Бином Ньютона

1.

Бином Ньютона
Алгебра 11-класс

2.

Актуализация знаний
a b 2 a 2 2ab b 2
Формула квадрата суммы двух
выражений
(a + b)3 = (a + b)2(a + b)=
=(a2 + 2ab + b2)(a + b)=a3 +2a2b+
+ab2+a2b+2ab2+b3=a3 +3a2b +3ab2+b3
Формула суммы кубов

3.

Формула бинома Ньютона
1 n 1
n
2 n 2 2
n
n 1
n
(a b) C a C a b C a b ... C ab
n
С
k
n
0 n
n
Называется биномиальным
коэффициентом
n 1
... C b
n n
n

4.

:
Число всех возможных сочетаний из n
элементов по k элементов обозначается
n!
С
k!(n k )!
k
n

5.

Биномиальные коэффициенты легко
находить с помощью треугольника
Паскаля
1
1
1
1
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1

6.

Свойства бинома Ньютона
Число слагаемых на 1 больше степени
бинома.
Коэффициенты находятся по треугольнику
Паскаля.
Коэффициенты симметричны.
Если в скобке знак минус, то знаки + и –
чередуются.
Сумма степеней каждого слагаемого равна
степени бинома.

7.

( a b) n Cn0 a n Cn1 a n 1b Cn2 a n 2b 2 ... Cnn 1ab n 1 ... Cnn b n
a b
2
a 2 2ab b 2
(a+b) 3 =a3 +3a2b +3ab2+b3
a b
4
a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4

8.

Пример 1.
( x 2 y)
4
(a b) n Cn0 a n Cn1a n 1b Cn2 a n 2b 2 ... Cnn 1ab n 1 ... Cnnb n
( x 2 y ) 4 C40 x 4 C41 x 3 ( 2 y ) C42 x 2 ( 2 y ) 2
C43 x1 ( 2 y )3 C44 ( 2 y ) 4
x 4 x ( 2 y ) 6 x ( 2 y)
4
3
2
2
4 x( 2 y)3 ( 2 y ) 4
x 4 8x3 y 24 x 2 y 2 32 xy3 16 y 4

9.

(1 3 )
Пример
5
(a b) n Cn0 a n Cn1 a n 1b Cn2 a n 2b 2 ... Cnn 1ab n 1 ... Cnnb n
(1 3 ) C 1 C5114 ( 3)1 C5213 ( 3)2
5
0 5
5
C 1 ( 3) C 1 ( 3) C ( 3)
3 2
5
3
4 1
5
4
5
5
1 5 3 10 3 10 3 3 5 9 1 9 3
76 44 3
5

10.

Задание для самостоятельного решения
1)(1 5 )
4
2)(2a b)
6
3)( x y)
5