы-векторы точек A и B связаны между собой соотношением:
x1
vB
A
CA DB .
Отсюда следует, что угловые скорости двух отрезков равны:
B
B
d B (t ) d A (t )
, (α const ).
dt
dt
B (t ) A (t ) .
z k
k
Таким образом, скорость точки B
равна геометрической сумме
скорости полюса A и
вращательной скорости точки B
вокруг полюса :
vB vA rAB vA vBA.
x1 ).
Следствие 2 – Концы векторов скоростей точек плоской фигуры, лежащих на одной прямой, также
лежат на одной прямой и делят эту прямую на отрезки пропорциональные расстояниям между точками.
Концы векторов вращательных скоростей точек B и A лежат на одной прямой и делят ее на отрезки
пропорциональные расстояниям между точками:
vCA AC Ac
vBA AB, vCA AC ,
.
Концы векторов скоростей полюса A лежат, изображенных
vBA AB Ab
в точках B и C также лежат на одной прямой.
Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов скоростей точек B и C также лежат на одной
прямой, и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между точками.
11

15.

Мгновенный центр скоростей (МЦС) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко
связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю.
Пусть известна скорость одной из точек фигуры и угловая скорость вокруг этой точки:
vPA
Запишем векторное соотношение для скорости некоторой точки P согласно теоремы о сложении скоростей:
vP vA rAP vA vPA. Зададим значение скорости этой точки P равной нулю: vP 0.
P
A
vA
vA
Тогда получаем:
vPA rAP vA . Т.е. вращательная скорость искомой точки должна быть равна по
модулю скорости точки A, параллельна этой скорости и направлена
в противоположную сторону.
Это позволяет найти положение МЦС (точки P), а именно: МЦС должен находиться на перпендикуляре к
скорости точки A, отложенном в сторону угловой скорости, на расстоянии:
AP
vA
.
Если положение МЦС найдено, скорость любой точки плоской фигуры может быть легко определена посредством выбора полюса в
МСЦ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении скоростей вырождается в известную зависимость скорости от
расстояния до центра вращения:
v B v P rPB v BP ;
(v P 0);
v B BP ;
vC v P rPC vCP ;
(v P 0);
vC CP;
Другими словами, можно утверждать, что в любой момент времени тело
не совершает никакого другого движения,
кроме как вращательного движения вокруг МЦС.
P
B
vB
C
vC
12

16. Лекция 3

Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры – Поскольку при движении плоской фигуры в
каждый момент времени существует точка (МЦС), жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю, то при
определении скоростей эту точку и следует выбирать в качестве полюса, играющего роль центра вращения в данный момент времени.
Ниже рассмотрим процедуру определения скоростей на примерах:
Дано: vA, ω ,положения точек A, B, C.
Дано: vA, положения точек A, B, C,проскальзывание отсутствует. 2
1
Найти: vB, vC
Найти: vB, vC
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
vB
vB
2) Определяем расстояние до МЦС:
(нет проскальзывания и точка с нулевой скоростью
v
AP A .
B
совпадает с точкой контакта колеса и неподвижной
A
B
A
vA
поверхностью качения).
vA
v
Расстояние AP откладываем в сторону дуговой
C
2) Определяем угловую скорость: A .
стрелки угловой скорости. Дуговую стрелку
C
AP
vC угловой скорости изображаем вокруг МЦС.
vC
P
P
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону вектора линейной скорости vA.
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
v B BP ;
vC CP.
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
v B BP ;
vC CP.
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Дано: vA, vB, положения точек A, B, C.
Дано: vA, траектория точки B, положения точек A, B, C.
4
Найти: vC
Найти: vC,
1)
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
1)
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
vA
к
векторам
v
,v
,
к
вектору
vA и касательной к траектории точки B.
A
B
A
v
B
A A
vA
vB
B
vA
2) Определяем угловую скорость:
2) Определяем угловую скорость:
.
3
vB
C
P
vC
AP
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
P
этой точки:
v CP.
C
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
BP
C
AP
.
vC Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейной скорости vA .
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:
v CP.
C
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
13

17.

Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры
5
B vB
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
A
v A к векторам vA и vB. Эта точка находится в бесконечности.
C
2) Угловая скорость обращается в нуль (мгновенно
поступательное движение):
vC
Дано: vA, vB, vA║vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
vC
3) Скорость точки C равна геометрически скоростям точек
A и B:
v v v .
C
A
B
Дано: vоA,сложении
vB, vA║vB, ускорений
положения точек
A, B, C. любой точки
7 Теорема
– Ускорение
Найти: vC
плоской фигуры равна геометрической сумме ускорения полюса
1) МЦС
находится
на пересечении перпендикуляров
и ускорения этой точки
вокруг
полюса.
к
векторам
v
и
v
.
Эти перпендикуляры сливаются
v
A
B
A
vCСкорости
точек
A и B связаны между собой соотношением:
A
в одну линию.
v
v
A
P
vC CP.
v2)
v A vBA положение
v A rAB
.
B
Определяем
МЦС
AB
Дуговую стрелку угловой скорости изображаем
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость этой точки:
Вектор скорости точки C направлен параллельно векторам
скоростей точек A и B (в ту же сторону).
vB
B
C
v A vB
0.
1) МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA и vB. Эти перпендикуляры сливаются
в одну линию.
v
v
2) Определяем положение МЦС A B
AP BP
(проводим линию через концы
векторов vA и vB) и угловую
v vB
A
.
скорость:
vA
A
B
AP BP
(проводим
линию через
концы
CПродифференцируем
это соотношение
по времени:
P
v vB
векторов vA и vB) и угловую
A
.
d
v
d
v
d
v
d
B
B
A
AB
vB
скорость:
BA a A ( rAB ).
dt Дуговую
dt
dt
dt скорости изображаем
стрелку угловой
в сторону векторов
линейных скоростей
vA ,vB.
Второе слагаемое дифференцируем
как произведение
двух функций:
3) Соединяем
точку Cd
с МЦС и определяем
скорость этой точки:
dr
d
( rAB )
rAB AB rAB v BA .
Вектор линейнойdt
скорости vC направлен
dt
vC CP. dt
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Получили сумму вращательного и осестремительного ускорений
рассматриваемой точки относительно полюса. Таким образом,
Пример
использования
МЦС при исследовании работы
ускорение
точки
плоской фигуры:
кривошипно-шатунного механизма – См. решение задачи М.16.28
вр
ос
“Теоретическая механика
и задачах.
Кинематика” (электронное
aB вaпримерах
A a BA a BA a A a BA .
пособие автора www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Следствие – Концы векторов ускорений точек плоской
фигуры, лежащих на одной прямой, также лежат на одной
прямой и делят ее на отрезки, пропорциональные расстояниям
между точками.
Концы векторов ускорений точек aBA и aСA
aCA b
лежат на одной прямой Abc и делят ее на
aC отрезки пропорциональные расстояниям
между точками:
a BA a
a 2 4 AB,
BA
A
aCA 2 4 AC.
aB
C
B
aA
aA
aA
Концы векторов ускорений полюса A,
изображенных в точках B и C, лежат
также лежат на одной прямой.
Нетрудно доказать из подобия треугольников, что концы векторов
суммарных ускорений точек B и C также лежат на одной прямой,
и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям
между точками.
14

18.

