Основные теоремы дифференциального исчисления

1.

Если дифференцируемая на промежутке
Х функция y=f(x) достигает
наибольшего или наименьшего
значения во внутренней точке х0 этого
промежутка, то производная функции
в этой точке равна 0:
f ( x0 ) 0

2.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на
промежутке Х и в точке x0 X
принимает наименьшее значение.
Тогда f ( x0 x ) f ( x0 )
x0 x X
Величина y f ( x0 x) f ( x0 ) 0
если
Следовательно
y
0 при x 0
x
y
0 при x 0
x

3.

Переходим в этих неравенствах соответственно
к пределу справа и слева:
y
lim
0
x 0
x
и
y
lim
0
x 0
x
По условию функция y=f(x) дифференцируема в
точке х0, следовательно ее предел при x 0
не должен зависеть от способа стремления Δх к
нулю, т.е.
y
y
lim
lim
0
x 0
x x 0 x
f ( x0 ) 0

4.

В точке наибольшего или наименьшего
значения, достигаемого внутри промежутка
Х, касательная к графику функции
параллельна оси Х.

5.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Непрерывна на отрезке [a,b].
2. Дифференцируема на интервале (a,b).
3. На концах отрезка принимает равные
значения: f(a)=f(b).
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ, в
которой производная равна нулю:
f ( ) 0

6.

По теореме Вейерштрасса, функция, непрерывная
на отрезке, достигает на нем своего наибольшего
М и наименьшего m значений.
Если оба этих значения достигаются на концах
отрезка,то они по условию равны: М= m, а это
значит, что функция постоянна на [a,b]. Тогда
f ( x) 0 во всех точках этого отрезка.
Если же хотя бы одно из этих значений
достигается внутри отрезка, то по теореме
Ферма, производная функции в этой точке
равна нулю:
f ( x) 0

7.

Найдется хотя бы одна точка, в которой
касательная к графику функции
параллельна оси Х, в этой точке
производная функции будет равна нулю.

8.

y
y f (x)
a
1
2
b
x

9.

Если же хотя бы одно условие теоремы Ролля
нарушено, то заключение теоремы может быть
неверным.
Например:
1
Отсутствует непрерывность на [a,b].
y f (x)
y
f (b)
f (a)
a
b
x

10.

2
Отсутствует дифференцируемость на (a,b).
y f (x)
y
f (a)
a
f (b)
b
x

11.

3
f (a) f (b)
f (b)
y
f (a )
y f (x)
a
b
x

12.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Непрерывна на отрезке [a,b].
2. Дифференцируема на интервале (a,b).

13.

Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ, в
которой производная функции равна
частному от деления приращения
функции на приращение аргумента на
этом отрезке:
f (b) f (a)
f ( )
b a

14.

Введем новую функцию g(x):
f (b) f (a)
g ( x) f ( x)
( x a)
b a
Эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля:
Она непрерывна на [a,b], дифференцируема на
(a,b) и на концах отрезка принимает равные
значения:
f (b) f (a)
g (b) f (b)
(b a)
b a

15.

g (b) f (b) f (b) f (a) f (a)
f (b) f (a)
g (a) f (a)
(a a)
b a
g ( a) f (a)
Следовательно, по
точка
g (a) g (b)
теореме Ролля существует
( a, b )
такая, что
0
g ( ) 0

16.

или
f (b) f (a)
g ( ) f ( )
( a) 0
b a
f (b) f (a)
g ( ) f ( )
0
b a
отсюда
f (b) f (a)
f ( )
b a

17.

Эту теорему часто записывают в виде:
f ( ) (b a) f (b) f (a)

18.

y
B
y f (x)
A
a
b
x

19.

Если перемещать прямую АВ
параллельно начальному положению,
то найдется хотя бы одна точка
( a, b )
в которой касательная к графику
функции y=f(x) и хорда АВ, проведенная
через концы дуги АВ будут
параллельны.

20.

Если производная функции y=f(x) равна 0
на некотором промежутке Х, то эта
функция постоянна на всем
промежутке.

21.

Возьмем на промежутке Х [a,х], тогда по теореме
Лагранжа
f ( ) ( x a) f ( x) f (a)
По условию теоремы f ( ) 0
0 ( x a ) f ( x) f ( a )
0 f ( x) f ( a )
То есть
f ( x) f ( a )