Параллельность прямой и плоскости

1.

19.10.2011
www.konspekturoka.ru
1

2.

m
p
l
n
l II p
n m
a
b
19.10.2011
a b
www.konspekturoka.ru
2

3.

Планиметрия
Две прямые на плоскости
называются
параллельными, если они
не пересекаются.
aIIb
Стереометрия
Две прямые в пространстве
называются
параллельными, если они
лежат в одной плоскости и
не пересекаются.
aIIb
3

4.

Прямые а и с не параллельны
с
Прямые b и с не параллельны
b
a
aIIb
4

5.

Две параллельные прямые определяют плоскость.
(определение параллельных прямых)
b
a
5

6.

n
Определение
Два отрезка называются параллельными,
если они лежат на параллельных прямых.
m
АВ II СD
А
С
F
В
D
Отрезки АВ и СD
параллельны
FL II n
b
a
L
Отрезок FL параллелен
прямой n
6

7.

Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС.
РMNQP - ?
D
M
N
В
А
P
Q
С
7

8.

Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ.
Аксиома параллельности.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной.
b
А
а
Аксиома параллельности поможет доказать теорему о
параллельных прямых
8

9.

Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом
только одна.
Прямая и не лежащая
на ней точка определяют плоскость
М
b
a
9

10.

Повторим.
Следствие из аксиомы параллельности.
b
c
а
Если прямая пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она
пересекает и другую.
aIIb, c b
c
a
Это следствие из аксиомы параллельности поможет
доказать лемму о параллельных прямых
10

11.

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает данную плоскость.
a
b
М
?
11

12.

Плоскости
и имеют общую
точку М, значит они пересекаются
по прямой (А3)
a
b
р
М
N
Прямая р лежит в плоскости
и пересекает прямую а в т. М.
Поэтому она пересекает и
параллельную ей прямую b
в некоторой точке N.
, поэтому N – точка
Прямая р лежит также в плоскости
плоскости .
Значит, N – общая точка прямой b и
плоскости .
12

13.

Прямые, содержащие стороны АВ и ВС
параллелограмма AВСD пересекают плоскость .
Докажите, что прямые AD и DC также пересекают
плоскость .
D
А
С
В
N
О
Р
М
Каково взаимное расположение точек О, Р, М, N?
13

14.

Повторим.
Следствие из аксиомы параллельности.
с
а
b
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны.
aIIс, bIIс
aIIb
Аналогичное утверждение имеет место и для трех
прямых в пространстве.
14

15.

Теорема
с
Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны.
aIIс, bIIс
Докажем, что aIIb
a
b
Докажем, что а и b
1) Лежат в одной
плоскости
2) не пересекаются
К
1) Точка К и прямая а определяют плоскость.
2) Используя метод от противного объясните почему
прямые а и b не пересекаются.
15

16.

Дано: АА1 II СС1,
АА1 II ВВ1,
ВВ1 = СС1
Доказать, что В1С1 = ВС
В1
А1
С1
В
А
С
16

17.

Дано: А1С1 = АС,
А1В1 II АВ
А1С1 II АС,
А1В1 = АВ,
Доказать, что CС1 = ВB1
В1
А1
С1
В
А
С
17

18.

Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в
одной
плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС
соответственно.
Докажите, что КМ II EF.
Найдите КМ, если
В
АЕ=8см.
M
K
С
А
8см
F
Е
18

19.

Квадрат АВСD и трапеция KMNL не лежат в одной
плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL
соответственно.
Докажите, что КL II BC.
Найдите BC, если KL=10см, MN= 6 см.
M
6 см
N
D
А
В
K
С
С
L
10см
19

20.

Отрезок АВ не пересекается с плоскостью
. Через
концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены
параллельные прямые, пересекающие плоскость в
точках А1, В1 и М1. а) Докажите, что точки А1, В1 и М1 лежат
на одной прямой. б) Найдите АА1, если ВВ1 = 12см,
ММ1=8см.
В
М
А
А1
M1
В1
20

21.

Назовите прямые, параллельные данной плоскости
D1
С1
А1
В1
D
А
19.10.2011
С
В
www.konspekturoka.ru
21

22.

Каково взаимное положение прямых
AB1 и DC1, МN и DC, AB1 и МN, MN и ВС?
B1
С1
M
А1
D1
N
В
А
19.10.2011
С
R
D
www.konspekturoka.ru
22

23.

Параллельность прямой и
плоскости
19.10.2011
www.konspekturoka.ru
23

24.

Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой
плоскости, то она параллельна этой плоскости.
В
С
Е
F
A
D
19.10.2011
www.konspekturoka.ru
24

25.

Следствие 10
Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна
данной прямой.
a II
b
b II a
19.10.2011
a
www.konspekturoka.ru
25

26.

Прямые m и n пресекаются в точке М, А ∈ m, B n,
b , a || b.
Каково взаимное расположение прямых b и c?
М
А
В
a
c
с
19.10.2011
m
b
n
www.konspekturoka.ru
26

27.

Точки А, С, M и P лежат в плоскости , а точка В α .
Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью АВС.
Поясните.
В
МР АВС Х
М
19.10.2011
А
С
Х
Р
www.konspekturoka.ru
27

28.

Точки А, С, E и F лежат в плоскости , а точка В
.
Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью АВС.
Поясните.
А
С
Х
E
F
FE АВС Х
В
19.10.2011
www.konspekturoka.ru
28

29.

Точки А и В лежат в плоскости , а С в плоскости .
Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями
и .
Поясните.
В
Х
А
АВ Х
m
АВС ХС
С
19.10.2011
АВС АВ
www.konspekturoka.ru
29

30.

Задание по теме
Всего по теме 6 уроков
Учебник $ 1, п. 4,5,6
Определения знать,
Доказательство лемм – ознакомительно
Теоремы – доказательства знать
Уметь решать задачи 16-24 (учебник) и
задачи из презентации
На третьем уроке теоретическая работа
На шестом уроке практическая
самостоятельная работа
19.10.2011
www.konspekturoka.ru
30