Кривые второго порядка

1. Кривые второго порядка

• Кривой второго порядка
называется линия, уравнение
которой в декартовой системе
координат имеет вид
2
2
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0,

2.

где коэффициенты А,В,С
одновременно не обращаются в
нуль. При А = В = С = 0
уравнение задаёт прямую,
которая называется линией
первого порядка.
• К числу линий второго порядка
относятся окружность, эллипс,
гипербола и парабола.

3.

• Окружностью называется
множество точек плоскости,
равноудаленных от данной
точки (центра).
• Если центр окружности
поместить в начало координат,
то каноническое уравнение
окружности радиусом R имеет
2
2
2
вид
x y R .

4.

• Если центр окружности
находится в точке C(x0, y0), то
ее уравнение записывается в
виде
2
2
2
( x x0 ) ( y y 0 ) R .

5.

6.

• Пусть на плоскости заданы две
точки F1 и F2, расстояние между
которыми равно 2с, и задано
число a > c.

7.

• Эллипсом называется
множество точек плоскости,
сумма расстояний от которых до
двух данных точек F1 и F2
(фокусов) есть величина
постоянная, равная 2а.

8.

9.

• Если систему координат
выбрать так, как указано на рис.,
то каноническое уравнение
эллипса запишется в виде
2
x
2
a
2
2
y
2
2
b2
1,
где b a c , а – большая,
b – малая полуоси эллипса (при
a>b).

10.

• Фокусы эллипса расположены в
точках F1(-c; 0) и F2(c; 0).
• Окружность есть частный
случай эллипса при a = b.

11.

• Пусть на плоскости заданы две
точки F1 и F2, расстояние между
которыми равно 2с, и задано
число a < c.

12.

• Гиперболой называется
множество точек плоскости,
модуль разности расстояний от
которых до двух данных точек F1
и F2 (фокусов) есть величина
постоянная, равная 2а.

13.

14.

• Если систему координат
выбрать так, как указано на рис.,
то каноническое уравнение
гиперболы запишется в виде
x
2
a
2
y
2
b
2
• где b 2 c 2 a 2 ,
• а – действительная, b –
мнимая полуоси гиперболы.
1,

15.

• Гипербола состоит из двух
ветвей и расположена
симметрично относительно
координатных осей. При этом ее
ветви при удалении в
бесконечность как угодно близко
b
подходят к прямым y x,
a
которые называются
асимптотами гиперболы.

16.

• При построении
вначале строят
прямоугольник со
± a, y = ± b. Затем
через
противоположные
вершины этого
прямоугольник а
проводят прямые,
которые являются

17.

• Вершины
гиперболы
расположены в
точк ах с
координатами (– а,0 )
и (а,0 ), а фокусы – в
точк ах F 1(-c; 0) и F 2(c; 0).

18.

• Уравнение
x
2
2
y
2
2
1
x
2
2
(или
a
y
2
2
b
a
b
)
также задаёт
2
2
y
x
гиперболу
, 1
2
2
a
b
сопряженную
с
гиперболой
1

19.

• Пусть на
плоскости
задана точк а F и
прямая D,
расстояние между
которыми равно р.
• Параболой
называется
множество точек
плоскости,

20.

21.

• Если систему
координат
выбрать так, к ак
ук азано на рис., то
каноническое
2
уравнение
y 2 px.
параболы
запишется в виде

22.

• Эта парабола
симметрична
относительно оси
p
Ох. Директрисой
x ,
2
pтся
являе
прямая
F ,0
2
точк а
– фокус
параболы, р –
параметр

23.

• Если p < 0, то
парабола
направлена в
противоположную
сторону
.
2
x 2 py
• Уравнение
задаёт параболу
,
симметричную

24.

• Для того, чтобы
построить кривую
второго порядк а,
заданную общим
уравнением,
уравнение кривой
приводят к
к аноническому
виду и переходят

25.

• Пример.
Определить тип
линии и
схематически
2
2
построить
её:
9 x 25 y 36 x 150 y 414 0

26.

• Решение. Приведем
заданное
уравнение к
к аноническому
виду
. Для этого в
исходном
уравнении
выделим полные
квадраты по

27.

9 x 36 x 25 y 150 y 414 0,
2
2
9( x 4 x) 25( y 6 y ) 414 0,
2
2

28.

9( x 2 2 x 2 2 )
2
2
2
25( y 2 3 y 3 3 ) 414 0,
2
2
2
9[( x 2) 4]
2
25[( y 3) 9] 414 0,
2

29.

9( x 2) 36
2
25( y 3) 225 414 0,
2
9( x 2) 25( y 3) 225,
2
2
( x 2) ( y 3)
1.
25
9
2
2

30.

• Совершим
параллельный
X x 2,
перенос
координатных
Y y 3.
осей по формулам:
(2, 3) – координаты
2
2
центра O1 системы
X
Y
.YВ 1
координат X и
25
9

31.

• Получили
к аноническое
уравнение
гиперболы
(действительная
полуось а = 5,
мнимая полуось b
=3)