Математичні моделі і методи

1. Математичні моделі і методи

Викладач:
Веренич Олена Володимирівна,
д.т.н., доц.

2. Зміст:

1. Метод PERT
2. Приклад застосування методу критичного шляху
3. Завдання
4. Таблиці нормального розподілу
2

3. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Можуть мати місце два випадки:
1. або роботи не є новими, і ми знаємо приблизно закон розподілу
тривалості виконання кожної з них,
2. або ці роботи зовсім нові для нас, і закон розподілу тривалості їхнього
виконання нам невідомий.
3

4. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Для випадку 2 (зовсім нові роботи і закон розподілу тривалості їхнього
виконання нам невідомий).
Для оцінки можна застосовувати теорію імовірності.
Передбачається, що розподіл підкоряється нормальному закону й
описується β-функцією, що має наступне математичне сподівання і
дисперсію:
Математичне сподівання = Очікуваному часу t = 1/6(o + 4m + p);
Дисперсія = Варіація часу виконання
δ2 =[1/6 (o – p)]2.
де o – оптимістичний час;
m – найбільш ймовірнісний час;
p – песимістичний час.
4

5. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Крок 1. Будуємо таблицю „Оцінка тривалості робіт”.
Код
роботи
Оптимісти
чний час
(о)
Найімовір
ніший час
(m)
Песимісти
чний час
(р)
Очікувани
й час (t)
Варіація
(δ2)
Крок 2. Обчислюємо Очікуваний час та Варіацію за формулами.
Чим більше різниця між оптимістичним та песимістичним часом, тим
більше δ2, тобто зростає ступінь невизначеності в оцінці тривалості
робіт. Ці розрахунки базуються на припущенні, що невизначеність часу
на виконання роботи можна отримати бета-розподілом ймовірності.
Крок 3. Проставляємо очікуваний час виконання робіт на сітьовому
графіку як фіксовані тривалості виконання робіт. Після чого визначаємо
критичний шлях.
5

6. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Крок 4. Визначаємо тривалість проєкту в цілому
T = Сума тривалостей усіх робіт, що лежать на критичному шляху.
Оскільки критичні роботи визначають загальний термін виконання
проєкту, мінливість цих робіт впливатиме на мінливість часу виконання
проєкту в цілому. Інші роботи мають запас часу, і тому їх коливання не
впливають на загальну тривалість.
Крок 5. Визначаємо варіації загального часу:
δ2 = Сума варіацій робіт критичного часу
Крок 6. За умов незалежності термінів виконання окремих робіт
стандартним відхиленням є:
δ = (δ2)1/2
Це припущення полягає в тому, що розподіл часу (T) завершення
проекту є нормальним.
6

7. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Крок 7. Ймовірність виконання проєкту з очікуваною тривалістю T у
задані терміни Tзад оцінюється за Z – коефіцієнтом:
Z = (Tзад – T)/δ
де Tзад – встановлений більший допустимий термін виконання проєкту.
Крок 8. Далі використовуємо таблиці
нормального розподілу для отримання
значення, що відповідає отриманому
значенню Z.
Знайдене значення множимо на 2
(оскільки графік нормального
розподілу симетричний відносно 0), а
в таблиці подані половинні значення).
7

8. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Крок 9. Висновки.
Таким чином ймовірність виконання проекту за Tзад становить значення
отримане на кроці 8 (або процентне значення – значення отримане
множимо на 100). Відповідно ймовірність невиконання проекту за Tзад
становить:
1 – отримане значення на кроці 8 (або процентне співвідношення).
8

9. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT) Приклад

Чи буде виконано проект за 17 тижнів при наведених даних?
Код
роботи
Поперед Оптиміст Найімовір
ні
ичний
нісний
роботи
термін
термін
(о)
(м)
Песимісти
чний
термін
(р)
А
-
2
3
5
B
-
4
5
7
C
А
5
7
9
D
B
2
4
5
E
C,D
3
5
6
9

10. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT) Приклад

Крок 1. Будуємо таблицю „Оцінка тривалості робіт”.
Код
робот
и
Попе
редні
робот
и
Оптимістични
й термін (о)
Найімовірніс
ний термін
(м)
Песимістични
й термін
(р)
А
-
2
3
5
B
-
4
5
7
C
А
5
7
9
D
B
2
4
5
E
C,D
3
5
6
10

11. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT) Приклад

Крок 2. Розраховуємо значення
t = 1/6(o + 4m + p); δ2 =[1/6 (o – p)]2 та заносимо у таблицю.
Код
робот
и
Попе
редні
робот
и
Оптимістични
й термін (о)
А
-
2
3
5
3,17
2,25
B
-
4
5
7
5,17
0,25
C
А
5
7
9
7
0,44
D
B
2
4
5
3,83
0,25
E
C,D
3
5
6
4,83
0,11
t(A) = 1/6(2+4*3+5) = 3,17;
t(B) = 1/6(4+4*5+7) = 5,17;
t(C) = 1/6(5+4*7+9) = 7;
t(D) = 1/6(2+4*4+5) = 3,83;
t(E) = 1/6(2+4*5+6) = 4,83;
Найімовірніс
ний термін
(м)
Песимістични
й термін
(р)
Очікуваний
час (t)
Варіація часу
δ2
δ2 =[1/6 (o – p)]2 =[1/6 (2-5)] 2 =2,25
δ2 =[1/6 (o – p)]2 =[1/6 (4-7)] 2 =0,25
δ2 =[1/6 (o – p)]2 =[1/6 (5-9)] 2 =0,4(4)
δ2 =[1/6 (o – p)]2 =[1/6 (2-5)] 2 =0,25
δ2 =[1/6 (o – p)]2 =[1/6 (3-6)] 2 =0,1(1)
11

12. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT) Приклад

Крок 3. Будуємо сітьовий графік та визначаємо критичний шлях
1
3,17
А
3,17
4,17
4,17
0
6,17
3,83
1
0
3,17
1
5,17
5,17
B
2,17
1,17
10,17
7
C
10,17
9
11,17
4,83
E
11,17
0
15
15
D
6,34
7,34
1,17
10,17
Код
робот
и
Попе
редні
робот
и
Очікуваний
час (t)
Варіація часу
δ2
А
-
3,17
2,25
B
-
5,17
0,25
C
А
7
0,44
D
B
3,83
0,25
E
C,D
4,83
0,11
12

13. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT) Приклад

Крок 4. Визначаємо
тривалість проєкту в цілому
Критичний шлях: A-C-E
Термін виконання проєкту T=15
Варіація часу
δ2
Крок 5. Визначаємо
варіації загального часу
3,17
2,25
-
5,17
0,25
δ2 = Сума варіацій робіт на
критичному шляху
C
А
7
0,44
D
B
3,83
0,25
E
C,D
4,83
0,11
Код
робот
и
Попе
редні
робот
и
А
-
B
Очікуваний
час (t)
δ2 = 2,25+0,44+0,11=2,8
13

14. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT) Приклад

Крок 6. Розраховуємо δ = (δ2)1/2
δ = (2,8)1/2 = 1,67
Крок 7. Розраховуємо Z = (Tзад – T)/δ
Z = (17-15)/1,67 = 1,20
Крок 8. Використовуємо
таблиці нормального
розподілу
0,3849 – табличне
значення
0,3848*2=0,7698
Крок 9. Отримуємо результат
Ймовірність виконання проекту за 17 тижнів становить 76,98%
Ймовірність не виконання проекту за 17 тижнів становить 1-0,7698 = 0,230214
або 23,02%

15. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Таблиця нормального розподілу
15

16. Сітьове планування в умовах невизначеності (Метод PERT)

Завдання
Використовуючи QR-код завантажте завдання.
16