Бином Ньютона

1.

2. Содержание.

1) Понятие бинома Ньютона.
2) Свойства бинома и биномиальных
коэффициентов.
3) Примеры решения задач по теме
«Бином Ньютона».
4) Выход.

3. Понятие бинома Ньютона.

Биномом Ньютона называют разложение
вида:
(a b) n Cn0 a nb 0 Cn1 a n 1b1 Cn2 a n 2b 2 ... Cnm a n mb m ... Cnn a 0b n
n(n 1) n 2 2
n!
a na b
a b ...
a n mb m ... b n , где m n
2!
( n m) ! m !
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом,
так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того,
формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак
Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n –
дробного.
Цель изучения бинома Ньютона – упрощение
вычислительных действий.
n
n 1 1

4.

( a b )n C n0 a n b 0 C n1 a n 1b 1 C n2 a n 2 b 2 ... C nm a n m b m ... C nn a 0 b n
a n na n 1b 1
n( n 1 ) n 2 2
n!
a b ...
a n m b m ... b n , где m n
2!
( n m )! m !
Компоненты формулы «бином
Ньютона»:
правая часть формулы – разложение
бинома;
С n0 ; С n1 ; ... С nn – биномиальные коэффициенты, их
можно получить с помощью
треугольника Паскаля (пользуясь
операцией сложения).
общий член разложения бинома n-й
степени Tm 1 C nm a n m b m , m 0 ,1,2 ,...n
где Т – член разложения; – порядковый номер члена
разложения.
К содержанию.

5. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.

С С 1
Число всех членов разложения на единицу
больше показателя степени бинома, то есть
равно (n+l).
Сумма показателей степеней a и b каждого
члена разложения равна показателю степени
бинома, то есть n.
Биномиальные коэффициенты членов
разложения, равноотстоящих от концов
разложения, равны между собой: С m C n m
n
n
(правило симметрии).
0
n
n
n

6.

Сумма биномиальных коэффициентов
n
всех членов разложения равна 2 .
Сумма биномиальных коэффициентов,
n 1
стоящих на нечетных местах, равна2
сумме биномиальных коэффициентов,
стоящих на четных местах и равна
.
0
2
4
1
3
5
n 1
С n С n С n ... С n С n С n ... 2
m
m
m 1
С
C
C
Правило Паскаля: n
n 1
n 1 .

7.

Любой биномиальный коэффициент,
начиная со второго, равен
произведению предшествующего
биномиального коэффициента и
дроби n ( m 1 ) .
m
С C
m
n
m 1
n
n ( m 1)
m
К содержанию.

8. Примеры решения задач по теме «Бином Ньютона».

18
Пример 1
3 1
В биномиальном разложении x x 3
найти член разложения, не содержащий
х.
Решение:
Tm 1 C
m
18
x
3 18 m
m
1
m
54 3 m 3 m
m
54 6 m
C18 x
3 C18 x
x
Так как в разложении мы ищем член не
содержащий х, то 54 6 m 0 m 9 .
T9 1
18!
10 11 12 13 14 15 16 17 18
C
48620
( 18 9 )! 9!
2 3 4 5 6 7 8 9
9
18

9.

Пример 2
Доказать, что при любом натуральном n
n
число 4 15n 1 делится на 9.
Доказательство:
1 способ:
4 n ( 3 1 )n 3 n C nn 1 3 n 1 C nn 2 3 n 2 ... C n2 3 2 C n1 3 1 1
4 n 15n 1 3n Cnn 1 3n 1 Cnn 2 3n 2 ... Cn2 32 Cn1 31 1 15n 1
n(n 1) n 3
n(n 1) 1
3 3n 1 n 3n 2
3 ...
3 6n
2
2
n(n 1) n 4
n(n 1) 0
n 2
n 3
3 3 3 n 3
3 ...
3 2n : 9
2
2

10.

2 способ:
Начнем рассматривать бином в общем
виде:
n( n 1 ) n 2
n( n 1 ) 2
x ...
x n x 1
2
2
n( n 1 ) n 4
n( n 1 ) 0
x 2 x n 2 n x n 3
x ...
x n x 1 A x2 n x 1
2 2
( x 1 )n x n n x n 1
обозначим выражение в скобках за А
Тогда
4n 15n 1 (3 1) n 15n 1 A 32 n 3 1 15n 1 9 A 18n 9( A 2n) : 9
К содержанию.
Выход.