Теорія ймовірностей. Основні поняття теорії ймовірностей (лекція 5)

1.

Теорія ймовірностей
Лекція 5

2. Основні поняття теорії ймовірностей

Експеримент (випробування) – може повторюватися багаторазово при
незмінних умовах, при цьому результат експерименту в кожному
конкретному випадку точно передбачити неможливо
Результат експерименту (елементарна подія)
Множина всіх результатів експерименту
Подія – підмножина множини
всіх результатів
Повна група подій – сукупність всіх подій,
які можуть відбутися в даному
випробуванні

3. ПРИКЛАД ВИКОРИСТАННЯ ОСНОВНИХ ПОНЯТЬ

Кубик кладеться в стаканчик, струшується,
з стаканчика викочується на стіл і
котиться до повної зупинки.
Результат: кількість точок на верхній грані,
наприклад, i 2 i 1,...,6
Множина всіх результатів –
{ 1,2,3,4,5,6 }
А – випала парна кількість очок
В – випала непарна кількість очок
С – выпало більше 3 очків
A { 2,4,6 }
B { 1,3,5 }
C { 4,5,6 }

4.

Випадкова подія - це подія, яка за рівних умов може відбутися, а
може і не відбутися в даному випробуванні, тобто її появу не
можна гарантувати
ВИДИ ПОДІЙ
ПОДІЇ
ДОСТОВІРНА
(відбудеться обов'язково)
НЕМОЖЛИВА
(не відбудеться ні при яких
обставинах)
ВІРОГІДНА (ВИПАДКОВА)
(може статися, а може і ні)
ПОДІЇ
СУМІСНІ-НЕСУМІСНІ
ЗАЛЕЖНІ-НЕЗАЛЕЖНІ
РІВНОМОЖЛИВІ

5.

ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ. ДІАГРАМИ ЕЙЛЕРА
Сума подій
або … або
A B
A C D
D { 2,4,5,6 }
A {2,4,6}
добуток
протилежна
подія
і…і
(хоча б один) –
(жодного)
A B Ø
A B
A C E
E { 4,6 }
B {1,3,5}
C G
G { 1,2,3 }
C {4,5,6}

6.

Класичне визначення
ймовірності
Ймовірність події
дорівнює
відношенню кількості виходів, що
сприяють події, до загальної
кількості виходів, тобто
m
P( A)
n
Ймовірність Р(А) може приймати
значення від 0 до 1:
0 P( A) 1

7.

ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ И ПРИМЕРЫ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Перестановки
Сполучення
Cnm
n!
m! ( n m )!
Розміщення
Anm
n!
( n m )!
Розміщення
з повтореннями
n місць
n об’єктів
Вибір m об’єктів з n
об’єктів; порядок не
важливий
Вибір m об’єктів з n
об’єктів; порядок
важливий
m місць
n об’єктів
4! 1 2 3 4 24
0! 1
6!
2! ( 6 2 )!
1 2 3 4 5 6 5 6
15
1 2 1 2 3 4
2
6!
A62
( 6 2 )!
1 2 3 4 5 6 5 6
30
1 2 3 4
1
C62
з цифр 1 і 2 скласти 4-х
значні номери
2 4 16
1111 1121 1222
1112 1211 і т.д.
1122 1212

8. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

• Імовірність появи однієї з двох несумісних подій
дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
P( A B) P( A) P( B)
• Наслідок. Сума ймовірностей протилежних подій
дорівнює одиниці:
P( A) P( A ) 1
• Зауваження. Якщо ймовірність подій позначена як p ,
то ймовірність протилежної події позначають як q ,
тоді:
p q 1

9. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Ймовірність реалізації однієї із двох
сумісних випадкових подій, дорівнює
сумі ймовірностей цих подій, без
ймовірності їхньої спільної появи, тобто:
Р(А або В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

10. Теорема множення ймовірностей

• Імовірність події , обчислена за умови, що відбулася інша подія ,
називається умовною ймовірністю події A і позначається PB (A) ,
A
• або P B
• Можливість спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності
однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні,
що перша вже відбулася:
P( AB ) P( A) PA ( B) P( B) PB ( A)
• Зокрема, для незалежних подій:
P( AB ) P( A) P( B)
тобто ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює
добутку ймовірностей цих подій.

11. Імовірність появи хоча б однієї події

• Імовірність настання події A , що полягає
в появі хоч би однієї з подій A1 , A2 , ..., An ,
незалежних у сукупності, дорівнює
різниці між одиницею і добутком
ймовірностей
протилежних
подій A1 , A2 , ..., An :
P( A) 1 q1q2 ... qn

12. Формула повної ймовірності

• Ймовірність події A , що може настати лише
за умови появи однієї з несумісних подій
B1 , B2 , ..., Bn , що утворюють повну
групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей
кожної з цих подій на відповідну умовну
ймовірність події :
де
P( A) P( B1 ) PB1 ( A) P( B2 ) PB2 ( A) ... P( Bn ) PBn ( A) ,
P( B1 ) P( B2 ) ... P( Bn ) 1

13. Повторні незалежні випробування

Схема випробувань Бернуллі: тільки два можливих
результату – «успіх» та «невдача». Ймовірність успіху p і
ймовірність невдачі q,
p q 1
• Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних
випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події A
дорівнює p, подія настане рівно m раз (байдуже, в якій
послідовності), дорівнює:
m n m
Рn (m) C p q.
m
n
n!
p m q n m
m!(n m)!

14. Формула Пуассона:

• Використовують для рішення задач за
схемою Бернулі, коли n 10 і p 0,1
Pn (m)
e
m
np
m!

15. Формула Муавра-Лапласа

• Використовують для рішення задач за
схемою Бернулі, коли n 10 і p 0,1
Pn ( m)
( x)
1
e
2
x2
2
1
( x)
npq
m np
x
npq
• Для інтервала значень:
Pn (m1 m m2 )
1
2
z2
e
z1
z2
2
dz (
m2 np
npq
) (
m1 np
npq
)

16. ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!