Механика. Гравитационное поле. Лекция 6

1. I.Механика. Гравитационное поле.

Закон всемирного тяготения
Для материальных точек и тел сферической формы
закон записывается в следующем виде (Рис.24):
F12 G
m1m2 r12
m1m2
G
r12
2
3
r12 r12
r12
Рис.24
Выражение для ускорения свободного падения на поверхности
Земли ( Рис.25) можно получить приравнивая силу тяжести к
M
гравитационной силе: mg G mM , откуда g0 G 2 , где
0
R
R2
m – масса
тела, M – масса Земли, R – ее радиус.
Рис.25

2. I.Механика. Гравитационное поле.

mM
и для ускорения
2
( R h)
M
R2
gh G
g0
2
2 .
( R h)
( R h)
На высоте h от поверхности Земли mgh G
свободного падения получим
Движение спутников планет по круговым орбитам.
Запишем для этого движения второй закон Ньютона:
m 2
mv
man
R h
T2
2
2
R2
mM
G
R h mg0
( R h) 2
( R h) 2
где m – масса спутника, M – масса планеты, R – ее радиус, h –высота
орбиты над поверхностью планеты, g0 - ускорение свободного
падения на ее поверхности. Из этого уравнения можно найти
скорость спутника v и его период обращения Т.
Если h R , т.е. спутник летает на небольшой высоте, тогда
mv 2
mg0 и для первой космической скорости v1 получим:
R
v v1 Rg0
.

3. I.Механика. Гравитационное поле.

rа стало
vа
v1- скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно
спутником Земли (не вернулось на Землю).
vп
Эллиптические орбиты.
В общем случае движение планет и их спутников происходит по
эллиптическим орбитам. Гравитационные силы Солнца или планет
не создают момента силы, поэтому момент импульса планет или
спутников сохраняется и rп - радиус орбиты и vп скорость на
орбите в перигее, а rа и vа - радиус и скорость в апогее (Рис.26).
Рис.26
Между ними существует следующее соотношение:
L mrп2vп mrа vа

4. I.Механика. Гравитационное поле.

Потенциальная энергия гравитационного поля.
Рассмотрим гравитационное взаимодействие материальной
точки массой m и шара (Земли) массой M и радиуса R (Рис.26).
dU dA Fds Fds cos ( G
mM
) dr
2
r
Беря неопределенный интеграл, получим:
U r G
mM
mM
dr
C
G
C
2
r
r
Рис.26
Если потенциальная энергия обращается в ноль на бесконечности,
mM
то константа интегрирования С=0 и U r G
r
Если принять потенциальную энергию равной нулю на поверхности
Земли U ( r R) G mM C 0 и C G mM .
R
R
Потенциальная энергия в этом случае принимает вид:
mM
mM
U r G
G
R
r

5. I.Механика. Гравитационное поле.

Если высота над поверхностью шара (Земли) мала h R ,то
mM R h R
mM
mM
mM h
U G
G
G
G
mgh и
2
2
R
R h
R
R
получаем известное выражение для потенциальной энергии тела на
высоте h от поверхности Земли.
Вторая космическая скорость – скорость, которую необходимо
сообщить телу, чтобы оно покинуло поле притяжение Земли
(удалилось от него на бесконечность). Если принять потенциальную
энергию на бесконечности, равной
нулю, то закон сохранения
2
энергии запишется в виде: mv2 G mM 0 , где выражение в
2
R
правой части равенства – полная энергия тела на поверхности
Земли. На бесконечно большом расстоянии от Земли кинетическая и
потенциальная энергии обращаются в ноль и
M
MR
км
v2 2G
2G 2 2g0 R 11, 2
R
R
с

6. Расчет первой космической скорости у поверхности Земли

vI gR
м
м
км
6
vI 9,8 2 * 6,4 *10 м 7900 7,9
с
с
с

7. Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость –
минимальная скорость, которую надо
сообщить телу у поверхности Земли (или
небесного тела) для того, чтобы оно
преодолело гравитационное притяжение
Земли (или небесного тела).
vII 2 gR
VII= 11,2 км/с

8. Третья космическая скорость

Минимальная скорость, которую надо сообщить
телу у поверхности Земли для того, чтобы оно
преодолело гравитационное притяжение
Солнца.
vIII
км
16,7
с

9. Траектории движения тел

V0 =0
прямая
линия
V=VI
окружность
VI < V < VII
эллипс
V=VII
Пара
бола
V=VIII
гипербола

10. I.Механика. Метод Потенциальных кривых

F
dU
dx
отрицательна.
Слева от минимума тангенс угла наклона касательной отрицателен,
а сила положительна. В точке минимума сила равна нулю, т.е. это
есть положение равновесия. При смещении от этой точки вправо
возникает сила возвращающая материальную точку в положение
равновесия. Тот же результат будет и при смещении влево. Поэтому
равновесие в этом случае является устойчивым. Вблизи максимума
потенциального барьера положение равновесия неустойчиво. Пусть
– полная энергия материальной точки. Полная энергия
Eполн Eкин Eпот Eпот . В точках 3 и 4 пересечения прямой полной
энергии с потенциальной кривой полная энергия равна
потенциальной, поэтому движение на участке 3-4 возможно, а вне
этого отрезка, где Eполн Eпот невозможно.

