ТЕМА III. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
1. РАБОТА СИЛЫ
2. РАБОТА СУММЫ СИЛ
3. МОЩНОСТЬ
4. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ТЕЛА
§2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
1. СИЛОВОЕ ПОЛЕ
2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ
3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
4. НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
6. ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ
7. ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ
8. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
9. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРУЖИНЫ
11. СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
12. СИЛА – ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
§3. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
1. ЭНЕРГИЯ
2. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ
3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ (I)
4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ (II)
6. НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
8. АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИЙ УДАР
9. АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР
10. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР (ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ)
11. НЕЦЕНТРАЛЬНЫЙ УПРУГИЙ УДАР
1.85M
Категория: ФизикаФизика

Законы сохранения. Работа и энергия. (Тема 3)

1. ТЕМА III. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

§1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

2. 1. РАБОТА СИЛЫ

Физическая величина, равная скалярному произведению действующей
на тело силы F , на совершённое под действием этой силы
элементарное перемещение dS , называется работой силы:
dA F dS ,
dA FdS cos ,
A 1 Н 1 м 1 Дж ( Джоуль).
Если на конечном перемещении S
величина и направление силы,
действующей на тело, не меняется,
то выражение для работы принимает
более простой вид:
A F S FS cos Fs S .
В случае переменной силы работа
вычисляется как интеграл вдоль траектории:
Поскольку работа – это интеграл,
2
A12 FdS . то её величина численно равна
площади под графиком проекции
1
силы в зависимости от перемещения.

3. 2. РАБОТА СУММЫ СИЛ

В случае, если тело движется под действием
нескольких сил, работу суммы сил можно
вычислить двумя способами:
1. Определить равнодействующую силу,
а затем вычислить её работу:
N
Fр Fi , A12 Fi dS .
i 1
1 i 1
N
2
2. Определить работу каждой силы, а затем просуммировать результаты:
2
2
N
N 2
N
Ai Fi dS , A12 Ai .
1
i 1
A12 Fi dS Fi dS .
i 1 1
1 i 1
Работа равнодействующей силы равна сумме работ всех сил.

4. 3. МОЩНОСТЬ

Работа, совершаемая
в единицу времени
называется мощностью.
Средняя мощность:
A
Pc N c
.
t
Мгновенная мощность:
dA FdS
P
FV FV cos .
dt
dt
t2
dA FVdt A FVdt.
Дж
1 Вт.
P 1
с
t1

5. 4. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Напишем равнение движения
для одной частицы (тела):
F
– равнодействующая сил, действующих на частицу.
Умножим уравнение движения на перемещение частицы
dV
m
Vdt FdS
dt
mVdV FdS ,
dV
m
F.
dt
dS Vdt :
mV 2
V 2
FdS .
VdV d d
2
2
Проинтегрируем полученное соотношение вдоль траектории от т.1 до т.2:
mV 2 2
1 d 2 1 FdS .
2
Величина
mV 2
К
2
называется кинетической
энергией частицы (тела).
Приращение кинетической энергии частицы равно работе
равнодействующей сил, действующих на эту частицу:
К 2 К1 А12 .
Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии.

6. 5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ТЕЛА

Из теоремы о кинетической энергии К 2 К1 А12 ( К А) следует,
что кинетическая энергия выражается в тех же единицах что и работа,
то есть в Джоулях.
Кинетическая энергия частицы может быть выражена через его импульс:
mV 2
Wk K
2
m 2V 2
K
,
2m
p mV
p2
K
.
2m
Импульс частицы также можно выразить через её кинетическую энергию:
p 2mK p 2mK ;
2

7. §2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

8. 1. СИЛОВОЕ ПОЛЕ

Силовое поле (физическое поле) – форма материи.
Представляет собой некоторую область пространства,
в которой физические объекты испытывают силовое воздействие.

