Действия над конечными случайными величинами

1. Российский университет дружбы народов Институт гостиничного бизнеса и туризма

В. Дихтяр
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
Раздел 3.
Введение в теорию вероятностей
Тема 3-3. Действия над конечными случайными
величинами
Москва 2017

2. Содержание

Конечные случайные величины
Совместное распределение
Математическое ожидание
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение
Ковариация и коэффициент корреляции
2

3. Конечная случайная величина

1 2 ... n
...
1
2
n
Ω: A =
X(ω)
=
p p ... p
n
1 2
x1 x2 ... xn
закон распределения конечной случайной величины
x1 x2 ... xn
, p1 p2 ... pn 1
X
p1 p2 ... pn
3

4. Примеры*

1. (М) X: {количество «орлов»} = 0 и 1, p = ½
1
0
X
1 2 1 2
2. Постоянная случайная величина
c
c
1
3. Биноминальная величина
1
0
n
n 1
q
npq
...
...
k
Bn , p
....
Cnk p k q n k ....
k
k k n k
Cn p q
n 1
n
n 1
n
np q
p
4

5. График функции вероятностей конечной случайной величины

MIq_307
5

6.

1.
Совместное распределение X
y1 y2 ..... yn
Y
q1 q2 ..... qn
x1 x2 ..... xm
Х
p1 p2 ..... pm
2.
Совместные вероятности
pij P Х xi , Y y j ,
i 1,2, ..., m; j 1,2,...., n.
2.
Совместное распределение ({хi, уj}; pij)
p
ij
1
i, j
6

7. Таблица совместного распределения

Y
Х
y1
X1
X2
..
.
Xi
..
.
Xm
p11
p21
…
pi1
…
pm1
q1
y2
p12
p22
…
pi2
…
pm2
q2
…
…
…
…
…
…
…
…
yj
p1j
p2j
…
pij
…
pmj
qj
…
…
…
…
…
…
…
…
yn
p1n
p2n
…
pin
…
pmn
qn
p1
p2
…
pi
…
pm
1
7

8. Таблица совместного распределения Х и Y

Y
y1
…
yj
…
yn
p
Σj
X1
..
.
N11
…
N1j
…
N1n
p1
..
.
N1
Xi
..
.
Ni1
…
Nij
…
Nin
pi
..
.
Ni
Xm
Nm1
…
Nmj
…
Nmn
pm
Nm
Σi
N•1
q
q1
X
N•j
…
qj
N•n
…
qn
N
1
8

9. Совместное распределение

∑pij (j = 1…n) = pi , ∑pij (i = 1…n) = qj
3ная совместное распределение X и Y, можно
восстановить законы распределения величин
XиY
Обратное утверждение неверно.
Распределения X и Y называют
маржинальными по отношению к их
совместному распределению.
9

10. Независимые X

X, Y – независимы ≡{X= хi}, {Y=уj}независимы, i=1,2, ...,
т; j=1, 2, ..., п;
pij P X xi P Y y j pi q j
Действия над конечными случайными величинами
X+Y Xi+yj; XY Xiyj;
Свойства:
(X + Y) +X = X + (Y + Z), (XY)z = X(YZ)
X + Y = Y + X, XY = YX
X(Y + Z) = XY + XZ
10

11. Теорема:

Пусть независимые X1 , X2 , …….., Xn
бернуллиевы случайные величины:
0
X 1 X 2 ... X n
q
1
p
Bn,p = X1 + X2 + … +Xn
11

12. Свойства:

1. Мс = с Мс = с • 1 = с
2. X 0 МX ≥ 0
c
c
1
3. М(сX) = сМX
4.
M X Y ( xi y j ) pij M ( X ) M (Y )
i, j
5. M c1 X 1 c2 X 2 ... cn X n c1MX 1 c2 MX 2 ... cn MX n
12

