Случайные величины
Определение. Пусть дано вероятностное пространство
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть X-случайная величина.
Следовательно,
Классификация случайных величин
Закон распределения вероятностей ДСВ(дискретной случайной величины)
Равномерное дискретное распределение
Пример
Решение
Искомый ряд распределения
Распределение Пуассона
Тогда
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Пример
Ограниченное ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Решение
Гипергеометрическое распределение
Решение
Пример. Y=2X
Независимые СВ
Строгое определение
Сумма ДСВ
Замечание
Пример Z=X+Y, где X,Y-независимые СВ.
Произведение ДСВ
Пример Z=XY, где X,Y-независимые.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание М(Х) конечной случайной величины Х определяется равенством:
Решение
Решение
Вероятностный смысл математического ожидания
Свойства математического ожидания
Свойство 1
Свойство 2
Пример Y=2X
Свойство 3
Следствие
Свойство 4
Следствие
Пример
Математическое ожидание биномиальной случайной величины
Пример
Решение
Математическое ожидание СВ, имеющей распределение Пуассона
По определению математического ожидания
Математическое ожидание СВ, имеющей геометрическое распределение
Задача 1
Решение
Задача 2
Решение
Задача 3
Решение
Задача 4
Решение
Задача 5
Решение
Задача 6
Решение
Задача 1
Решение
Задача 2
Решение
Задача 3
Решение
Задача 4
Решение
Вопросы к лекции 8
1.67M
Категория: МатематикаМатематика

Случайные величины (Лекция 8)

1.

Лекция 8

2. Случайные величины

Виды случайных величин.
Задание дискретной
случайной величины

3. Определение. Пусть дано вероятностное пространство

, S , p
Тогда случайная величина Xчисловая функция
X : R

4. ОБОЗНАЧЕНИЯ

Будем обозначать случайные
величины буквами X, Y, Z, а их
значения – x, y, z.

5.

Пример
случайная величина X имеет
три возможных значения
x1 , x 2 , x 3

6. Пусть X-случайная величина.

Рассмотрим события
A : X x
B : X x
C : X x

7. Следовательно,

P A P X x
P B P X x
P C P X x

8. Классификация случайных величин

Два основных класса:
Дискретные
1.
2.
Конечные
Бесконечные
Непрерывные

9.

Дискретной
(прерывной) называют
случайную величину с
дискретным
множеством значений.

10.

Дискретные и непрерывные
случайные величины
П1. Бросание монеты. X=1, если
выпал герб, иначе X=0.
П2. Стрельба по мишени. Значение
случайной величины – количество
выбитых очков.
П3. Измерение роста человека.
Случайная величина – рост случайно
выбранного человека.

11. Закон распределения вероятностей ДСВ(дискретной случайной величины)

12.

Закон распределения ДСВ соответствие между значениями и
их вероятностями;
основные способы задания:
таблично, аналитически (в виде
формулы) и графически.

13.

Табличный способ задании закона
распределения ДСВ
Х
р
x1
x2

p1
p2

xn
pn

14.

События
X x1 , X x 2 , ..., X x n
образуют полную группу;
следовательно,
p1 p 2 ... p n 1.

15.

Если множество возможных
значений X бесконечно , то ряд
p1 p2 ...
сходится и его сумма равна
единице.
Данную таблицу при
возрастании xi называют рядом
распределения дискретной
случайной величины.

16.

Пример
В денежной лотерее выпущено
100 билетов. Разыгрывается один
выигрыш в 50 рублей и десять
выигрышей по 1 рублю.
Найти ряд распределения
случайной величины X – стоимости
возможного выигрыша для
владельца одного лотерейного
билета.

17.

Решение
x3 50, x2 1, x1 0.
p3 0,01, p2 0,1, p1 0,89.
X
P
0
0.89
1
0.1
50
0.01

18.

