Теоретическая механика. Модуль 1. Раздел 1 – статика

1.

МЕХАНИКА
Теоретическая механика.
Модуль 1
Раздел 1 –
СТАТИКА
ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
ЛЕКЦИЯ 1
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИЯ 6
ЛЕКЦИЯ 2
ЛЕКЦИЯ 5
ЛЕКЦИЯ 3

2. Введение в статику

1.2
Введение в статику
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Статика - раздел механики, в котором излагается
общее учение о силах и условиях равновесия
материальных тел, находящихся под действием сил.
Равновесие - это состояние покоя тела по
отношению к другим телам, например по отношению к
Земле.
Абсолютно твердое тело - такое тело,
расстояние между каждыми двумя точками которого
всегда остается постоянным.

3. Введение в статику

1.3
Введение в статику
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Сила в механике – это величина,
являющаяся основной мерой
механического взаимодействия
материальных тел.
Действие силы на тело
определяется:
линия
действия
силы
- модулем силы;
- направлением вектора силы;
- точкой приложения вектора
силы.
Основная единица измерения силы - 1
ньютон (1 Н).

4. Введение в статику

1.4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Система сил - совокупность сил, действующих на
рассматриваемое тело
Системы сил
Плоские (линии действия всех сил
лежат в одной плоскости)
Пространственные (линии
действия сил не лежат в
одной плоскости)
Параллельные (линии действия сил параллельны
друг другу)
Произвольные (линии действия сил не пересекаются
и не параллельны)
Сходящиеся (линии действия сил пересекаются
в одной точке)

5. Введение в статику

1.5
Введение в статику
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Эквивалентными называются две системы сил,
приводящие тело к одному и тому же кинематическому
состоянию.
Уравновешенная (эквивалентная нулю) – это такая
система сил, под действием которой свободное твердое
тело может находиться в покое.
Равнодействующей системы сил, называется
сила, эквивалентная данной системе сил.
Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке,
называется сосредоточенной.
Силы, действующие на все точки объема или части
поверхности тела, называются распределенными.

6. Введение в статику

1.6
Введение в статику
АКСИОМЫ СТАТИКИ
1. Если на свободное абсолютно твердое
тело действуют две силы, то тело
может находиться в равновесии тогда и
только тогда, когда эти силы равны по
модулю (F1 = F2) и направлены вдоль
одной прямой в противоположные
стороны
2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не
изменяется, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную
.
систему сил
Следствие: действие силы на абсолютно твердое тело не
изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее
линии действия в любую другую точку тела.

7. Введение в статику

1.7
Введение в статику
АКСИОМЫ СТАТИКИ
3. Закон параллелограмма сил: две силы, приложенные к телу в
одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же
точке и изображаемую диагональю параллелограмма,
построенного на этих силах, как на сторонах
R F1 F2

8. Введение в статику

1.8
Введение в статику
АКСИОМЫ СТАТИКИ
4. Закон равенства действия и
противодействия: при всяком
действии одного материального
тела на другое имеет место
такое же численно, но
противоположное по направлению
противодействие, т.е.
5. Принцип отвердевания: равновесие изменяемого (деформируемого)
тела, находящегося под действием уравновешенной системы сил,
возможно только при его «отвердевании»

9. Введение в статику

1.9
Введение в статику
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ
Свободным называется тело, которое может совершать
из данного положения любые перемещения в пространстве
Несвободным называется тело, перемещениям которого в
пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные
или соприкасающиеся с ним, тела (связи)
Реакция связи – это сила, с которой связь действует на
тело, препятствуя его перемещениям, называется.
Принцип освобождаемости от связей: всякое
несвободное тело можно рассматривать как свободное, если
действие связей заменить их реакциями, приложенными к данному
телу

10. Введение в статику

1.10
Введение в статику
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ
Гладкая
поверхность
Гибкая связь
Шарнирный
стержень

11. Введение в статику

1.11
Введение в статику
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ
Шарнирно-неподвижная опора
Цилиндрический шарнир
Шарнирноподвижная опора
Жесткая заделка

12. ЛЕКЦИЯ 2 План:

МЕХАНИКА
2.1
Модуль 1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СТАТИКА
Введение в статику
ЛЕКЦИЯ 2
План:
2.1. Проекции сил.
2.2. Момент силы относительно точки и
относительно оси.
2.3. Пара сил, момент пары

13. Введение в статику

2.2
Введение в статику
ПРОЕКЦИИ СИЛ
Проекция силы на ось - алгебраическая величина,
равная произведению модуля силы на косинус угла между
силой и положительным направлением оси:
Fx = Fcos = ab;
Qx= Qcos 1=
= -Qcos = -de
Px = 0

