Геометрический смысл производной

1.

Повторение

2. Геометрический смысл производной.

Повторение Геометрический смысл
производной.
Производная функции в точке x0 равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в этой точке.
f x0 tg k

3.

В точке х2 угол наклона
касательной – острый,
значит,
k 0 f ( x2 ) 0
В точке х4 угол
наклона касательной –
тупой, значит,
у
k 0 f ( x4 ) 0
х
х2 х3
х4
В точке х3 угол
наклона касательной –
равен 0°, значит,
k 0, касательная
параллельна оси ОХ
f ( x3 ) 0

4.

Экстремальные точки.
Локальный экстремум
функции

5. Окрестность точки

Определение
Окрестностью
точки называется некоторый
интервал, содержащий данную
точку

6.

Например:
y
-1
О
1
x
у = f(х)
Точка
О є (-1; 1)
Интервал
(-1; 1) –
окрестность точки О.

7. Точка локального максимума

Точка а из области определения
функции f(х) называется точкой
локального максимума этой функции,
если существует такая окрестность
точки а, что для любого х не равного
а из этой окрестности выполняется:
f(а) > f(х).

8.

y
-1
О
1
x
у = f(х)
Пусть т. О є (-1; 1)
Для любого х из
окрестности точки О:
f(0) > f(х)
f(0) – максимальное
значение функции на
данном промежутке, т.е.
х = 0 – точка локального
максимума.

9. Точка локального минимума

Точка а из области определения
функции f(х) называется точкой
локального минимума этой
функции, если существует такая
окрестность точки а, что для
любого х не равного а из этой
окрестности выполняется:
f(а) ˂ f(х).

10.

y
-1
1
3 4 5
x
Точка А є (3; 5).
Для любого х из
окрестности точки А:
f(4) < f(х)
у = f(х)
А
f(4) – минимальное
значение функции на
данном промежутке, т.е.
х = 4 – точка локального
минимума.

11.

Точки
максимума и минимума
обозначают:
Хmax, Xmin – точки экстремума.
Значения функции в этих точках
обозначают:
Ymax,
Y min
и называют - экстремумы
функции

12.

13.

Сколько точек локального минимума и локального максимума имеет
функция у=f(х)?
y
у = f(х)
1
O 1
10
4
7
12
15
17
19
x

14.

1.Сколько точек минимума имеет функция,
заданная графиком на отрезке 6;7 ?
Ответ: 2
1) 4
2)3
3)1
4) 2

15.

Точки локального максимума и локального минимума
функции называются точками локальных
экстремумов функции.
y
у = f(х)
1
O
10
1
4
7
12
15 17
19
x
Чему равна производная в точках локального
экстремума?

16. Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума)

Теорема. Если
х0 - точка экстремума
дифференцируемой функции f(х), то f ´(х0) = 0.
Геометрический смысл.
y
f´(х1) = 0
x1
у = f(х)
x2
x
f´(х2) = 0

17. Вспомним, что точки, в которых f´(х) = 0 называются критическими или стационарными точками. Данное определение необходимо

дополнить.
Внутренние точки области
определения функции, в которых
ее производная равна нулю или
не существует, называются
критическими точками.

18. Ответим на вопрос - верно ли обратное утверждение:

Ответим на вопрос верно ли обратное утверждение:
если
функция
дифференцируема в точке х0 и
f ´(х0) = 0 , то следует ли , что
х0 - точка экстремума?

19. Интересно: f ´(х0) = 0 х0 - точка экстремума

х3
f (х) =
f ´(х) = 3х2
3х2 = 0; х = 0 –критическая точка,
т.е. f ´(0) = 0,
однако точка х = 0 не есть точка максимума или
точка минимума (обоснуйте, используя
определение)
Значит, х = 0 – не является точкой экстремума.
Видим, что не все критические
точки есть точки экстремума
f (х)= х3

20.

Таким образом, если f' (х0 ) = 0, то
необязательно, что точка х0 будет
точкой экстремума.
Примеры

21.

Достаточное условие существования
экстремума функции:
Если при переходе через точку х0
производная от функция меняет знак с
«плюса» на «минус», то точка х0
является точкой максимума.
y
_ _ _
f ( x ) 0
f ( x ) 0
а
х0
f ( x0 ) 0
b
х

22.

Достаточное условие существования
экстремума функции:
Если при переходе через точку х0
производная от функции меняет знак с
«минуса» на «плюс», то точка х0 является
точкой минимума.
y
х0
f ( x0 ) 0
а
_ _
х0
f ( x ) 0
b
f ( x ) 0
х

23.

Алгоритм нахождения точек экстремума
функции:
1) найти производную функции;
2) найти критические точки, т.е.
решить уравнение f´(х)=0;
3) с помощью метода интервалов
определить знаки производной
в
х0
окрестностях критических точек;
4) используя достаточные условия
существования экстремума, найти
точки максимума и минимума

24.

Упрощенное нахождение точек максимума и
минимума:
х=-2 – точка максимума,
х=0 – точка минимума

25.

Пример:
Найдите точки экстремума функции
f(х)=2х4 – 4х2 +1
f´(х)= 8х3 – 8х
f´(х)=0 т.е. 8х3 – 8х =0
8х(х2 – 1)=0
8х=0
или
х2 – 1=0
х₁ =0
х2 =1
х₂ = -1; х3=1
Ответ: Хmax= 0;
Xmin =-1 , Xmin =1.

26. Решение упражнений.

УСТНО:

27. №1 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует?

y
у = f(х)
1
O 1
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
x

28. № 2 С помощью графиков функций найдите промежутки возрастания, убывания функции и точки экстремума

29. Письменно Найдите критические точки функции, определите, какие из них являются точками максимума, какие – точками минимума?