Пример
В денежной лотерее выпущено
100 билетов по цене 10 рублей.
Разыгрывается один выигрыш в 100
рублей и десять выигрышей по 20
рублей.
Найти закон распределения
случайной величины X – прибыль
владельца одного лотерейного
билета.

19.

Решение
x3 90, x2 10, x1 10.
p3 0, 01, p2 0,1, p1 0,89.
X
P
-10
0.89
10
0.1
90
0.01

20. Равномерное дискретное распределение

X
P
x1
x2
1/n
1/n


xn
1/n

21.

Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний по
схеме Бернулли с параметрами р и
q=1– p.
ДСВ X ─ число успехов в этих
испытаниях.

22.

Значения X :
x1 0, x 2 1, x 3 2,...., x n 1 n.
По формуле Бернулли:
Pn ( X k ) C p q
k
n
k
n k
,
где k = 0, 1, 2, …, n.
Формула является аналитическим
выражением искомого закона
распределения.

23.

Такая ДСВ называется
биномиальной (имеет
биномиальный закон
распределения)
n 1
n
n 1
( p q) C p C p q ...
n
k
n
n
... C p q
k
n
k
n k
... C q .
0 n
n

24.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
X
P
0
q
1
n
npq

n 1

n
p
n

25. Пример

Монета брошена 2 раза.
Написать ряд распределения
случайной величины X – числа
выпадений «герба».

26. Решение

1
p
2
1 1
q 1 .
2 2
1 2
P2 (0) C q ( ) 0,25.
2
0
2
2
1 1
P2 (1) C pq 2 0,5,
2 2
1
2
1 2
P2 (2) C p ( ) 0,25,
2
2
2
2

27. Искомый ряд распределения

X
0
1
2
P
0.25
0.5
0.25

28. Распределение Пуассона

Пусть производятся испытания
по схеме Пуассона с параметром
.
X – случайная величина,
показывающая число успехов.

29. Тогда

e
P( X k )
.
k!
k

30.

Эта формула выражает закон
распределения Пуассона вероятностей
массовых (n велико) и редких (р мало )
событий.

31. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Обозначим через Х дискретную
случайную величину – число
испытаний, которые нужно провести до
первого появления события А.
P( X k ) q
k 1
p.

32.

Полагая k = 1, 2, …, получим
геометрическую прогрессию с первым
членом р и знаменателем q (0<q<1):
2
p, qp , q p, ..., q
k 1
p,...
По этой причине распределение
называют геометрическим.
Сумма ряда
p
p
1.
1 q p

33. Пример

Охотник стреляет по зайцу,
пока не попадет.
Составить ряд распределения
случайной величины X – количество
сделанных выстрелов,
если вероятность попадания при
одном выстреле равна 0,6.

34.

p=0,6 и q=0,4.
P( X k ) q
X
1
P
0,6 0,24
2

k 1
p.
n
0,4 0,6
n 1


35. Ограниченное ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Охотник, имея 4 патрона, стреляет по
зайцу, пока не попадет или не
закончатся патроны.

36.

Составить ряд распределения
случайной величины X – количество
сделанных выстрелов,
если вероятность попадания при
одном выстреле равна 0,6.

37. Решение

p=0,6; q=0,4.
P(X=1)=0,6 будет один выстрел с
попаданием;
P(X=2)=0,4 0,6=0,24 первый выстрел
промах, второй попадание;
P(X=3)=0,4 0,4 0,6=0,096 два промаха,
третий попадание;
P(X=4)=0,4 0,4 0,4 0,6+0,4 0,4 0,4 0,4=
=0,064

38.

P( X k ) q p, k n
k 1
P( X k ) q , k n
k 1
X
1
P
0,6 0,24 0,096 0,064
2
3
4

39. Гипергеометрическое распределение

P ( X m)
m
n m
C M C N M
n
CN
.

40.