14. Введение в статику

2.3
Введение в статику
ПРОЕКЦИИ СИЛ
Проекция силы на плоскость это вектор , заключенный
между проекциями начала и конца силы на эту плоскость

15. Введение в статику

2.4
Введение в статику
ПРОЕКЦИИ СИЛ
Силу можно задавать ее проекциями Fx, Fy, Fz
на координатные оси:
F Fx2 Fy2 Fz2
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F ,
/ F
Fx, / F ,
cos cos
F
y
/ F
y / F,
cos cos
F
F
z
cos Fz / F

16. Введение в статику

2.5
СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И
РАЗЛОЖЕНИЯ СИЛ
Введение в статику
1. Сложение двух сил
Величину, равную геометрической сумме сил системы,
называют главным вектором этой системы сил
R F1 F2
R F12 F22 2F1F2 cos

17. Введение в статику

2.6
Введение в статику
СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И
РАЗЛОЖЕНИЯ СИЛ
2. Сложение системы сил
n
R F1 F2 Fn Fk
i 1

18. Введение в статику

2.7
Введение в статику
Аналитический способ сложения сил
R Rx2 R y2 Rz2 ;
Rx = Fkx;
Ry = Fky;
Rz = Fkz
cos Rx / R ,
cos R y / R ,
cos Rz / R .
Разложение сил
F F1 F2
F

19. Введение в статику

2.8
Введение в статику
Момент силы относительно точки
Векторный момент силы относительно
центра О - это приложенный в центре О
вектор
m0 ( F ) r F
где OA r - радиус-вектор точки А,
проведенный из центра О.
Алгебраический момент силы
относительно центра
m0( F
) = ± F h.
m0( P
) = P h1, m0( Q) = - Q h2

20. Введение в статику

2.9
Введение в статику
Момент силы относительно оси
- это момент проекции вектора силы на плоскость
перпендикулярную оси относительно точки пересечения
оси с этой плоскостью
mz ( F ) Fxy h

21. Введение в статику

2.10
Введение в статику
Пара сил, момент пары
Плоскость действия пары - плоскость, проходящая
через линии действия сил пары
Алгебраический момент пары
m=±Fd
Плечо пары d - кратчайшее расстояние между
линиями действия сил пары
Векторный момент пары - это вектор m ,
направленный перпендикулярно плоскости действия
пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся
повернуть тело против хода часовой стрелки
Этот вектор называется скользящим

22. ЛЕКЦИЯ 3 План:

МЕХАНИКА
3.1
Модуль 1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СТАТИКА
Введение в статику
ЛЕКЦИЯ 3
План:
3.1. Теорема о параллельном переносе силы.
3.2. Приведение системы сил к центру. Главный
вектор и главный момент системы сил

23. Введение в статику

3.2
Введение в статику
Теорема о параллельном переносе силы
Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно,
не изменяя её действия, переносить из данной точки в
новый произвольный центр, прибавляя при этом пару с
моментом, равным моменту переносимой силы
относительно нового центра

24. Введение в статику

3.3
Введение в статику
Приведение системы сил к центру
( F1 , F2 ,...,Fn ) ( F1' , F2' ,...,Fn ' ) (m1 ,m2 ,...,mn )
F1 F1 , и т д.
m1 m0 ( F1) и тт.д
( F1 , F2 ,...,Fn ) R ,M o
.
R Fk
M 0 m0 ( Fk )
R
M0
- главный вектор системы сил;
- главный момент системы сил
относительно центра О

25. Введение в статику

3.4
Введение в статику
Приведение системы сил к центру
Частные случаи приведения системы сил к центру:
R 0
данная система сил приводится к одной паре сил
M0 0
R 0
M0 0
данная система сил приводится к одной силе, т. е.
к равнодействующей
R 0
M0 0
данная система сил будет уравновешенной

26. ЛЕКЦИЯ 4 План:

МЕХАНИКА
4.1
Модуль 1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СТАТИКА
Условия равновесия
ЛЕКЦИЯ 4
План:
4.1. Теорема Вариньона.
4.2. Условия равновесия различных систем сил.

27.

Условия равновесия
4.2
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА
Пусть система сил
приводится к
равнодействующей
F1 , F2 ,...,Fn R
Приложим в точке С силу
R R
Система сил F1 , F2 ,...,Fn , R'
будет находиться в равновесии и для нее
M 0 0 или
m0 ( Fk ) m0 ( R ) 0
m0 ( R ) m0 ( R ) mo Fk
Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент
равнодействующей относительно любого центра О равен сумме
моментов сил системы относительно того же центра

28.

