Основы теории колебаний

1.

Основы теории
колебаний
ВЫПОЛНИЛИ СТУДЕНТЫ 591 ГРУППЫ СТАРУХИН Н.А И ТОКМАКОВ А.Г

2.

Модулированные колебания
Модулированные колебания - колебания, параметры к-рых (амплитуда, фаза, частота, длительность и
т. п.) изменяются во времени. Это понятие распространяется и на колебания, параметры к-рых
изменяются в пространстве, тогда говорят о пространственно модулированных колебаниях; в отличие
от временных M. к. они могут быть дву- и трёхмерными. Далее всюду речь идёт только о колебаниях,
модулированных во времени. Характер исходных (несущих) колебаний и законы их модуляции
разнообразны: от простейших гармонических до хаотических. Это могут быть даже не
колебательные, а, напр., импульсные сигналы с переменными длительностью, скважностью или
другими характерными для импульсной модуляции параметрами.
Простейшим примером M. к., имеющим принципиальное значение для описания мн. физ. процессов
и техн. приложений, является квазигармонич. M. к.:
где a(t) - мгновенная амплитуда, j(t) - полная фаза колебаний, w0 = const - несущая частота, y(t) - фаза
колебаний.

3.

Амплитудно-модулированные колебания
Для передачи информации в радиотехнике используются радио-волны — высокочастотные
электромагнитные колебания, которые возможно эффективно излучать с помощью антенных
устройств и которые способны распространяться в пространстве.
Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное
(несущее) колебание. Это осуществляется с помощью модуляции. Модуляцией называется изменение
параметров несущего колебания по закону передаваемого сообщения. Модуляция, как правило, не
оказывает влияния на способность высокочастотных колебаний распространяться в пространстве.
В самом общем случае, модулированный сигнал можно представить в виде колебания:
a (t)=Am (t) cos [ωt+ψ (t)]=Am (t) cos θ (t)
в котором амплитуда Ат или фаза φ изменяется по закону передаваемого сообщения. Если Ат и ψ —
постоянные величины, то это выражение описывает простое гармоническое несущее колебание, не
содержащее в себе никакой информации.

4.

Однотональная модуляция
Однотональная модуляция. Простейшая форма модулированного сигнала создается
при однотональной амплитудной модуляции – модуляции несущего сигнала гармоническим
колебанием с одной частотой W:
u(t) = Um[1+MЧ cos(Wt)]Ч cos(wot)
Отсюда следует, что модулирующее колебание с частотой W перемещается в область частоты wo и
расщепляется на два колебания, симметричные относительно частоты wo, с частотами соответственно
(wo+W) - верхняя боковая частота, и (wo-W) - нижняя боковая частота Амплитуды колебаний на
боковых частотах равны друг другу, и при 100%-ной модуляции равны половине амплитуды
колебаний несущей частоты. Если получить уравнение с учетом начальных фаз несущей и
модулирующей частоты, то правило изменения фаз аналогично изменению частоты: начальная фаза
модулирующего колебания для верхней боковой частоты складывается с начальной фазой несущей,
для нижней – вычитаются из фазы несущей. Физическая ширина спектра модулированного сигнала в
два раза больше ширины спектра сигнала модуляции.

5.

Векторное представление АМ с тональной модуляцией
Выражение представленное ниже описывает AM-колебание при тональной модуляции. Используя это
выражение, рассмотрим векторную диаграмму АМ-колебания.
Известно, что функция cos(x) может быть описана мгновенным комплексом exp(jx).Тогда, в соответствии
с выражением,мгновенный комплекс АМ-колебания будет иметь вид.
В соответствии с этим выражением на комплексной плоскости представлена векторная диаграмма АМколебания

6.

Двухтональная модуляция
Рассмотрим случай, когда в качестве модулирующего используется гармоническое колебание
Спектр двухтонального АМ-колебания
Где
-парциальные коэффициенты глубины модуляции.
Ясно, что спектр будет содержать пять составляющих а ширина спектра определяется наивысшей
частотой управляющего колебания

7.