Гипергеометрическое
распределение определяется тремя
параметрами: N, M, n. Или
M
N, n и p =
,
N
где р – вероятность того, что первое
извлечённое изделие стандартное.

41.

Пример
Среди 50 изделий 20 окрашенных.
Составить ряд распределения
случайной величины X – количества
окрашенных изделий среди 3
отобранных изделий.

42. Решение

По условию, N = 50,
M = 20, n =3, а m принимает значения
от 0 до 3.
m
M
n m
N M
n
N
C C
P ( X m)
C

43.

0
C20
C503 020 1 C303
29
P( X 0)
3
3
C50
C50
140
1
C20
C503 120 20 C302
87
P( X 1)
3
3
C50
C50
196
2
3 2
2
1
C20
C50
C
C
57
20
20
30
P( X 2)
3
3
C50
C50
196
3
3
C20
C503 320 C20
C300
57
P( X 3)
3
3
C50
C50
980

44.

X
P
0
1
2
3
29/140 87/196 57/196 57/980

45.

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН

46.

Пусть C – некоторая константа, не
равная нулю. Определим новую
дискретную случайную величину
Y=СХ.
X
x1

p
p1

Y
Cx1

Cxn
p
p1

p1
xn
pn

47. Пример. Y=2X

X
P
-1
0,2
0
0,5
2
0,3
Y
P
-2
0,2
0
0,5
4
0,3

48. Независимые СВ

Определение.
Две случайные величины называются
независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит
от того, какие возможные значения
приняла другая величина.

49. Строгое определение

ДСВ X и Y называются независимыми,
если для всех возможных их значений
P X x Y y P X x P Y y

50. Сумма ДСВ

Z X Y;
z
k
xi y j ;
P zk
P X x Y y
zk xi y j
i
j

51. Замечание

Для независимых СВ
P X x Y y P X x P Y y
Для зависимых СВ
P X x Y y P X x PX x Y y

52. Пример Z=X+Y, где X,Y-независимые СВ.

X
P
-1
0,3
0
0,3
1
0,4
Y
P
-1
0,1
0
0,5
1
0,4
Z=X+Y
-2
P
0,03
-1
0
1
2
0,18 0,31 0,32 0,16

53.

P Z 2 P X 1 Y 1
P Z 1 P X 1 Y 0 P X 0 Y 1
P Z 0 P X 1 Y 1 P X 0 Y 0 P X 1 Y 1
P Z 1 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0
P Z 2 P X 1 Y 1

54. Произведение ДСВ

Z XY ;
z
k
xi y j ;
P zk
P X x Y y
zk xi y j
i
j

55. Пример Z=XY, где X,Y-независимые.

X
P
-1
0,3
0
0,3
1
0,4
Y
P
-1
0,1
0
0,5
1
0,4
Z=XY
-1
0
1
P
0,16
0,65
0,19

56. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

57. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Обозначение:
MX или M(X)

58. Математическое ожидание М(Х) конечной случайной величины Х определяется равенством:

M ( X ) x1 p1 x 2 p 2 ... x n p n .
M ( X ) xi pi
i 1
(математическое ожидание существует,
если ряд сходится абсолютно.)

59.

Пример
Найти математическое ожидание
случайной величины Х
Х
р
3
0,1
5
0,6
2
0,3

60. Решение

M ( X ) 3 0,1 5 0,6 2 0,3 3,9.

61.

Пример
Найти математическое ожидание числа
появлений события А в одном
испытании, если вероятность события А
равна p.

62. Решение

X
0
1
P
q
P
M ( X ) 1 p 0 q p.

63. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в
которых случайная величина Х приняла
m1 раз значение x1 , m 2 раз значение
x2 ,..., mk раз значение x k , причём
m1 m 2 ... m k n.
Х=
x1 m1 x 2 m 2 ... x k m k .

64.