13. MX биномиальной X

Bn,p = X1 + X2 + … + Xn
0 1 Бернуллиевы величины
где X 1 X 2 ... X n
q p
MBn,p= MX1 + MX2 + … + MXn
MXi = 0 q + 1 p = p
MBn,p сумма п одинаковых слагаемых, равных р, т.е.
МВn,p = пр
13

14. Пример

U: {W=4, B=6} наугад вынимают шар и
возвращают обратно. Опыт повторяют 10 раз =
W шар. X — число успешных испытаний.
Биномиальная случайная величина при n = 10
и р = 0,4 (вероятность успеха)
MX = MB10, 0, 4 = 10 0,4 = 4
14

15. Свойство 5

M(X – MX) = MX – M(MX) = MX - MX = 0
Центрированная Y = X – MX, при MY = 0
Свойство 6
M X Y xi y j pij
i, j
Для независимых случайных величин pij = pi qj
m
n
M X Y xi y j pi q j xi pi y j q j MX MY
i, j
i 1
j 1
15

16. Дисперсия

DX M ( X MX ) .
2
Случайная величина ( X MX ) 2 распределена по закону
( xi MX ) 2
,
p
i
n
DX ( xi MX ) pi X i MX P
2
i 1
2
0
16

17. Среднеквадратичное отклонение σ2(x)  σx2

Среднеквадратичное отклонение σ2(x) σx2
стандартное отклонение X
x DX
Свойства:
DX 0
D(cX) = c2DX
D(X + c) = DX; D(aX +b) = a2DX
D(X + Y) = DX + DY (X и Y независимы)
DX = MX2 – (MX)2
17

18. Пример с U…

U: B=3, W=2. Из U наугад вынимают 2 шара. X —
число W среди вынутых. закон распределения X
1
0
X
0,3 0,6
2
0,1
МX = 0 • 0,3 + 1 • 0,6 + 2 • 0,1 = 0,8
DX = (0 - 0,8)2·0,3 + (1 - 0,8)2·0,6 + (2 - 0,8)2·0,1 =
0,64·0,3 + 0,04·0,6 + 1,44·0,1 =0,36
по формуле 5
и МX2 = 1
X2
0 1
имеет распределение X
0,3 0,6
2
4
0,1
DX = 1 - 0,82 = 0,36
18

19. DBn,p

0 1
, i 1,2,..., n.
X i
q p
Dbn,p = DX1 + DX2 + …+ DXn
X2 = X и MX = MX2 = p
DXi = p - p2 = p(1 - p) = pq
DBn , p npq
19

20. Стандартизация X

не меняет дисперсии
D X M ( X MX 0) 2 DX .
Случайная величина
X
X
X MX
DX
DX
называется стандартизованной (по отношению к X )
или просто стандартизацией X
1
MX
M ( X MX ) 0,
DX
1
1
DX
D( X MX )
DX 1.
DX
DX
20

21. Ковариация X и Y

cov( X ,Y ) M ( X Y ) M [( X MX )( Y MY )].
Свойства:
1. Cov(X, Y) = M(X · Y) - MX · MY
2. Cov(X, Y) =Cov (Y, X)
3. cov(X, X ) = DX
4. D(X + Y) = D X + DY + 2cov(X, Y)
5. cov(X, Y) = 0, для независимых (X, Y)
cov( X , Y ) M X M Y 0
21

22. Коэффициент корреляции между случайными величинами:

rX ,Y
Сov( X ,Y ) Сov( X ,Y )
X Y
DX DY
22

23. Свойства

1.
rX,Y = M(X*Y*)
2.
rX,Y = rX*,Y* т.к. MX* = MY* = 0, DX* = DY* = 1
rX ,Y
M[(X MX )(Y MY )]
DX DY
3.
rX,Y ≤ 1
4.
X и Y независимы rX Y= 0
5.
M(X Y ) rX,Y .
коэффициент корреляции равен 1 ≡ случайные
величины линейно зависимы rX,Y = 1 Y = aX +b
23