Полигармоническая модуляция
Полигармонические колебания. Полигармоническими называют колебания, которые могут быть
представлены в виде суммы двух или более гармонических колебаний с частотами, находящимися в
рациональном соотношении. u(t)=A1cos( 1t)+A2cos( 2t).
Если в качестве модулирующего используется полигармоническое колебание
ширина спектра определяется максимальной частотой управляющего колебания
то
а количество спектральных линий в спектре модулированного колебания как
и амплитуды боковых составляющих определяются парциальными коэффициентами модуляции M n.
Поскольку количество спектральных линий, отстоящих от несущей слева и справа может быть
достаточно большим, то набор линий, отстоящих справа от несущей, называется верхней боковой
полосой (ВБП), а слева — нижней боковой полосой (НБП).
Спектр полигармонического колебания

8.

Мощность АМ-колебания
Мощность колебания определяется квадратами спектральных составляющих:
Даже при максимальном значении коэффициента модуляции лишь 1/3 мощности будет приходить на
боковые полосы и 2/3 приходится на несущее, высокочастотное колебание.Из рассмотренного
материала следует, что для практических целей необходимо уменьшать ширину спектра, а также
снижать затраты мощности на генерацию несущего (высокочастотного) колебания.Для ограничения
ширины спектра АМ-колебания можно исключить из него одну из боковых полос т.к они являются
идентичными. При этом получается и выигрыш в мощности
Можно также предпринять меры по исключению несущей составляющей из спектра. Тогда
В этом случае информационное колебание носит название с подавленной несущей (ПН).Можно
исключить и несущую составляющую и одну из боковых полос спектра. Тогда
В этом случае информационное колебание носит название с одной боковой полосой (ОБП).

9.

Полярная амплитудная модуляция (ПАМ)
Формируется для разделения пары колебаний с различными амплитудными и частотными
параметрами. Суть формирования заключается в модуляции верхнего полупериода несущего
колебания одним низкочастотным Sп(t), нижнего полупериода вторым низкочастотным Sл(t)
колебанием.
Спектр ПАМ при полигармонических низкочастотных колебаниях описывается выражением:
Полярно модулированное колебание
и содержит несущую, нижнюю и верхнюю боковые полосы, а также набор низкочастотных
составляющих с амплитудами, определяемыми суммой двух колебаний

10.

Полярная амплитудная модуляция (ПАМ)
Спектр полярно-модулированного колебания:
Содержит несущую, нижнюю и верхнюю боковые полосы, а также набор низкочастотных
составляющих с амплитудами, определяемыми суммой двух колебаний. АС, АР – суммарные и
разностные амплитуды

11.

Угловая модуляция.
Угловая модуляция-вид модуляции, при которой передаваемый сигнал изменяет либо частоту
ω, либо начальную фазу φ, амплитуда не изменяется. Подразделяется соответственно на
частотную и фазовую модуляцию. Названа так потому что полная фаза гармонического
колебания Ψ(t)=ωt+φ определяет текущее значение фазового угла.
При угловой модуляции в несущем гармоническом колебании
u(t)=Umcos(ωt+φ) значение амплитуды колебаний Um остаётся
постоянным, а информация s(t) переносится либо на частоту
ω, либо на фазовый угол φ. И в том, и в другом случае
текущее значение фазового угла гармонического
колебания u(t) определяет аргумент Ψ(t)=ωt+φ, который
называют полной фазой колебания

12.

Частотная модуляция(ЧМ)
Частотная модуляция (ЧМ) характеризуется линейной
связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой
колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется
сложением частоты высокочастотного несущего колебания со
значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным
коэффициентом пропорциональности:
w(t) = ωo + k s(t), где k – коэффициент пропорциональности.
Соответственно, полная фаза колебаний:
y(t) = ωo(t) + k s(t) dt, или y(t) = ωo(t) + k s(t) dt +j0.
Уравнение ЧМ – сигнала:
u(t) = Um cos(ωo t+k s(t)dt +jo).
Аналогично ФМ, для характеристики глубины частотной
модуляции используются понятия девиации частоты.
Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если
изменяется начальная фаза колебания, изменяется и
мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и
объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ).
По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно
определить, к какому виду модуляции относится
данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких
функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически
не отличаются.
Рисунок: А-несущее колебание,
Б-модулирующий сигнал,
В-ЧМ-сигнал.