Среднее арифметическое
x1 m1 x 2 m 2 ... x k m k
X
,
n
или
mk
m1
m2
X x1 x 2
... x k
n
n
n

65.

m1
n
m2
n
- относительная частота
значения x1 ,
- относительная частота
значения x 2 и т.д.,
W1
W2
X x1W1 x2W2 ... xk Wk .

66.

Допустим, что число испытаний
достаточно велико. Тогда :
W1 p1 , W2 p 2 , ...,Wk p k
или
X x1 p1 x2 p2 ... xk pk

67.

Итак,
X M (X )
Вероятностный смысл
полученного результата таков:
Математическое ожидание
приближённо равно (тем точнее, чем
больше число испытаний) среднему
арифметическому значений
случайной величины.

68. Свойства математического ожидания

69. Свойство 1

Математическое ожидание
постоянной величины равно
самой постоянной:
М (С) = С.
M (C ) C 1 C.

70. Свойство 2

Постоянный множитель можно
выносить за знак математического
ожидания:
М (cХ) = cМ (Х).

71.

Доказательство:
X
x1
x2

xn
P
p1
p2

pn
Закон распределения СВ cХ:
cX
cx1
cx2

cxn
P
p1
p2

pn

72.

M (cX ) cx1 p1 cx2 p2 ... cxn pn
c( x1 p1 x2 p2 ... xn pn ) cM ( X ).
Итак, М (cХ) = cМ (Х).

73. Пример Y=2X

Y=2X
Пример
X
P
-1
0,2
0
0,5
2
0,3
Y
P
-2
0,2
0
0,5
4
0,3
MX=(-1) 0,2+0 0,5+2 0,3=0,4
MY=(-2) 0,2+0 0,5+4 0,3=0,8=2 MX

74. Свойство 3

Математическое ожидание суммы
двух случайных величин равно сумме
математических ожиданий слагаемых:
M (X+Y) = M (X) + M (Y).

75. Следствие

Математическое ожидание суммы
нескольких случайных величин равно
сумме математических ожиданий
слагаемых.

76.

Пример
Производятся 3 выстрела с
вероятностями попадания в цель,
равными:
p1 0,4, p 2 0,3, p 3 0,6.
Найти математическое ожидание
общего числа попаданий.

77.

Решение
X 1 ={число попаданий при первом
выстреле}
M ( X 1 ) 0,4.
M ( X 2 ) 0,3, M ( X 3 ) 0,6.
X X1 X 2 X 3.

78.

M ( X ) M ( X1 X 2 X 3 )
M ( X1 ) M ( X 2 ) M ( X 3 )
0, 4 0,3 0, 6 1,3

79.

Пример
Найти математическое ожидание
суммы числа очков, которые могут
выпасть при бросании двух
игральных костей.

80.

Решение
Х ={число очков на первой кости},
Y ={число очков на второй кости}.
Возможные значения этих величин
одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5, и 6,
причём вероятность каждого из этих
1
значений равна
.
6

81.

1
1
1
1
1
1 7
M (X ) 1 2 3 4 5 6 .
6
6
6
6
6
6 2
7
.
Очевидно, что и M (Y) = 2
7 7
M ( X Y ) M ( X ) M (Y ) 7.
2 2

82. Свойство 4

Математическое ожидание
произведения двух независимых
случайных величин равно
произведению их математических
ожиданий:
M (XY) = M (X) M (Y).

83. Следствие

Математическое ожидание
произведения нескольких взаимно
независимых случайных величин равно
произведению их математических
ожиданий.
M ( XYZ ) M ( XY Z ) M ( XY ) M ( Z )
M ( X ) M (Y ) M ( Z ).

84. Пример

Независимые случайные величины X
и Y заданы следующими законами
распределения:
X
P
5
2
4
0,6 0,1 0,3
Y
7
9
P
0,8
0,2
Найти математическое ожидание
случайной величины XY.

85.