9. 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ

Если работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от
начального и конечного положения частицы
(не зависит от траектории частицы),
то такие силовые поля называются
консервативными полями A
A .
12 a
12b
Из независимости работы консервативных
сил от пути вытекает, что работа таких сил
на замкнутом пути равна нулю:
A12 a A21b
A12 A21 0;
Консервативными являются однородные и центральные силовые поля.
Силовое поле называется однородным, если во всех точках поля силы,
действующие на частицу одинаковы по модулю и направлению F const.
Силовое поле называется центральным, если сила, действующая на
частицу в любой точке поля, направлена на одну точку (силовой центр),
а модуль силы зависит от расстояния до этого центра F F ( r )e .
r
r

10. 3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от
начального и конечного положения частицы (консервативные силы),
каждой точке поля можно сопоставить некоторую функцию П ( x, y, z )
такую, что разность значений этой функции в начальной и конечной
точках траектории, будет определять работу сил поля
при переходе частицы из начальной точки в конечную: A12 П1 П2 .
Функция П ( x, y, z ) измеряется в тех же единицах,
что и работа силы, то есть Джоулях.
Её называют потенциальной энергией
частицы во внешнем поле сил.
Потенциальной энергией частицы
в консервативном силовом поле
называется такая функция координат
частицы, убыль которой равна работе
сил поля над этой частицей при её
перемещении из начальной точки траектории в
конечную: П П A ( П П ) A П A .
1
2
12
2
1
12
12

11. 4. НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а её убыль,
равная работе сил поля над частицей при перемещении
этой частицы из начальной точки траектории в конечную: П1 П2 A12 .
Для расчёта потенциальной энергии частицы
в конкретной точке поля необходимо выбрать
ту точку поля, в которой потенциальная энергия
частицы принимается равной нулю. Пусть
П2 0 П1 U (1) А10 , П ( x, y, z ) A0 .
Потенциальная энергия частицы в данной точке поля равна работе,
которую совершают силы поля над частицей при её перемещении
из данной точки поля в ту точку, для которой
потенциальная энергия принята равной нулю.
Ясно, что величина потенциальной
x0 , y0 , z0
частицы в данной точке
A0
FdS . энергии
зависит от выбора точки с нулем
x, y,z
потенциальной энергии.
В этом состоит неоднозначность потенциальной энергии.

12. 5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Сила тяжести в каждой точке имеет
одинаковый модуль и направление – вниз.
2
2
1
1
F mg A12 mgdS mg cos dS ,
2
cos dS dh A12 mg dh
1
A12 mg (h2 h1 ) mg (h1 h2 ).
Сравнивая полученное выражение с
определением потенциальной энергии
П1 П2 A12 , получаем выражение
для потенциальной энергии частицы
в поле силы тяжести П mgh,
h
отсчитывается от нулевым уровня.

13. 6. ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ

2
2
A12 Fdr ;
F const A12 F dr ;
1
2
dr r
2
1
r1 A12 F (r2 r1 );
A Fr Fr ;
1
12
2
1
A12 П П1 П2 ;
П Fr ; П Fr ;
П (r ) Fr ;
1
1
2
2

14. 7. ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Силовое поле называется центральным,
если сила, действующая в этом поле
на пробную частицу
имеет вид:
r
F ( r ) F ( r )e F ( r ) ;
r
2
2
r
r
r
A12 Fdr Fr dr
r
1
1
r2
rdr rdr A12 Fr (r )dr.
r1

15. 8. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

m1 M ; m m; r12 r ;
mM r
F F (r )
;
r r
2
21
2
mM r
mM
F (r )
;
r r
r
r
2
r2
2
r2
dr
A12 Fr (r )dr mM 2
r
r1
r1
1 1
mM
1
П1 П2 mM mM П (r )
.
r
r r1
r1 r2
r2