Условия равновесия
4.3
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ СИЛ
Равновесие
пространственной
системы произвольно
расположенных сил
R 0
M0 0
Fkx 0,
Fky 0,
mx ( Fk ) 0,
m y ( Fk ) 0,
Fkz 0,
mz ( Fk ) 0.
Равновесие
пространственной
системы параллельных
сил
Fkx 0 ,
Fky 0 ,
mz ( Fk ) 0.
В случае, когда все
действующие на тело силы
параллельны оси z

29.

Условия равновесия
4.4
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ СИЛ
Равновесие системы сходящихся сил
R Fk 0
в геометрической форме: необходимо и
достаточно, чтобы силовой многоугольник,
построенный из векторов сил, был замкнутым
в аналитической форме:
R Rx2 R y2 Rz2 0 , или
Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0,
Fkx 0, Fky 0, Fkz 0

30.

4.5
Условия равновесия
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ СИЛ
Равновесие плоской системы произвольных сил
2
1
Fkx 0 ,
Fky 0 ,
m0 ( Fk ) 0
3
mA ( Fk ) 0,
mB ( Fk ) 0,
Fkx 0
mA ( Fk ) 0,
mB ( Fk ) 0,
mC ( Fk ) 0
ось Ох, не
перпендикулярна
прямой АВ
центры А, В и С,
не лежат
на одной прямой

31.

4.6
Условия равновесия
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ СИЛ
Равновесие плоской системы
параллельных сил
Fky 0 ,
m0 ( Fk ) 0
В случае, когда все
действующие на тело силы
параллельны оси Оу
mA ( Fk ) 0,
mB ( Fk ) 0
точки A и В
не должны лежать на прямой,
параллельной векторам сил.

32. ЛЕКЦИЯ 5 План:

МЕХАНИКА
5.1
Модуль 1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СТАТИКА
Условия равновесия
ЛЕКЦИЯ 5
План:
5.1. Равновесие систем тел.
5.2. Равновесие тела при наличии трения

33.

5.2
Условия равновесия
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМ ТЕЛ
Внутренние связи – это связи, соединяющие части конструкции
Два способа решения задач
на равновесие составной конструкции:
1 способ. Рассматривают равновесие всей конструкции как единое
целое (не учитывая реакции внутренних связей) и дополнительно
равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции
с учетом реакций внутренних связей.
2 способ. Конструкцию расчленяют на части и рассматривают
равновесие каждой части, учитывая при этом реакции внутренних
связей. При этом реакции внутренних связей будут попарно равны
по модулю и противоположны по направлению.

34.

Условия равновесия
5.3
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ ПРИ
НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
Сцепление и трение скольжения
Условие
равновесия:
S f0 N
FТР S
0 - угол трения покоя
0 FТР FПР.
tg 0 = FПР / N.
FПР = f0 N
tg 0 = f0.

35.

Условия равновесия
5.4
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ ПРИ
НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
Трение качения
mA ( Fk ) 0
N QПР R 0
QПР = ( /R) N.
Условие равновесия:
Q N
R
(Q ,
(
F ) – пара сил
N P
) – пара сил
Q f0 N

36. ЛЕКЦИЯ 5 План:

МЕХАНИКА
6.1
Модуль 1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
СТАТИКА
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
ЛЕКЦИЯ 5
План:
6.1. Центр параллельных сил
6.2. Центр тяжести твердого тела

37.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
6.2
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
m y R m y Fk R xC
R xC= F1x1+ F2x2+…+Fnxn
R xC = Fkxk.
Координаты центра
параллельных сил:
xc
Fk xk
R
Fk yk
yc
R
Fk zk
zc
R

38.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
6.3
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Силовое поле – это область, в которой на
каждую материальную точку действует сила,
зависящая от положения этой точки,
Поле тяжести вблизи земной поверхности
можно назвать однородным полем тяжести.
Модуль равнодействующей сил тяжести
называется весом тела Р
Координаты центра тяжести:
хС
рk xk
Р
yC
рk yk
Р
zC
рk zk
Р

39.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
6.4
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Центр тяжести некоторых однородных тел
1 Для однородного объемного твердого тела (вес пропорционален
объему):
V x
хС k k
V
V y
yC k k
V
Vk zk
zC
V
2. Для тела, представляющего собой однородную пластину (вес
пропорционален площади):
Sk xk
хС
S
Sk yk
yC
S
S k zk
zC
S
3. Координаты центра тяжести тонкого прямого стержня (вес
пропорционален длине):
l x
хС k k
L
l y
yC k k
L
lk zk
zC
L

40.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
6.4
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Способы нахождения положения центров
тяжести тел сложной формы:
- Способ симметрии
2
- Способ разбиения
- Способ дополнения
- Способ интегрирования
xC 1 xdV ,
V (V )
y C 1 ydV ,
V (V )
1
1
2
z C 1 zdV .
V (V )