Решение
M ( X ) 5 0, 6 2 0,1 4 0,3 4, 4;
M (Y ) 7 0,8 9 0, 2 7, 4.
M ( XY ) M ( X )M (Y ) 4,4 7,4 32,56.

86. Математическое ожидание биномиальной случайной величины

87.

Теорема.
Если X-биномиальная СВ с
параметрами n и p, то
М X = np

88. Пример

Вероятность попадания в цель при
стрельбе из орудия р = 0,6. Найти
математическое ожидание общего
числа попаданий, если будет
произведено 10 выстрелов.

89. Решение

M ( X ) np 10 0,6 6

90. Математическое ожидание СВ, имеющей распределение Пуассона

91. По определению математического ожидания

e
MX kP k k
k!
k 0
k 1
k
e
e
k 1 !
k 1
m 0 m !
k
e
e
m

92.

Теорема.
Математическое ожидание
случайной величины , имеющей
распределение Пуассона с
параметром
, равно .

93. Математическое ожидание СВ, имеющей геометрическое распределение

94.

Теорема
Математическое ожидание
случайной величины ,
имеющей геометрическое
распределение с параметром
p, равно 1/p.

95.

Задачи

96. Задача 1

Дискретная случайная величина X
имеет закон распределения
X
p
-6
0,6
4
0,1
0
-1
0,1
0,2
Найти математическое ожидание с.в. X

97. Решение

MX x1 p1 x2 p2 ... xk pk
MX=(-6) 0,6+4 0,1+0 0,1+(-1) 0,2=-3,4

98. Задача 2

Случайная величина Х имеет закон
распределения
X
0
p
1/2
1
1/4
2
1/8
3
4
1/16 1/32
Найти математическое ожидание с.в. X

99. Решение

MX x1 p1 x2 p2 ... xk pk
MX=0 1/2+1 1/4+2 1/8+3 1/16+4 1/32=
=13/16

100. Задача 3

Известно, что MX=2; MY=6. Найти MZ,
если Z=3 X+4 Y.

101. Решение

Так как Z=3 X+4 Y, то
MZ=M(3 X+4 Y)=M(3 X)+M(4 Y)=3 MX+
+4 MY=3 2+4 6=6+24=30

102. Задача 4

Независимы дискретные случайные величины
Х и Y заданы следующими законами
распределения
X
0
p
0,3
3
5
Y
0
2
0,5
0,2
p
0,2
0,8
Найти закон распределения с.в. Z=X+Y

103. Решение

Случайная величина Z принимает
следующие значения
0; 2; 3; 5; 7.
Найдем вероятности для каждого из
значений
P(Z=0)=P(X=0) P(Y=0)=0,3 0,2=0,06
P(Z=2)=P(X=0) P(Y=2)=0,3 0,8=0,25

104.

P(Z=3)=P(X=3) P(Y=0)=0,5 0,2=0,1
P(Z=5)=P(X=3) P(Y=2)+P(X=5) P(Y=0)=
=0,5 0,8+0,2 0,2=0,4+0,04=0,44
P(Z=7)=P(X=5) P(Y=2)=0,2 0,8=0,16
Z
p
0
2
0,06 0,25
3
0,1
5
0,44
7
0,16

105. Задача 5

Вероятность попадания в цель при
стрельбе из орудия равна 0,5. Найти
математическое ожидание общего
числа попаданий, если будет
произведено 24 выстрела.

106. Решение

Имеем дело с биномиальным
распределением
MX=n p, где X ─ общее число попаданий
MX=24 0,5=12

107. Задача 6

Вероятность отказа прибора равна 0,1.
Опыт проводится до тех пор, пока
прибор не откажет. Построить закон
распределения и найти математическое
ожидание c.в. X ─ числа опытов.

108. Решение

Случайная величина Х принимает
значения 1; 2; 3; …; k; …
Используя геометрическое
распределение найдем вероятности
P(X=1)=0,1
P(X=2)=0,9 0,1
P(X=3)=0,9 0,9 0,1

109.