Мгновенный центр ускорений (МЦУ) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко
связанная с плоской фигурой, ускорение которого в этот момент равна нулю.
a PA
A
Пусть известно ускорение одной из точек фигуры, угловая скорость и угловое ускорение вокруг этой точки:
Q
aA
Запишем векторное соотношение для ускорения некоторой точки Q согласно теоремы о сложении ускорений:
aQ a A rAQ vQA a A a PA .
Тогда получаем:
aA
Угол между вектором полного ускорения точки
при вращении относительно центра равен:
aQA a A .
arctg
a Q 0.
Зададим значение ускорения этой точки Q равной нулю:
.
2
Т.е. ускорение искомой точки при вращении вокруг полюса должно
быть равно по модулю ускорению точки A, параллельно этому
ускорению и направлено в противоположную сторону.
a
A
Это позволяет найти положение МЦУ (точки Q), а именно: МЦУ должен находиться прямой, составляющей AQ
.
2
угол к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону углового ускорения, на расстоянии:
4
Если положение МЦУ найдено, ускорение любой точки плоской фигуры может быть легко определено посредством выбора полюса в
МСУ . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении ускорений вырождается в известную зависимость полного ускорения от
расстояния до центра вращения:
2
4
aB aQ rQB vBQ aBQ ;
(aQ 0);
aB BQ ;
aC aQ rQC vCQ aCQ ;
(aQ 0);
aC 2 4 CQ;
Таким образом, при определении ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени
можно считать, что тело совершает вращательное движение вокруг МЦУ.
Внимание: На самом деле в данный момент тело вращается вокруг МЦС,
положение которого в общем случае не совпадает с положением МЦУ.
Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры
1
Дано: aA, , , положения точек A, B.
Найти: aB
arctg
1)
МЦУ
находится
на
прямой
,
составляющей
угол
2
к вектору ускорения точки A, проведенной в сторону
углового ускорения, на расстоянии:
aA
Q
AQ
.
2
4
A
2) Соединяем точку B с МЦУ
aA
aB и определяем ускорение этой точки:
B
a 2 4 QB.
B
Q
B
aB
aC
C
a
.
A
Если = 0 и 0, то = 0 и AQ 2 .
Ускорения всех точек
будут направлены в точку Q (МЦУ).
a
Если 0 и = 0, то = 90о и AQ A .
Ускорения всех точек
будут перпендикулярны отрезкам, соединяющим
точки с МЦУ, и направлены в сторону углового
ускорения.
15

19.

Примеры использования МЦУ для определения ускорений точек плоской фигуры
Дано: aA, aB, положения точек A, B, C.
Использование МЦУ связано с геометрическим построениями и
Найти: aC
решениями косоугольных треугольников, что не совсем удобно
1) Запишем теорему о сложении ускорений
в общем случае. Можно решить эту задачу алгебраически
и найдем ускорение точки B во вращении вокруг
aA A
с помощью проекций:
полюса A:
a
a
a
.
1) Запишем теорему о сложении
B
A
BA
B
y
a
ускорений для точек B и A:
a
C
A
A
2) Определим угол между вектором aBA и прямой
C
вр
ос
B
AB и направление дуговой стрелки углового ускорения:
a BA
a B a A a BA
a BA
.
ос
ос
a
a
BA
CA
3) МЦУ находится на пересечении прямых, повернутых
aB
и изобразим компоненты ускорений:
C
на угол от векторов ускорений точек A и B в сторону
Q
вр 2) Спроецируем уравнение на
вр
aCA
дуговой стрелки углового ускорения:
a B a BA
координатные оси:
x
4) Соединяем точку C с МЦУ и определяем ускорение
этой точки из одного из соотношений:
вр
вр
ос
ос
a
aA
a
a Bx a Ax a BAx
a BAx
a Ax AB cos( a BA
, x) 2 AB cos( a BA
, x),
и направляем вектор ускорения под
B C .
вр
вр
ос
ос
AQ BQ CQ
углом к отрезку QC в сторону
a By a Ay a BAy
a BAy
a Ay AB cos( a BA
, y ) 2 AB cos( a BA
, y ).
дуговой стрелки углового ускорения.
3) Из этих уравнений можно найти угловые скорость и ускорение.
2
aA
4) Запишем теорему о сложении ускорений для точек С и A:
вр
и изобразим компоненты ускорений:
aC a A aCA
5) Спроецируем уравнение на
координатные оси:
ос
aCA
.
вр
вр
ос
ос
aCx aCx aCAx
aCAx
aCx AC cos( aCA
, x) 2 AC cos( aCA
, x),
вр
вр
ос
ос
aCy aCy aCAy
aCAy
aCy AC cos( aCA
, y ) 2 AC cos( aCA
, y ).
Пример решения – См. задачу М.18.13 “Теоретическая механика
в примерах и задачах. Кинематика” (электронное пособие автора
www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ),
16

