Дифференциальное исчисление

1.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №4.
Дифференциальное исчисление

2.

Производной функции в точке называется
предел, если он существует и конечен,
отношения приращения функции к
соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к
нулю.
y
y ( x0 ) lim
x 0 x

3.

Производная
y
y0 y
y0
0
x x x
0
0
y
tg
x
x

4.

Производная
Геометрический смысл производной
функции: производная функции в точке равна
тангенсу угла наклона касательной,
проведённой к графику функции в этой точке
с положительным направлением оси 0х.
Уравнение касательной к графику функции,
проведённой в точке ( x0 ; y0 ) с учётом
геометрического смысла производной имеет
вид:
y y0 y ( x0 ) ( x x0 ).

5.

Производная
Нахождение производной функции
называется дифференцированием функции.
Критерий дифференцируемости
функции в точке: Чтобы функция была
дифференцируемой в некоторой точке
необходимо и достаточно, чтобы она в этой
точке имела конечную производную.
Функция называется дифференцируемой
на множестве, если она дифференцируема в
каждой точке этого множества.

6.

Теорема (Необходимое условие
дифференцируемости функции): Если
функция дифференцируема в некоторой
точке, то она в этой точке непрерывна.
(Обратное утверждение неверно).
y
y x
0
x

7.

Правила дифференцирования
Пусть С - постоянная величина, u u ( x), v v( x).
1. C 0
2. (u v) u v
3. (u v) u v u v
4. u u v u v
2
v
v
5. (C u ) C u

8.

Формулы дифференцирования
1. x n n x n 1
'
x 21x
'
'
1
1
2
x
x
2. a a x ln a
x '
e e
x '
3.
x
1
log a x
x ln a
1
'
ln x
x
'

9.

Формулы дифференцирования
4. sin x ' cos x
cos x ' sin
x
1
tg x
cos 2 x
ctgx ' 12
sin x
1
'
arcsin
x
5.
1 x2
arccos x ' 1 2
1 x
arctg x ' 1 2
1 x
1
'
arcctg x
1 x2
'

10.

Производная
Производная сложной функции
y f {g[ ( x)]}
y f ( g ) g ( ) ( x)
При условии, что функции имеют
производные в соответствующих точках.

11.

Задача
Пример. Найти производную функции
y sin ln x.
3

12.

Задача
Пример. Найти производную функции
y sin ln x.
3
Ответ:
1
y 3 sin ln x cos ln x
x
'
2

13.

Задача
Пример. Найти производную функции
y 5 lg( 3 x).
x

14.

Задача
Пример. Найти производную функции
y 5 lg( 3 x).
x
Ответ:
y 5
x
ln 5
1
2 x
lg( 3 x) 5
x
1
( 1).
(3 x) ln 10

15.

Задача
Пример. Найти производную функции
x
x 3
y 3 tg
.
arcsin x
3
2

16.

Задача
Ответ:
2
y tg
3
1
3
x
x
x 3
2 x 3
cos
arcsin x
arcsin x
3
3
1
1
(3x 3 ln 3) arcsin x ( x 3 )
1
x
2
x
2
arcsin x
2
x
3
x

17.

Задача
Написать уравнение касательной к графику
x 6
функции y
в точке его пересечения с
x 2
осью ординат.

18.

Задача
Решение:
x0 0 y0 3
'
'
(
x
6
)
(
x
2
)
(
x
6
)(
x
2
)
( x 2) ( x 6 )
'
y ( x)
2
2
( x 2)
( x 2)
8
( x 2) 2
8
'
'
k кас y ( x0 ) k кас y (0)
2
2
( 0 2)
y y0 y ' ( x0 ) ( x x0 ) y 3 2( x 0) y 2 x 3.

19.

Задача
Написать уравнение касательной к графику
функции y x 2 4 x 1, перпендикулярной
прямой x 2 y 4 0.
Решение:
x 2 y 4 0 y 0,5 x 2 k пр 0,5
k пр k кас 1 k кас 2
y ' ( x0 ) k кас
y ' ( x ) 2 x 4 2 x0 4 2 x0 3
y0 f ( x0 ) 9 12 1 2
y y0 y ' ( x0 ) ( x x0 )
y 2 2( x 3) y 2 x 8.