P(X=k)=
0,9
k 1
0,1
Закон распределения с.в. X
X
1
p
0,1
2
0,09


k
0,9k 1 0,1

110.

k 1
0,9
0,1 =
MX=1 0,1+2 0,9 0,1+…k
=0,1 (1+2 0,9+…+ k
=
0,1
10
2
(1 0,9)
0,9k 1 0,1
)=

111.

Задачи

112. Задача 1

Две кости бросили два раза. Построить
закон распределения Случайной
величины Х ─ четное число очков на обеих
костях.

113. Решение

Кости бросают два раза, то есть n=2.
Четное число очков может быть, если
(2,2); (2,4); (4,2); (4,4); (4,6); (6,4);
(6,6); (2,6); (6,2).
p=9/36
Воспользуемся гипергеометрической
схемой:

114.

9
P2 (0) C
36
0
0
2
1
2
9
27
36 16
1
9
P2 (1) C
36
27 3
36 8
9
P2 (2) C
36
2
1
2
2
2
0
1
27
36 16

115.

Закон распределения случайной
величины X
X
0
1
p
9/16
3/8
2
1/16

116. Задача 2

Построить ряд распределения
случайной величины X ─ количество
пятерок при трех бросках игральной кости.

117. Решение

Пятерка может выпасть 0,1,2 или 3
раза.
Вероятность выпадения пятерки в
одном броске равна p=1/6.
Вероятность, что в трех бросках
пятерка ни разу не выпадет равна
p=5/6 5/6 5/6=125/216.

118.

Вероятность, что в трех бросках пятерка
выпадет три раза равна
p=1/6 1/6 1/6=1/216.
Вероятность, что в трех бросках пятерка
выпадет один раз равна
p=1/6 5/6 5/6+5/6 1/6 5/6+5/6 5/6 1/6=
=75/216
Вероятность, что в трех бросках пятерка
выпадет два раза
p=1/6 1/6 5/6+1/6 5/6 1/6+5/6 1/6 1/6=
=15/216

119.

Ряд распределения случайной
величины X
X
P
0
1
125/216 75/216
2
3
15/216
1/216

120. Задача 3

В денежной лотерее 500 билетов.
Разыгрываются 2 по 100 рублей; 2 по
500 рублей; 10 по 50 рублей. Найти
закон распределения случайной
величины X ─ стоимость возможного
выигрыша для владельца одного билета.

121. Решение

Случайная величина X принимает
значения возможного выигрыша, то
есть 0, 50, 100 и 500.
Вероятность выигрыша 500 рублей
равна p= 2/500;
Вероятность выигрыша 100 рублей
равна p=2/500;
Вероятность выигрыша 50 рублей равна
p=10/500.

122.

Всего выигрышных билетов 14, значит
невыигрышных билетов 500-14=486.
Вероятность, что выигрыша не будет равна
p=486/500.
Закон распределения случайной величины Х
X
p
0
50
486/500 10/500
100
500
2/500
2/500

123. Задача 4

В партии из 10 деталей 3
нестандартных. Наудачу отобраны 2
детали. Построить закон распределения
случайной величины Х ─ числа
нестандартных деталей.

124. Решение

Воспользуемся гипергеометрической
схемой: N=10; n=2; M=3; m=0,1,2.
Случайная величина Х принимает
значения 0,1,2.

125.

C C
7
P2 (0)
2
C10
15
0
3
2
7
C C
7
P2 (1)
2
C10
15
1
3
1
7
C C
1
P2 (2)
2
C10
15
2
3
0
7

126.

Закон распределения случайной
величины Х
X
0
p
7/15
1
7/15
2
1/15

127. Вопросы к лекции 8

Перечислите виды случайных величин.
Какая случайная величина называется
дискретной? Примеры.
Что называют законом распределения
случайной величины?
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Геометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение.

128.

Конец лекции 8
English     Русский Правила