16. 9. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРУЖИНЫ

r2
x2
r1
x2 x1
A12 Fdr Fx dx; Fx kx
x2
x
П1 П2 k xdx k
2 x1
x1
2
kx12 kx22
kx 2
П1 П 2
П ( x)
.
2
2
2

17. 11. СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

A12 П1 П2 A12 ( П2 П1 )
A12 П dA dП.
dA Fdr Fx dx Fy dy Fz dz;
П
П
П

dx
dy
dz.
x
y
z
П
П
П
Fx dx Fy dy Fz dz
dx
dy
dz
x
y
z
П
П
П
Fy
;
Fx
;
Fz
.
y
x
z

18. 12. СИЛА – ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

П
П
П
F Fx i Fy j Fz k ; Fx
; Fy
; Fz
x
z
y
П
П
П
F
i
j
k gradП .
y
z
x
grad
i
j
k .
x
y
z
- оператор набла.
i
j k.
x
y
z

19. §3. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

20. 1. ЭНЕРГИЯ

21. 2. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ

E К П.
W T U.

22. 3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ (I)

Если на частицу действуют
только консервативные силы,
то ее механическая энергия
остается постоянной
(является интегралом движения).
K 2 K1 A; П П A .
A A K K П П
K 2 П2 П1 K1
E E E K П const.
1
к
1
2
2
1
к
2
1
2

23. 4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ

1
П Пext Пint . Пint П12 П13 П21 П23 П31 П32 .
2
N
N
1 N
Пext Пi ;
Пint
Пij Пij .
i 1
2
i j
i j

24. 5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ (II)

Полная механическая энергия системы тел,
на которые действуют только консервативные
силы, остается постоянной.
N
N
N
i 1
i 1
i j
E Ki Пi Пij const.

25. 6. НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Aнк W E;
Aнк E2 E1.

26. 7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

27. 8. АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИЙ УДАР

Абсолютно неупругим называется
такой удар, при котором возникают
только пластические деформации.
m1V1 m2V2 m1 m2 V ; 1 2 .
m1 m2
2
V mV
1 1 m2V2
2
2
2
2 2
2 2
m
m
V
m
V
2
m
m
VV
cos
m
1 2
1 1
1 2 1 2
2V2 ;
2
2 2
m12V12 2m1m2VV
cos
m
1 2
2V2 cos mV
1 1 cos 1 m2V2 cos 2 .
2
2
2
m
m
V
m1V1 m2V2 1
2
Q.
2
2
2

28. 9. АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР

mV
1 1x m2V2 x mU
1 1x m2U 2 x ;
m1V12x m2V22x m1U12x m2U 22x
.
2
2
2
2
m1 V1x U1x V1x U1x m2 U 2 x V2 x U 2 x V2 x ;
m1 V1x U1x m2 U 2 x V2 x .
V1x U1x V2 x U 2 x U 2 x U1x V1x V2 x
mV
1 1x mU
1 1x m2U1x m2 (V1x V2 x )
2m1V1x m2 m1 V2 x
2m2V2 x m1 m2 V1x
.
U1 x
; U2x
m1 m2
m1 m2

29. 10. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР (ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ)

2m2V2 x m1 m2 V1x
U1 x
;
m1 m2
U2x
2m1V1x m2 m1 V2 x
.
m1 m2
U1x U 2 x ; U1x U 2 x V1x V2 x .
m1 m2 U1x V2 x ; U 2 x V1x .
V2 x 0 U1x 0;
m2
U 2 x V1x .
m1 U 2 x V2 x ;
U1x 2V2 x V1x .
V2 x 0 U1x V1x .

30. 11. НЕЦЕНТРАЛЬНЫЙ УПРУГИЙ УДАР

m1 m2 m;
V2 0.
mV1 mU1 mU 2 V1 U1 U 2 V U1 U 2
2
1
V U 2U1U 2 cos U .
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
mV
mU
mU
2
2
2
V12 U12 U 22
2U1U 2 cos 0 cos 0 90 .
2
English     Русский Правила