11. I.Механика. Метод Потенциальных кривых

отрицательна.
Слева от минимума тангенс угла наклона касательной отрицателен,
а сила положительна. В точке минимума сила равна нулю, т.е. это
есть положение равновесия. При смещении от этой точки вправо
возникает сила возвращающая материальную точку в положение
равновесия. Тот же результат будет и при смещении влево. Поэтому
равновесие в этом случае является устойчивым. Вблизи максимума
потенциального барьера положение равновесия неустойчиво. Пусть
– полная энергия материальной точки. Полная энергия
Eполн Eкин Eпот Eпот . В точках 3 и 4 пересечения прямой полной
энергии с потенциальной кривой полная энергия равна
потенциальной, поэтому движение на участке 3-4 возможно, а вне
этого отрезка, где Eполн Eпот невозможно.

12. I.Механика. Гравитационное поле.

Примеры решения задач
Задача 31. Найдите путь, который пройдет тело за 1 с, свободно
падая без начальной скорости на высоте от поверхности Земли,
равной ее радиусу.
Решение. При свободном падении путь, проходимый телом
ght 2
Равен s
, где gh - ускорение свободного падения на высоте
2
R2
g0
g
g
, откуда s 1, 25м.
h R и h
0
2
4
R R
Задача 32. Найдите силу притяжения к Земле космического
корабля массы 10 тонн, находящегося на расстоянии от поверхности
Земли, в четыре раза большем ее радиуса.
Решение. На расстоянии 5 радиусов Земли на космонавта будет
действовать сила притяжения, равная 2
R
mg0
mgh mg0
4 кН
2
25
R 4R

13. I.Механика. Гравитационное поле.

Задача 33. Найдите отношение скоростей двух космических
кораблей, вращающихся по круговым орбитам на расстояниях от
поверхности Земли, равных одному и двум земным радиусам.
Решение. Запишем второй закон Ньютона, для спутников,
вращающихся вокруг Земли на расстояниях одного и двух радиусов
от поверхности под действием соответствующих сил тяжести:
m1v12
R2
m1g0
m1gR m1g0
2
R R
4
R R
m2v22
R2
m2 g0
m2 g2R m2 g0
2
R 2R
9
R 2R
Разделив первое уравнение на второе и извлекая квадратный корень
получим 1,22.
Задача 34. Найдите период обращения спутника, движущегося
по круговой орбите вблизи поверхности некоторой планеты,
средняя плотность вещества которой равна 3,3 г/см3.
Гравитационная постоянная 6,67·10–11 м3/кг·с2.

14. I.Механика. Гравитационное поле.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для вращательного
движение, выразив нормальное ускорение через период обращения:
2
2
M
man m
R mg0 mG 2 .
R
T
Выразим в этом выражении массу планеты M через плотность и
объем шара, тогда получим:
2
2
an
G 4 3 , отк уда
T
3
6, 5 105 c.
G
Задача 35. Спутник запущен вертикально вверх со второй
космической скоростью. На некоторой высоте над поверхностью
Земли потенциальная энергия спутника составляет 75% его
первоначальной энергии. Потенциальная энергия на поверхности
Земли при этом принимается нулевой. Найдите отношение этой
высоты к радиусу Земли.
T

15. I.Механика. Гравитационное поле.

Решение. Запишем закон сохранения энергии, приняв, что
потенциальная энергия обращается
в ноль на поверхности Земли:
2
mM
mM
v2
2g0 R
M
G
G
3 4m 3 4m
3 4 mG 2 , откуда
R
R h
2
2
R
h 3R.
Задача 36. Спутник запускается со второй космической скоростью. Найдите, во сколько раз уменьшится его кинетическая энергия
по сравнению с начальной на высоте, равной радиусу Земли.
Участок разгона ракеты и сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Примем потенциальную энергию на поверхности
Земли равной нулю, тогда на основе закона сохранения энергии:
v22
MR
mM
v2
mM
mM
m mG 2 G
m G
G
, откуда
22
R
R
2
R
2R
mM
v
G
m 2
R 2
2
v 2 G mM
m
2R
2

16. I.Механика. Гравитационное поле.

•Задача 37. Найдите расстояние, на которое ракета, запущенная
вертикально вверх с поверхности Земли с первой космической
скоростью v1, удалится от поверхности Земли. Радиус Земли равен
R = 6400 км. Вращение Земли не учитывать.
•Решение. Принимая потенциальную энергию равной нулю на
поверхности Земли, запишем закон сохранения энергии:
mv12
mM
mM ,
G
G
2
R
R h
2
1
где mv – начальная кинетическая энергия ракеты, соответствующая
2
первой космической скорости v1 g0 R G M2 R G M , h –
R
R
высота подъема ракеты, на которой ее скорость обращается в ноль.
Подставляя
в первое уравнение, получим
m1v12
,
g
R R
откуда h=R=6400 км.

17. I.Механика. Гравитационное поле.

Задача 38. Определите, при каком значении высоты над
поверхностью Земли использование формулы зависимости
потенциальной энергии от высоты Eпот ≈ mgоh приводит к ошибке
25%. Радиус Земли равен 6400 км.
Решение. Потенциальная энергия тела в поле притяжения Земли,
обращающаяся в ноль на ее поверхности, имеет вид:
Eпот G
mM
mM
G
R
r
.
Подставляя h r R , будем иметь:
Eпот G
mM
mM
mM ( r R)
Mh R
R
G
G
mG 2
mg0h
.
R
r
( R h) R
R R h
R h
R
3
Ошибка в 25% получится при
, откуда h R 3 2130 км.
R h 4