20.

Эластичностью функции называется
предел отношения относительного
приращения функции к относительному
приращению переменной, когда
приращение этой переменной стремится к
нулю.

21.

Эластичность
Из определения вытекает формула расчёта
эластичности функции:
x '
Ex ( y) y
y

22.

Эластичность
Эластичность функции приближённо
показывает на сколько процентов изменится
функция при изменении независимой
переменной на 1%.

23.

Свойства эластичности
1. Эластичность функции равна
произведению независимой переменной
на темп изменения функции
E x ( y ) x Ty ,
2.
y'
Ty .
y
E x (u v) E x (u ) E x (v)
u
E x E x (u ) E x (v)
v

24.

Свойства эластичности
3. Эластичности взаимно обратных
функции являются взаимно обратными:
1
Ex ( y)
.
E y ( x)

25.

Задача
Пример. Зависимость между себестоимостью
единицы продукции y (тыс.руб.) и выпуском
продукции х (млн.руб.) выражается функцией
y 40 0,2 x. Найти эластичность
себестоимости при выпуске продукции,
равном 150 млн.руб.

26.

Задача
Решение:
x '
x
0,2 x
Ex ( y) y
( 0,2)
y
40 0,2 x
0,2 x 40
x
150
150
3.
x 200 150 200 50
Получили то, что при выпуске продукции,
равном 150 млн.руб. увеличение этого выпуска
на 1% приведёт к снижению себестоимости на
3%.

27.

Производная
Основные теоремы дифференциального
исчисления:
1. Теорема Ферма. Если дифференцируемая
на множестве функция достигает
наибольшего или наименьшего значения
в какой-либо точке этого множества, то
производная функции в этой точке равна
нулю.

28.

Производная
2. Теорема Ролля. Пусть функция
непрерывна на некотором отрезке,
дифференцируема внутри отрезка и на
концах отрезка принимает равные
значения, то внутри отрезка найдётся хотя
бы одна точка, в которой производная
функции равна нулю.

29.

Производная
3. Теорема Лагранжа. Пусть функция y (x)
непрерывна на некотором отрезке [a; b],
дифференцируема внутри отрезка (на
интервале (a; b) ), то на этом интервале
найдётся хотя бы одна точка x0 , для
которой справедливо равенство:
y (b) y (a )
y ' ( x0 )
.
b a

30.

Производная
4. Теорема Ферма. Пусть функции f ( x), g ( x)
непрерывны на некотором отрезке [a; b],
дифференцируемы на интервале (a; b)
и g ' ( x ) 0 во вех точках этого
интервала, то на этом интервале найдётся
хотя бы одна точка x0 , для которой
справедливо равенство:
f (b) f (a ) f ' ( x0 )
g (b) g (a ) g ' ( x0 )

31.

Правило Лопиталя
Применяется при вычислении пределов для
устранения неопределённостей видов
0
0 , .
f ( x) 0
f ( x)
, lim
.
'
g ( x) 0 x x0 ( ) g ( x)
'
lim
x x0 ( )

32.

Правило Лопиталя
1 0
0 0
0 0
1
0

33.

Задача
Пример. Найти
ln( 2 x 1) ln 5
lim
.
2
x 3
x 9

34.

Задача
Пример. Найти
ln( 2 x 1) ln 5
lim
.
2
x 3
x 9
Решение:
ln( 2 x 1) ln 5 0
lim
lim
2
x 3
x 9
0 x 3
1
1
lim
.
x 3 x ( 2 x 1)
15
2
(2 x 1)
2x

35.

Задача
3x
Пример. Найти lim 3 .
x x

36.

Задача
3x
Пример. Найти lim 3 .
x x
Решение:
3
3 ln 3
3 ln 3
lim 3 lim
lim
2
x x
x 3x
x 6 x
x
3
3
ln
3
lim
.
x 6
x
x
x
2

37.

Задача
Пример. Найти
lim ( x ln x).
2
x 0

38.

