Похожие презентации:
Предел последовательности
1. Предел последовательности.
Урок 1.Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :
А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и
профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В.
Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.
А. Б. Жижченко. —
2-е изд. —
М. : Просвещение,
2010.— 336 с.
МБОУ СОШ №103.
г.Нижнего Новгорода.
Учитель : Лукьянова Е.Ю.
2. Цели урока:
Цели урока:ввести понятие предела
последовательности;
рассмотреть свойства
сходящихся последовательностей.
3. Числовые последовательности
• Кратко последовательность обозначают символом{Хn} или (Хn), при этом Хn называют членом или
элементом этой последовательности, n —номером
члена Хn.
• Числовая последовательность —это функция,
область определения которой есть множество N всех
натуральных чисел. Множество значений этой
функции, т. е. совокупность чисел Хn, n € N,
называют множеством значений
последовательности. Множество значений
последовательности может быть как конечным, так и
бесконечным.
4.
Множество значений последовательности{(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1,
а множества значений последовательностей
{n ²} и {1/n} — бесконечны.
Последовательность, у которой существует предел,
называют сходящейся. Последовательность, не
являющуюся сходящейся, называют расходящейся;
иначе говоря, последовательность называют
расходящейся, если никакое число не
является ее пределом.
5. Предел числовой последовательности.
Рассмотрим две числовые последовательности:( xn ) : 2, 4, 6, 8, 10, …, 2n ,…;
( yn ) : 1,
1
2
,
1
,
4
1
1
,
,
8 16
…
1
,
2n
…
Изобразим члены этих последовательностей
точками на координатных прямых.
Обратите внимание как ведут себя члены
последовательности.
6. Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности таковой точки не наблюдается.
ynЗамечаем, что члены последовательности
как бы
«сгущаются» около точки 0, а у последовательности х
таковой точки не наблюдается.
Но, естественно, не всегда удобно изображать члены
последовательности, чтобы узнать есть ли точка
«сгущения» или нет.
n
7.
Определение 1. Пустьa - точка прямой, а r -
положительное число. Интервал
(a-r, a+r)
называют окрестностью точки a , а
число r - радиусом окрестности.
Геометрически это выглядит так:
8. Например:
(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиусокрестности равен 0. 3.
Теперь можно перейти к определению точки
«сгущения», которую математики назвали
«пределом последовательности».
9.
Определение 2. Числопоследовательности
b
называют пределом
yn
, если в любой заранее
b
выбранной окрестности точки
содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Пишут: yn . b
Читают: y n стремится к
Либо пишут:
b.
lim yn b
n
.
Читают: предел последовательности y n при
стремлении
nк бесконечности равен b .
10. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Последовательность, у которой существуетпредел, называют сходящейся.
Последовательность, не являющуюся
сходящейся, называют расходящейся; иначе
говоря, последовательность называют
расходящейся, если никакое число не
является ее пределом.
11.
Теорема 1Если последовательность {X n} является
возрастающей(или неубывающей) и
ограничена сверху, т. е. X n≤M
для всех n, то она имеет предел.
Теорема 2
Если последовательность {X n} является
убывающей (или невозрастающей) и
ограничена снизу, т. е. X n≥M для
всех n, то она имеет предел.
12. Пример:
Существует ли номер n0 , начиная с которого всечлены последовательности
( xn ) попадают в
окрестность точки а радиуса r 0.1 , если
1
1. xn 2 , a 0;
n
1
Решение.
0 0.1
n2
1
0 .1
2
n
1
0.1
2
n
n 2 10
10 ; n n0 4
13.
Определение: Числоa
называют пределом
числовой последовательности
a1 , a2 , … an , …
если для любого положительного числа ε найдется
такое натуральное число
N ,
что при
всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число
a
является
пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся
к бесконечности, равен a ».
14.
Предел числовой последовательностиПример 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство:
Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство:
Пример 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо
равенство:
Пример 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо
равенство:
Пример 5 . Последовательность:
–1,1,–1,1,…,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
15. На уроке:
• №1(1,3),• №4(1)
16. Домашнее задание.
§1стр. 44
№1(2,4)
№2(2,4,6)
№4(2)
17. Предел последовательности.
Урок 2.Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :
А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и
профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В.
Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.
А. Б. Жижченко. —
2-е изд. —
М. : Просвещение,
2010.— 336 с.
МБОУ СОШ №103.
г.Нижнего Новгорода.
Учитель : Лукьянова Е.Ю.
18. Цель урока.
• Рассмотретьсвойства
пределов
числовых последовательностей;
• Сформировать
пределов.
умения
вычисления
19. Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательностиa1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .
Если при
существуют такие числа a и b , что
и
,
то при
существуют также и пределы суммы, разности и
произведения этих последовательностей, причем
20.
Если, выполнено условие,то при
существует предел дроби
21.
Пример 6. Найти предел последовательности22.
Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела,воспользовавшись свойствами степеней:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое
большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства
пределов последовательностей и результат примера 3, получаем
Ответ.
23.
Пример 7 . Найти предел последовательности24.
Решение. Вынося за скобки «самое большое» слагаемоев числителе дроби и «самое большое» слагаемое в
знаменателе дроби, а также, используя cвойства
пределов последовательностей и результат примера 1,
получаем
Ответ.
25.
Пример 8 . Найти предел последовательности26.
:Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее
под знаком предела, приводя дроби к общему
знаменателю:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое
большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также,
используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1,
получаем
27.
Ответ.28.
Пример 9. Найти предел последовательности29.
.Решение.
В
рассматриваемом
примере
неопределенность
типа
возникает за счет разности двух корней, каждый из
которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность,
домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на
сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного
умножения «разность квадратов».
30.
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителедроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня
в знаменателе дроби, а также, используя cвойства
пределов последовательностей и результат примера 1,
получаем
Ответ.
31.
Пример 10. Найти предел последовательности32.
,Решение. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено
равенство
получаем
Ответ. 1 .
33. На уроке:
• №5(1,3,5)• №6(1,3)
34. Домашнее задание:
• №5(2,4,6)• №6(2,4),стр.52
35. Практические задания
1. Запишите окрестность точкивиде интервала, если:
а) a 0, r 0.2;
a радиуса r
в
б ) a 3, r 0.5;
2. Окрестностью какой точки и какого радиуса
является интервал:
а) (2.1, 2.3);
б ) ( 7, 5) ?
3. Принадлежит ли точка х1 окрестности точки
радиуса
, если:
r
а
a) x1 1, a 2, r 0.5; б ) x1 0.2, a 0, r 0.4 ?
36. Итоговое практическое задание
Существует ли номерпоследовательности
n0 , начиная с которого все члены
попадают в окрестность точки
( xn )
радиуса
r
а
:
1
1
а ) xn
, a 0, r 0,1; б ) xn 3 2 , a 3, r 0,2.
2n
n
2. Постройте график последовательности
yn
и составьте,
если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
n
1
а ) yn 2 ;
2
2
б ) yn 5 .
n
37. Итоговое практическое задание
3. Найдитеn - й член геометрической прогрессии (bn ), если:
2
a) S 21, q , n 3;
3
б ) S 20, q 22, n 4.
4. Вычислить:
(2n 1)( n 3)
(1 2n)(1 n)
a ) Lim
; б ) lim
;
2
2
n
n
n
( n 2)
1 7
x 4
в ) Lim 11 2 2 2 ; г ) lim
;
x x 3
x
x x
2
2
5x 2 x 7
9 x
д) Lim
; г ) lim
.
3
x 3 27 x
x 1
x 1
38. Важно!
lim (n→ ∞