20. Лекция 4

Сложное движение точки – такое движение, при котором точка участвует одновременно в двух или нескольких движениях.
Примеры сложного движения точки (тела): лодка, переплывающая реку; человек, идущий по движущемуся эскалатору; камень подвижной кулисы,
поршень качающегося цилиндра; шары центробежного регулятора Уатта.
Для описания сложного движения точки или для представления движения в виде сложного используются
неподвижная система отсчета O1 , связанная с каким-либо условно неподвижным телом, например, с Землей, и
подвижная система отсчета Oxyz, связанная с каким-либо движущимся телом.
Абсолютное движение ( a ) - движение точки, рассматриваемое относительно неподвижной системы
vr
a
отсчета. Относительное движение ( r ) - движение точки, рассматриваемое относительно подвижной
v
z
системы отсчета.
r
M
Переносное движение ( e ) - движение подвижной системы отсчета, рассматриваемое относительно
ve
неподвижной системы отсчета.
y
ωe
Абсолютная скорость (ускорение) точки va ( aa ) - скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно
r z
неподвижной системы отсчета.
k j
e O x vO
Относительная скорость (ускорение) точки vr ( ar ) – скорость (ускорение) точки, вычисленная относительно
i y
подвижной системы отсчета.
Переносная скорость (ускорение) точки ve ( ae ) – скорость (ускорение) точки,
O
принадлежащей подвижной системе координат или твердому телу, с которым жестко связана подвижная
O1
система координат,
совпадающей с рассматриваемой движущейся точкой в данный момент времени и
x
вычисленная относительно неподвижной системы отсчета.
Теорема о сложении скоростей – абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей точки.
В любой момент времени справедливо соотношение:
O r O xi yj zk .
Продифференцируем это соотношение по времени имея в виду, орты i, j, k изменяют свое направление в общем случае движения
свободного тела, с которым связана подвижная система координат:
Здесь первое слагаемое (vO) - скорость полюса O;
следующие три – относительная скорость точки (vr).
d d O dr d O dx
dy
dz
di
dj
dk
i
j k x y z .
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
di
( e i );
dt
dj
Здесь
использована
векторная
формула
для
Таким
образом, с учетом
того,
что
( e j );
линейной
скорости
точки относительно
оси вращения:
производная
по времени
радиуса-вектора
a dt r
v v v e.
есть абсолютная скорость, получаем:
dr d
dk
( e r ).
( e k ).
2
2
Модуль вектора
dt dt
v a v r v e 2 v r dt
v e sin( v r , v e ) .
Для последних трех слагаемых следует определить
производные по времени от ортов i, j, k:
абсолютной скорости:
vO
vr
Подставим векторные
произведения
в последние три слагаемые:
x( e i ) y( e j ) z ( e k )
e ( xi yj zk ) e r .
Сумма первого и последнего слагаемого
– скорость точки свободного тела есть
ve
переносная скорость точки (ve):
vO e r .
17

21.