Задача
Пример. Найти
lim ( x ln x).
2
x 0
Решение:
ln x
lim ( x ln x) 0 lim 2
x 0
x 0 x
1
2
x
x
lim
lim
0
.
3
x
0
x 0 2
2x
2

39.

Производная
Достаточные признаки монотонности
функции:
1. Если во всех точках некоторого
множества производная
дифференцируемой функции
положительна, то функция на этом
множестве возрастает;
2. Если во всех точках некоторого
множества производная
дифференцируемой функции
отрицательна, то функция на этом
множестве убывает;

40.

Производная
3. Если во всех точках некоторого
множества производная
дифференцируемой функции равна
нулю, то функция на этом множестве
постоянна;

41.

Точка x0 является точкой максимума
функции y f (x) , если найдётся такая
окрестность этой точки, во всех точках
которой выполнено неравенство:
f ( x) f ( x0 ).

42.

Точка x0 является точкой минимума
функции y f (x) , если найдётся такая
окрестность этой точки, во всех точках
которой выполнено неравенство:
f ( x) f ( x0 ).
Точки максимума и минимума являются
точками экстремума (локального
экстремума) функции.

43.

Экстремум
Необходимое условие существования
экстремума функции в точке: Если в
некоторой точке дифференцируемая функция
достигает экстремума, то её производная в
этой точке или равна нулю, или не существует.
Точки в которых производная функции или
равна нулю, или не существует называются
критическими (стационарными).

44.

Экстремум
Достаточные условия существования
экстремума функции в точке:
1. Если найдётся такая окрестность
критической точки, во всех точках которой
функция дифференцируема и её производная
справа от критической точки знакопостоянна
и отличается знаком от производной
функции слева, то в этой критической точке
функция достигает экстремума, причём, если
производная слева положительна, а справа
отрицательна, то максимума, а если наоборот,
то минимума.

45.

Экстремум
2. Если функция дважды дифференцируема в
некоторой точке и в этой точке
производная первого порядка равна нулю,
а производная второго порядка отлична от
нуля, то функция в этой точке достигает
экстремума, причём максимума, если
вторая производная отрицательна и
минимума – если положительна.
(Количество дифференцирований
определяет порядок производной).
f
(n)
( x)

46.

Экстремум
Для отыскания наибольшего и наименьшего
значений функции y f (x) на отрезке
следует:
1. Найти производную функции f ' ( x);
2. Найти критические точки функции из
'
уравнения f ( x) 0;
3. Найти значения функции в критических
точках, принадлежащих данному отрезку и
на концах этого отрезка;
4. Среди этих значений выбрать наибольшее
и наименьшее значения.

47.

Задача
Пример. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции y x 4 2 x 2 1 на
отрезке [-2; 0,5].
Решение:

48.

Задача
Пример. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции y x 4 2 x 2 1 на
отрезке [-2; 0,5].
Решение: y ' 4 x 3 4 x
4 x 3 4 x 0 4 x( x 2 1) 0 4 x( x 1)( x 1) 0
x1 0; x2 1; x3 1
y (0) 0 0 1 1
y ( 1) 1 2 1 0
y ( 2) 16 8 1 9
1 1
9
1
16 2
16
9; ymin 0.
y (0,5)
ymax

49.

Функция называется выпуклой вниз (или
вогнутой) на множестве, если для любых
двух значений x1 , x2 из ООФ выполняется
неравенство
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f
.
2
2

50.

Функция называется выпуклой вверх (или
выпуклой) на множестве, если для любых
двух значений x1 , x2 из ООФ выполняется
неравенство
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f
.
2
2

51.

Производная
Теорема. Функция вогнута на множестве
тогда и только тогда, когда её первая
производная на этом множестве возрастает
(вторая производная положительна).
Теорема. Функция выпукла на множестве
тогда и только тогда, когда её первая
производная на этом множестве убывает
(вторая производная отрицательна).

52.

Производная
Теорема (достаточное условие перегиба
функции). Если вторая производная дважды
дифференцируемой функции при переходе
через некоторую точку меняет свой знак, то
эта точка является точкой перегиба её
графика.

53.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Рекламная пауза