Пределы и непрерывность

1.

2.

Если каждому натуральному числу n по
некоторому закону поставлено в соответствие
определенное число an , то говорят, что
задана числовая последовательность
a a , a ...a
n
1
2
n

3.

Числа
a1,a2…an
называются
членами
последовательности, а число an называется
общим членом или n-ым членом данной
последовательности.
Например:
1
2,4,6,8...2n...
2
1 1 1 1
1, , , ... ...
2 3 4 n

4.

Изобразим члены последовательности (2) точками
на числовой оси.
011
1
54 3
1
2
1
Можно заметить, что члены последовательности с
ростом n сколь угодно близко приближаются к
нулю.

5.

Последовательность {an} называется
ограниченной сверху (снизу), если существует
такое число М (m), что любой элемент этой
последовательности удовлетворяет
неравенству:
an M
an m

6.

Последовательность {an} называется
ограниченной, если она ограничена
сверху и снизу:
m an M

7.

Последовательность (1) ограничена снизу, но не
сверху.
Последовательность (2) ограничена, т.к. все ее
элементы находятся внутри промежутка [0,1].
Если выполняется условие
an an 1
то последовательность называется возрастающей.
Если выполняется условие
an an 1
то последовательность называется убывающей.
Последовательность (1) возрастающая.
Последовательность (2) убывающая.

8.

Число А называется пределом числовой
последовательности {an}, если для любого,
сколь угодно малого числа ε>0, найдется такой
номер N, что при всех n>N, выполняется
неравенство:
an A
lim an A
n

9.

Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся.
В
противном
случае
последовательность
расходящаяся.
Смысл определения предела числовой
последовательности:
Для достаточно больших номеров n члены
последовательности очень мало отличаются от
числа А (меньше, чем на число , ε , каким бы
малым оно не было).

10.

ПРИМЕР.
Дана последовательность
3 2 5 4 ( 1)
0, , , , , ... 1
...
2 3 4 5
n
n
3
Показать, что предел этой последовательности
равен 1.

11.

РЕШЕНИЕ:
Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
an A
примет вид:
n
(
1
)
1
1 0.1
n
1
0.1
n
n 10

12.

Если ε=0.01, то неравенство выполняется при
n 100
Для любого ε >0, неравенство выполняется при
n
1
Т.е. для любого ε >0 существует номер n
1
Что для всех n>N, выполняется неравенство:
an 1
lim an 1
n

13.

Рассмотрим
геометрический
смысл
предела
числовой
последовательности.
Для
этого
изобразим члены
последовательности (3)
точками на числовой оси.
3
2
5
4
a1 0, a2 , a3 , a4 , a5
2
3
4
5
7
6
9
8
a6 , a7 , a8 , a9 , ...
6
7
8
9

14.

A
a1
A
A
a 3 a 5 a 7 a 9 a8 a 6 a 4 a 2
Неравенство
an A
равносильно двойному неравенству
A an A
которое
соответствует
попаданию
членов
последовательности в ε – окрестность точки А.

15.

Т.е.
число
А
есть
предел
числовой
последовательности {an}, если для любого, сколь
угодно малого числа ε>0, найдется такой номер N,
начиная
с
которого
все
члены
последовательности будут заключены в ε –
окрестности точки А, какой бы узкой она не
была.
Вне этой окрестности может быть только конечное
число членов последовательности.