■
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) – абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного,
переносного и кориолисова ускорений точки.
d d O
di
dj
dk
x i y j z k x y z .
Было получено ранее соотношение для скорости:
dt
dt
dt
dt
d O
di
dj
dk
di
dj
dk
d 2i
d2 j
d 2k
Продифференцируем это соотношение d
x i y j z k x y z
x y z
x 2 y 2 z 2 .
по времени еще раз:
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt 2
dt 2
dt
dt
dt
2
dt
2
Здесь первое слагаемое (aO) - ускорение полюса O;
следующие три – относительное ускорение точки (ar).
Для последних трех слагаемых
следует определить вторые
производные по времени
от ортов подвижной системы
координат i, j, k:
В оставшихся шести
слагаемых сложим
одинаковые члены,
подставим векторные
произведения для первых
производных по времени от
ортов и сгруппируем:
aO
ar
d e
d 2i d
( e i )
i e ( e i );
2
dt
dt
dt
d e
d2 j d
( e j )
j e ( e j );
2
dt
dt
dt
d e
d 2k
d
( e k )
k e ( e k ).
2
dt
dt
dt
ac
Подставим эти выражения
в последние три слагаемые
и сгруппируем:
Сумма первого и полученных
двух слагаемых – ускорение
точки свободного тела есть
переносное
ускорение точки (ae):
ae
di
dj
dk
2 x y z 2 x ( e i ) y ( e j ) z ( e k ) 2( e v r ).
dt
dt
dt
Таким образом, с учетом того, что вторая производная по времени
радиуса-вектора есть абсолютное ускорение, получаем:
■
Величина и направление ускорения Кориолиса:
Модуль вектора кориолисова ускорения:
a c 2 e v r sin( e , v r ).
Ускорение Кориолиса обращается в ноль
в двух случаях:
1.
Угловая скорость переносного движения равна 0 (поступательное
переносное движение).
2.
Вектор угловой скорости параллелен вектору относительной
скорости (синус угла между векторами обращается в 0).
d e
xi e ( e xi )
dt
d e
yj e ( e yj )
dt
d e
zk e ( e zk )
dt
e r e ( e r ).
aO e r e ( e r ).
Полученная компонента ускорения
представляет собой кориолисово
ускорение (ac):
c
r
a 2( e v ).
a a a a .
a
r
e
c
Направление вектора
кориолисова ускорения:
Определяется по одному
из трех правил:
1.
По определению векторного
произведения (см. л.3.2).
2.
По правилу правой руки (см. л.3.2).
3.
По правилу Жуковского:
vr
v1
e
e
r
б)
Повернуть проекцию вектора относительной скорости
a)
Спроецировать вектор относительной скорости
на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости. на прямой угол в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
ac
18

22.

■
Причины возникновения ускорения Кориолиса: Формально ускорение Кориолиса было выведено группировкой слагаемых произведений,
содержащих проекции относительной скорости и производные по времени от ортов подвижной системы координат. При этом ранее было получено
удвоенное число таких слагаемых.
Для прояснения физических причин возникновения ускорения Кориолиса рассмотрим качественный пример, в котором специально будем
полагать постоянными вектор относительной скорости (в подвижной системе координат) и вектор угловой переносной скорости (вращения
подвижной системы координат относительно неподвижной оси):
Пусть в некоторый момент времени положение точки и вектора относительной и переносной скоростей таковы, как они изображены н
рисунке (вид сверху):
ve
vr
ve
vr
ωe
ωe
Через некоторое время точка удалится от оси вращения и тело повернется
на некоторый угол.
В результате:
1)
относительная скорость изменится по направлению из-за наличия
переносной угловой скорости и
2)
переносная линейная скорость изменится по величине из-за
наличия относительной скорости, изменяющей расстояние точки до
оси вращения.
Таким образом, можно считать что существует две причины возникновения
ускорения Кориолиса:
1) переносная угловая скорость влияет на относительную скорость, a
2) относительная скорость в свою очередь влияет на переносную линейную скорость.
Возможно, это поможет запомнить коэффициент, равный двум, в формуле,
определяющей ускорение Кориолиса.
c
r
■
Примеры определения направления ускорения Кориолиса
удобно рассмотреть для случаев различного положения движущихся
точек по поверхности Земли, вращающейся относительно своей оси:
a 2( e v ).
vr
vr
ac
ac
a
vr
c
vr
vr
e
19