Теорія ймовірностей. Випадкові події (лекція 4)

1.

Теорія ймовірностей
Лекція 4

2.

Випадкові події
Ймовірність події
дорівнює
відношенню числа виходів, що
сприяють події, до загального
m
числа виходів, тобто
P( A)
n
Ймовірність Р(А) може приймати
значення від 0 до 1:
0 P( A) 1

3. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

• Імовірність появи однієї з двох несумісних подій
дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
P( A B) P( A) P( B)
• Наслідок. Сума ймовірностей протилежних подій
дорівнює одиниці:
P( A) P( A ) 1
• Зауваження. Якщо ймовірність подій позначена як p,
то ймовірність протилежної події позначають як q ,
тоді:
p q 1

4. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Ймовірність реалізації однієї із двох
сумісних випадкових подій, дорівнює
сумі ймовірностей цих подій, без
ймовірності їхньої спільної появи, тобто:
Р(А або В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

5. Теорема множення ймовірностей

• Імовірність події , обчислена за умови, що відбулася інша подія ,
називається умовною ймовірністю події A і позначається PB (A) ,
A
• або P B
• Можливість спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності
однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні,
що перша вже відбулася:
P( AB ) P( A) PA ( B) P( B) PB ( A)
• Зокрема, для незалежних подій:
P( AB ) P( A) P( B)
тобто ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює
добутку ймовірностей цих подій.

6. Імовірність появи хоча б однієї події

• Імовірність настання події A , що полягає
в появі хоч би однієї з подій A1 , A2 , ..., An ,
незалежних у сукупності, дорівнює
різниці між одиницею і добутком
ймовірностей
протилежних
подій A1 , A2 , ..., An :
P( A) 1 q1q2 ... qn

7. Формула повної ймовірності

• Ймовірність події A , що може настати лише
за умови появи однієї з несумісних подій
B1 , B2 , ..., Bn
, що
утворюють повну групу, дорівнює сумі
добутків ймовірностей кожної з цих подій на
відповідну умовну ймовірність події :
де
P( A) P( B1 ) PB1 ( A) P( B2 ) PB2 ( A) ... P( Bn ) PBn ( A) ,
P( B1 ) P( B2 ) ... P( Bn ) 1

8. Комбінаторика

• Перестановки
Pn n! 1 2 3 ... n
• Розміщення
m
An
n!
(n m)!
m
Cn
n!
m!(n m)!
• Сполучення

9. Повторні незалежні випробування

• Формула Бернуллі. Імовірність того, що
в n незалежних випробуваннях, в
кожному з яких ймовірність появи події
A дорівнює p, подія настане рівно m раз
(байдуже, в якій послідовності),
дорівнює:
n!
m m n m
Рn (m) Cn p q
p m q n m
m!(n m)!
де
.
q 1 p

10. Формула Пуассона:

• Використовують для рішення задач за
схемою Бернулі, коли n 10 і p 0,1
Pn (m)
e
m
np
m!

11. Формула Муавра-Лапласа

• Використовують для рішення задач за
схемою Бернулі, коли n 10 і p 0,1
Pn ( m)
( x)
1
e
2
x2
2
1
( x)
npq
m np
x
npq
• Для інтервала значень:
Pn (m1 m m2 )
1
2
z2
e
z1
z2
2
dz (
m2 np
npq
) (
m1 np
npq
)

12. ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!