13.

Фазовая модуляция(ФМ)
При фазовой модуляции значение фазового угла постоянной
несущей частоты колебаний пропорционально амплитуде
модулирующего сигнала s(t). Соответственно, уравнение
ФМ – сигнала определяется выражением:
u(t) = Um cos[ωo t + k s(t)], где k – коэффициент
пропорциональности.
При s(t) = 0, ФМ – сигнал является простым гармоническим
колебанием. С увеличением значений s(t) полная фаза
колебаний нарастает во времени быстрее и опережает
линейное нарастание. Соответственно, при уменьшении
значений s(t) скорость роста полной фазы во времени
спадает. В моменты экстремальных значений s(t)
абсолютное значение фазового сдвига Δψ между ФМ –
сигналом и линейным нарастанием немодулированного
колебания также является максимальным и носит название
девиация фазы.
Рисунок: 1)модулирующий сигнал
2)несущее колебание(штрих)
ФМ-сигнал(слошная)

14.

Взаимосвязь изменения фазы и частоты во времени.
Согласно обобщенной модели радиосигнала для колебаний с угловой модуляцией
амплитуда остается неизменной, а угловая компонента ψ (t) изменяется во времени.
Для гармонического колебания набег полной фазы в конечный промежуток времени
определяется как:
Δψ = ψ(t2) - ψ(t1) = ωo (t2-t1) =ωo Δt
При этом скорость изменения фазы может быть определена как отношение набега Δψ к
длительности временного промежутка Δt. Когда процесс изменяется во времени,
необходимо перейти к интегральному и дифференциальному соотношениям:
Δψ= ∫ω(t) dt, (интеграл от 0 до 1)
Δψ= ∫(d ψ(t))/dt, (интеграл от 0 до 1)
где t1 = 0 и t2 = t — начальный и конечный моменты времени рассматриваемого
промежутка времени. Из данных выражений следует, что изменение частоты во времени
приводит к изменению фазы по закону интеграла, а изменение фазы во времени приводит
к изменению мгновенной частоты по закону производной. Это положение определяет
взаимосвязь между частотой и фазой, равно как и связь между двумя разновидностями
угловой модуляции – частотной и фазовой.

15.

Сравнение ширины спектров АМ, ЧМ и ФМ.
При амплитудной модуляции спектр огибающей сдвигается в область несущей
частоты ± ωo, “раздваиваясь” и уменьшаясь в два раза по уровню:
По этой причине ширина спектра АМ-сигнала оказывается в два раза больше, чем
у модулирующего сигнала.
В общем случае спектр АМ-сигнала содержит несущую частоту (уровень которой
определяется постоянной составляющей огибающей) , а также верхнюю и
нижнюю боковые полосы.
Фазовая и частотная модуляция тесно взаимосвязаны и вместе называются угловой
модуляцией.
Параметр β называется индексом угловой модуляции. Мгновенная частота такого
сигнала меняется по закону
w (t) = ωo + β Ω cos(Ω t).
Если β >> 1 ( угловую модуляцию называют широкополосной) , то эффективная
ширина спектра сигнала равна удвоенной девиации частоты.
Если β << 1 (при этом угловую модуляцию называют узкополосной) , то можно
приближенно считать, что эффективная ширина спектра сигнала равна удвоенной
частоте модулирующего сигнала.
При индексе модуляции 5-20 ширина полосы ФМ (ЧМ) сигнала в 8-24 раза шире
спектра АМ

16.

Ограничение спектра колебаний с УМ.
Паразитная амплитудная модуляция
Ограничение реального спектра колебания с УМ
приводит к тому, что амплитуда колебания не
остается постоянной. Обобщенно говорят, что
колебание имеет смешанную модуляцию, при
которой помимо угловой компоненты изменяется
и амплитуда. При этом, чем больше ограничение
спектра, тем больше проявляется «паразитная»
амплитудная модуляция.
Реально такая ситуация возникает из-за
неравенства ширины полосы пропускания
частотной характеристики какого-либо
устройства и ширины спектра колебания.
Ограничение спектра
УМ-колебания